中值定理导数应用

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1、6 6.1 .1 中值定理中值定理6 6.2 .2 洛必达法则洛必达法则6 6.3 .3 函数的单调性与极值函数的单调性与极值6 6.4 .4 泰勒公式泰勒公式结束 前页前页结束结束后页后页定理定理1 1 设函数设函数 满足下列条件满足下列条件)(xf)()(bfaf(3)(3)(1)(1)在闭区间在闭区间 上连续；上连续；,ba(2)(2)在开区间在开区间 内可导内可导;),(ba则在内至少存在一点则在内至少存在一点 ，6.1.1 6.1.1 罗尔定理罗尔定理 ab使得使得0)(f前页前页结束结束后页后页 几何解释如图几何解释如图ABab在直角坐标系在直角坐标系Oxy中中曲线曲线 两端点的连

2、线两端点的连线 平行平行于于 轴轴,其斜率为零其斜率为零x()yf xAB故在曲线弧上定有一点故在曲线弧上定有一点 使曲线在该点的切线平使曲线在该点的切线平行于弦行于弦 ，即平行，即平行于于 轴。轴。AB(,()Mf x0()f Oxy即即前页前页结束结束后页后页则在区间则在区间 内至少存在内至少存在),(ba(1)(1)在闭区间在闭区间 上连续；上连续；,ba(2)(2)在开区间在开区间 内可导；内可导；),(ba定理定理2 2 设函数设函数 满足下列条件满足下列条件)(xf)(xfy MABbaT()()()f bf afba 一点一点 ，使得使得6.1.2 6.1.2 拉格朗日中值定理拉

3、格朗日中值定理前页前页结束结束后页后页曲线曲线 处处有不垂直处处有不垂直于于 轴的切线轴的切线如图如图 在直角坐标系在直角坐标系Oxy()yf xx端点连线端点连线ABAB的斜率为的斜率为()()f bf aba所以定理实际是说存在所以定理实际是说存在点点 ，使曲线在该点的，使曲线在该点的切线切线T平行于弦平行于弦ABAB。()yf xMABba Toxy()()()f bf afba 即即前页前页结束结束后页后页2.2.在开区间在开区间 内可导，内可导，),(ba1.1.在闭区间在闭区间 上连续；上连续；,ba定理定理3 Cauchy3 Cauchy中值定理中值定理则在区间则在区间 内定有点

4、内定有点),(ba)()()()()()(agbgafbfgf 使得使得6.1.3 6.1.3 柯西中值定理柯西中值定理设函数设函数 与与 满足如下条件：满足如下条件：()f x)(xg前页前页结束结束后页后页RolleRolle定理是定理是LagrangeLagrange定理的特例定理的特例:在在LagrangeLagrange中值定理中如果中值定理中如果 则则LagrangeLagrange中值定理变成中值定理变成RolleRolle定理；定理；CauchyCauchy定量是定量是LagrangeLagrange定理的推广定理的推广 在在CauchyCauchy中值定理中如果中值定理中如果

5、 ，则则CauchyCauchy化为化为LagrangeLagrange中值定理。中值定理。)()(afbf xxg)(三个中值定理的关系前页前页结束结束后页后页 如果在某极限过程下如果在某极限过程下,函数函数f(x)与与g(x)同时趋于零或同时趋于零或者同时趋于无穷大，通常把者同时趋于无穷大，通常把 的极限称为未定式的极的极限称为未定式的极限，洛必达法则就是解决这类极限的工具。限，洛必达法则就是解决这类极限的工具。一般分为三种类型讨论：一般分为三种类型讨论：)()(xgxf 洛必达法则001 1 型不定式型不定式2 2型不定式型不定式3 3其它型不定式其它型不定式前页前页结束结束后页后页定理

6、定理1 1 设函数与在的某空心邻域内有定义，且设函数与在的某空心邻域内有定义，且满足如下条件：满足如下条件：000)(lim)(lim)1(xgxfaxax且且在该邻域内都存在在该邻域内都存在和和，xgxf)()()2(;0)(xg.)()(lim)()(limxgxfxgxfaxax 则则）（)()(lim)3(xgxfax存在存在或为或为1 1 型未定式型未定式前页前页结束结束后页后页（为任意实数）为任意实数）例例1 1 求求xxx1)1(lim0 1)1(lim1)1(lim120 xaxxxx解解例例2 2 求求20)1ln(limxxxxxxxxx211lim)1ln(lim020

