大学数学微积分课件：第20讲 第三节、分部积分法第四节、有理函数积分第五节、积分表使用

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1、苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一1第二十讲第二十讲 内容内容第三节、分部积分法第三节、分部积分法第四节、有理函数积分第四节、有理函数积分第五节、积分表使用第五节、积分表使用苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一2第三节、分部积分法第三节、分部积分法课件制作：苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一3问题问题?dxxex解决思路解决思路利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则.设设函函数数)(xuu 和和)(xvv 具具有有连连续续导导数数,vuvuuv ,vuuvvu ,dxvuuvdxvu .duvuvudv 分部积分公式分部积

2、分公式一、基本内容一、基本内容苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一4例例1 1 求积分求积分.cos xdxx解（一）解（一）令令,cos xu dvdxxdx 221 xdxxcos xdxxxxsin2cos222显然，显然，选择不当选择不当，积分更难进行，积分更难进行.vu,解（二）解（二）令令,xu dvxdxdx sincos xdxxcos xxdsin xdxxxsinsin.cossinCxxx 苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一5例例2 2 求积分求积分.2 dxexx解解,2xu ,dvdedxexx dxexx2 dxxeexxx22

3、.)(22Cexeexxxx （再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）,xu dvdxex 总结总结 若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函数弦函数或幂函数和指数函数的乘积或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函就考虑设幂函数为数为 ,使其降幂一次使其降幂一次(假定幂指数是正整数假定幂指数是正整数)u苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一6例例3 3 求积分求积分.arctan xdxx解解令令,arctan xu dvxdxdx 22 xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 dxxxx)1

4、11(21arctan222 .)arctan(21arctan22Cxxxx 苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一7例例4 4 求积分求积分.ln3 xdxx解解,ln xu ,443dvxddxx xdxx ln3 dxxxx3441ln41.161ln4144Cxxx 总结总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为数或反三角函数为 .u苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一8例例5 5 求积分求积分.)sin(ln dxx解解 dxx)

5、sin(ln )sin(ln)sin(lnxxdxx dxxxxxx1)cos(ln)sin(ln )cos(ln)cos(ln)sin(lnxxdxxxx dxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx 苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一9例例6 6 求积分求积分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxe

6、xsin.)cos(sin2Cxxex 注意循环形式注意循环形式苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一10例例7 7 求求22,.()nndxInZxa 解解1n 当当时时有有222122222(1)()()()nnndxxxndxxaxaxa 221222122()12(1)()()nnnxxaandxxaxa 苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一11即即2112212(1)()()nnnnxInIa Ixa 于是于是122211(23)2(1)()nnnxInIanxa 11arctanxICaa又又.nI可可递递推推得得苏州大学数学科学学院大学数学部20

7、23年3月6日星期一12例例 8 8 已已知知)(xf的的一一个个原原函函数数是是2xe,求求 dxxfx)(.解解 dxxfx)()(xxdf,)()(dxxfxxf,)(2 Cedxxfx ),()(xfdxxf 两边同时对两边同时对 求导求导,得得x,2)(2xxexf dxxfx)(dxxfxxf)()(222xex .2Cex 苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一13合理选择合理选择 ，正确使用分部积，正确使用分部积分公式分公式vu,dxvuuvdxvu 二、小结二、小结苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一14第四节、有理函数的积分第四节、有理函数

8、的积分课件制作：苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一15有理函数的定义：有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之两个多项式的商表示的函数称之.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(其其中中m、n都都是是非非负负整整数数；naaa,10及及mbbb,10都都是是实实数数，并并且且00 a，00 b.一、有理函数的积分一、有理函数的积分苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一16假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式,)1(mn 这有理函数是这有理函数是真分式真分式；,)2(mn 这有理函数是这有理函数是

9、假分式假分式；利用多项式除法利用多项式除法,假分式可以化成一个假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和多项式和一个真分式之和.例例1123 xxx.112 xx难点难点 将有理函数化为部分分式之和将有理函数化为部分分式之和.苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一17（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为kax)(,)()(121axAaxAaxAkkk 有理函数化为部分分式之和的一般规律：有理函数化为部分分式之和的一般规律：其中其中kAAA,21都是常数都是常数.特殊地：特殊地：,1 k分解后为分解后为;axA 苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3