7、解解 )1(21lim0 xxx前页前页结束结束后页后页例例3 求求 202limxeexxx 解解 12lim2lim2lim0020 xxxxxxxxxeexeexee此定理的结论对于此定理的结论对于 时时 型未定式同样适用。型未定式同样适用。00 x 例例4 求求xxx1arctan2lim解解 22221arctan12limlimlim1111xxxxxxxxx 前页前页结束结束后页后页2型不定式型不定式 的某空心邻域内有定义，且满足如下条件的某空心邻域内有定义，且满足如下条件(1)lim()lim()xaxaf xg x (2)()fx 与与()g x 在该邻域内都存在，且在该邻域

8、内都存在，且()0g x ()(3)lim()()xafxAg x 有有限限或或则则 ()()limlim()()xaxaf xfxg xg x 定理定理2 2 设函数设函数()f x()g xxa 与在点在点前页前页结束结束后页后页例例5 求求xxx3tantanlim2 解解:xxxxxx3sec3seclim3tantanlim2222 xxx22cos3coslim312 )sin(cos2)sin3(3cos2lim312xxxxx 32sin6sinlim2 xxx 定理定理2 2的结论对于的结论对于 时的时的 型未定式型未定式的极限问题同样适用。的极限问题同样适用。x 前页前页结

9、束结束后页后页例例6 6求求nxxxlnlim 解解 01lim1limlnlim1 nxnxnxnxnxxxx则可继续使用洛必达法则。即有则可继续使用洛必达法则。即有能满足定理中能满足定理中)(xf)(xg与与应满足的条件，应满足的条件，)()(lim)()(lim)()(limxgxfxgxfxgxfaxaxax )(xf )(xg 与与还是还是 型未定式，且型未定式，且)()(limxgxfax 00如果如果前页前页结束结束后页后页如果反复使用洛必达法则也无法确定如果反复使用洛必达法则也无法确定则洛必达法则失效则洛必达法则失效.此时需用别的办法判断未定式此时需用别的办法判断未定式)()(

10、xgxf的极限。的极限。)()(xgxf或能断定或能断定)()(xgxf 的极限，的极限，无极限，无极限，前页前页结束结束后页后页例例7 7 求求xxxxsin1sinlim20解解 这个问题是属于这个问题是属于00型未定式，型未定式，20011sinsinlimlim01sinsinxxxxxxxxx但分子分母分别但分子分母分别112 sincoscosxxxx求导后得求导后得此式振荡无极限，故洛必达法则失效，不能使用。此式振荡无极限，故洛必达法则失效，不能使用。但原极限是存在的，可用下法求得但原极限是存在的，可用下法求得前页前页结束结束后页后页3 3其它型不定式其它型不定式未定式除未定式除

11、00和和 型外，还有型外，还有 1000 0 型、型、型、型、等五种类型。等五种类型。型、型、型、型、型、型、前页前页结束结束后页后页型或者型或者 型型型：型：0 100010 (型型)变为变为xxxlnlim30 301lnlimxxx 4031limxxx xxx3lim40 3lim30 xx xxxlnlim30 例例8 8 求求解解0 前页前页结束结束后页后页 型型:通分相减变为通分相减变为 型型00例例9 9 求求)ln11(lim1xxxx （型）型）解解 )ln11(lim1xxxx xxxxxxln)1(1lnlim1 (0)0型型xxxxxln111lnlim1 xxxxl

12、n11lnlim1 xxxx111lim21 21(0)0型型前页前页结束结束后页后页 1000 型未定式型未定式:由于它们是来源于幂指函数由于它们是来源于幂指函数 的极限的极限 )()(xgxf因此通常可用取对数的方法或利用因此通常可用取对数的方法或利用 )()(xgxf)(ln)(xfxge 00 即可化为即可化为 型未定式，再化为型未定式，再化为 型或型或 型求解。型求解。0例例10 10 求求xxx 0lim0(0)型型xxxxxxxxeexlnlimln000limlim xxxlnlim0 xxx1lnlim0 2011limxxx 0)(lim0 xx1lim00 exxx 解解