10、月6日星期一18（2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中kqpxx)(2 则分解后为则分解后为042 qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 21222211)()(其中其中iiNM,都是常数都是常数),2,1(ki.特殊地：特殊地：,1 k分解后为分解后为;2qpxxNMx 苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一19真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法6532 xxx)3)(2(3 xxx,32 xBxA),2()3(3 xBxAx),23()(3BAxBAx ,3)23(,1BABA,65 BA6532 xxx.36

11、25 xx例例1 1苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一202)1(1 xx,1)1(2 xCxBxA)1()1()1(12 xCxBxxA代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数CBA,取取,0 x1 A取取,1 x1 B取取,2 xBA,并将并将 值代入值代入)1(1 C.11)1(112 xxx2)1(1 xx例例2 2苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一21例例3 3.1515221542xxx )1)(21(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12ACxCBxBA ,1,02,02CACBBA,51,52,54 CBA,12

12、12xCBxxA )1)(21(12xx 整理得整理得苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一22例例4 4 求积分求积分 .)1(12dxxx dxxx 2)1(1dxxxx 11)1(112dxxdxxdxx 11)1(112.)1ln(11lnCxxx 解解苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一23例例5 5 求积分求积分 解解.)1)(21(12 dxxxdxxxdxx 2151522154 dxxx)1)(21(12dxxdxxxx 2211511251)21ln(52.arctan51)1ln(51)21ln(522Cxxx 苏州大学数学科学学院大学数

13、学部2023年3月6日星期一24说明说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：现三类情况：)1(多项式；多项式；;)()2(naxA;)()3(2nqpxxNMx 讨论积分讨论积分,)(2 dxqpxxNMxn,42222pqpxqpxx 令令tpx 2苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一25,422pqa ,2MpNb 则则 dxqpxxNMxn)(2 dtatMtn)(22 dtatbn)(22,222atqpxx ,bMtNMx 记记苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一26,1)2(n dxqpxxNMxn)

14、(2122)(1(2 natnM.)(122 dtatbn这三类积分均可积出这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数.结论结论 有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数.,1)1(n dxqpxxNMx2)ln(22qpxxM ;2arctanCapxab 苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一27三角有理式的定义：三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为)cos,(sinxxR2cos2sin2sinxxx 2sec2tan22xx,2tan12tan

15、22xx ,2sin2coscos22xxx 二、三角函数有理式的积分二、三角函数有理式的积分苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一282sec2tan1cos22xxx ,2tan12tan122xx 令令2tanxu ,12sin2uux ,11cos22uux uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR （万能置换公式）（万能置换公式）苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一29例例6 6 求积分求积分.cossin1sin dxxxx解解,12sin2uux 2211cosuux ,122du

16、udx 由万能置换公式由万能置换公式 dxxxxcossin1sinduuuu )1)(1(22duuuuuu )1)(1(112222苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一30duuuuu )1)(1()1()1(222duuu 211duu 11uarctan)1ln(212u Cu|1|ln2tanxu 2x|2sec|lnx.|2tan1|lnCx 苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一31例例7 7 求积分求积分.sin14 dxx解（一）解（一）,2tanxu ,12sin2uux ,122duudx dxx4sin1duuuuu 46428331C

17、uuuu 333318133.2tan2412tan832tan832tan24133Cxxxx 苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一32解（二）解（二）2cot,cscuxduxdx 令令则则441cscsindxxdxx 22(1cot)cscxxdx 2(1)u du 3()3uuC 3cot(cot)3xxC 苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一33特别注意特别注意对于三角函数有理式的积分对于三角函数有理式的积分,万能置换不一万能置换不一定是最佳方法定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考故三角有理式的计算中先考虑其它手段虑其它手段,不得已才用万能置换

18、不得已才用万能置换.苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一34讨论类型讨论类型),(nbaxxR),(necxbaxxR 解决方法解决方法作代换去掉根号作代换去掉根号.例例8 8 求积分求积分 dxxxx11解解 令令txx 1,12txx 三、简单无理函数的积分三、简单无理函数的积分苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一35,112 tx ,1222 ttdtdx dxxxx11 dttttt 222121 1222tdttdtt 11122Cttt 11ln2.11ln122Cxxxxx 苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一36例例9 9

19、求积分求积分.1113 dxxx解解 令令16 xt,65dxdtt dxxx3111dtttt52361 dttt 163Ctttt|1|ln663223.)11ln(6131312663Cxxxx 说明说明 无理函数去根号时无理函数去根号时,取根指数的取根指数的最小公倍数最小公倍数.苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一37例例1010 求积分求积分.1213 dxxxx解解先对分母进行有理化先对分母进行有理化原式原式 dxxxxxxxx)1213)(1213()1213(dxxx)1213()13(1331 xdx)12(1221 xdx.)12(31)13(922323

20、Cxx 苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一38简单无理式的积分简单无理式的积分.有理式分解成部分分式之和的积分有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）（注意：必须化成真分式）三角有理式的积分三角有理式的积分.（万能置换公式）（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）（注意：万能公式并不万能）四、小结四、小结苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一39（1）常用积分公式汇集成的表称为）常用积分公式汇集成的表称为积分表积分表.（2）积分表是按照被积函数的类型来排列的）积分表是按照被积函数的类型来排列的.（4）积分表见）积分表见高等数学高等数学（五版

21、）上册（五版）上册（同济大学数学教研室主编）第（同济大学数学教研室主编）第347页页（3）求积分时，可根据被积函数的类型直接）求积分时，可根据被积函数的类型直接 或经过简单变形后，查得所需结果或经过简单变形后，查得所需结果.一、关于积分表的说明一、关于积分表的说明苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一40例例1 1 求求.)43(2dxxx 被积函数中含有被积函数中含有bax 在积分表（一）中查得公式（在积分表（一）中查得公式（7）Cbaxbbaxadxbaxx|ln122现在现在4,3 ba于是于是 .434|43|ln91432Cxxdxxx 二、例题二、例题苏州大学数学科

22、学学院大学数学部2023年3月6日星期一41例例2 2 求求.cos451dxx 被积函数中含有三角函数被积函数中含有三角函数在积分表（十一）中查得此类公式有两个在积分表（十一）中查得此类公式有两个224,5baba 选公式（选公式（105）将将 代入得代入得4,5 ba xbadxcosCxbababababa 2tancot2ardxx cos451.2tan3cot32Cx ar苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一42例例3 3 求求.942 xxdx表中不能直接查出表中不能直接查出,需先进行需先进行变量代换变量代换.令令ux 2222394 ux 942xxdx 22

23、3221uudu 223uudu被积函数中含有被积函数中含有,322 u苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一43在积分表（六）中查得公式（在积分表（六）中查得公式（37）22axxdxCaxaxa 22|ln1 223uuduCuu 2233|ln31将将 代入得代入得xu2 942xxdx.943|2ln312Cxx 苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一44例例4 4 求求.sin4xdx 在积分表（十一）中查得公式（在积分表（十一）中查得公式（95）xdxn sin xdxnnnxxnn21sin1cossin利用此公式可使正弦的幂次减少两次利用此公式可

24、使正弦的幂次减少两次,重复使重复使用可使正弦的幂次继续减少用可使正弦的幂次继续减少,直到求出结果直到求出结果.这这个公式叫个公式叫递推公式递推公式.现在现在4 n于是于是苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一45xdx 4sin xdxxx23sin434cossin xdx2sin对积分对积分 使用公式（使用公式（93）xdx2sinCxx 2sin412xdx 4sin434cossin3 xx.2sin412Cxx 苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一46说明说明初等函数在其定义域内原函数一定存在，初等函数在其定义域内原函数一定存在，但原函数不一定都是初

25、等函数但原函数不一定都是初等函数.例例,2 dxex,sindxxx.ln1 dxx苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一47将分式分解成部分分式之和时应注意什么？将分式分解成部分分式之和时应注意什么？思考题思考题苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一48思考题解答思考题解答分解后的部分分式必须是最简分式分解后的部分分式必须是最简分式.苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一49 在接连几次应用分部积分公式时，在接连几次应用分部积分公式时，应注意什么？应注意什么？思考题思考题苏州大学数学科学学院大学数学部2023年3月6日星期一50思考题解答思考题解答注意前后几次所选的注意前后几次所选的 应为同类型函数应为同类型函数.u例例 xdxexcos第一次时若选第一次时若选xucos1 xdxexcosdxxexexx sincos第二次时仍应选第二次时仍应选xusin2