13、所以所以前页前页结束结束后页后页例例11 11 求求xxxsin0)(cotlim,)(cotsin xxy xxycotlnsinln yxlnlim0 xxxsin1cotlnlim0 xxxxxcossin1sin1cot1lim220 0cossinlim20 xxx yx0lim解解 设设xxxcotlnsinlim0 所以所以 xxxsin0)(cotlim yxeln0lim10 e（型）型）0 前页前页结束结束后页后页例例12 12 求求xexxln11)(lnlim（型型）1,)(lnln11xxy )ln(lnln11lnxxy xxxxxyexexex11ln1limln

14、1lnlnlimlnlim 1)ln1(lim xex所以所以 1ln11)(lnlim exxex解解前页前页结束结束后页后页 函数的单调性与极值函数的单调性与极值 定理定理1 1 设函数设函数f(x)在闭区间在闭区间 a,b 上连续，在开区上连续，在开区间间(a,b)内可导，则：内可导，则：1.若在若在(a,b)内内 ,则则f(x)在区间在区间(a,b)内单调增加内单调增加()0f x 2.若在若在(a,b)内内 ,则则f(x)在区间在区间(a,b)内单调减少。内单调减少。0)(xfabab 函数的单调性及判别法函数的单调性及判别法前页前页结束结束后页后页例例2 2 确定函数确定函数 的单

15、调区间的单调区间.xxxf3)(3 可导，可导，且等号只在且等号只在 x=0 成立成立.0cos1 xy解解 因为所给函数在区间因为所给函数在区间 上连续，在上连续，在 内内,),(例例1 1 判定函数判定函数 在区间在区间 上的单调性上的单调性.xxysin ,所以所以函数函数 在区间在区间 上单调增加上单调增加.xxysin ,解解 )1)(1(333)(2 xxxxf所以当所以当 x=-1,x=1时时0)(xf x (-,-1)-1(-1,1)1(1,+)f(x)+0 -0 +f(x)前页前页结束结束后页后页 反之，如果对此邻域内任一点反之，如果对此邻域内任一点 ，恒有，恒有 则称则称

16、为函数为函数 的一个极小值，的一个极小值，称为极小值点。称为极小值点。)(xf)(0 xxx)(0 xf0 x)()(0 xfxf 6.3.2 6.3.2 函数的极值函数的极值定义定义 设函数设函数 在点在点 的某邻域内有定义，若对此的某邻域内有定义，若对此邻域内每一点邻域内每一点 ，恒有，恒有 ，则称，则称 是函数是函数 的一个极大值，的一个极大值，称为函数称为函数 的一个极的一个极大值点；大值点；)(xf0 x)(0 xxx)()(0 xfxf)(0 xf0 x)(xf)(xf 函数的极大值极小值统称为极值，极大值点极函数的极大值极小值统称为极值，极大值点极小值点统称为极值点。小值点统称为

17、极值点。前页前页结束结束后页后页 ab1x3x5x2x4xABCDE极值是局部的，只是与邻近点相比较而言。并非在整极值是局部的，只是与邻近点相比较而言。并非在整个区间上的最大最小。极大值点与极小值点也不是唯个区间上的最大最小。极大值点与极小值点也不是唯一的。如下图中一的。如下图中A、B、C、D、E都是极值点。都是极值点。从图中可看出从图中可看出,极小值极小值不一定小于极大值，如不一定小于极大值，如图中图中D点是极小值，点是极小值，A点是极大值。点是极大值。前页前页结束结束后页后页定理定理3（极值第一判别法）：（极值第一判别法）：设函数设函数 在点在点 的某邻域内连续，且在此的某邻域内连续，且在

18、此邻域内（邻域内（可除外）可导可除外）可导)(xf0 x0 x（1）如果当）如果当 时时 ，而当，而当 时，时，则则 在在 取得极大值。取得极大值。0 x0)(xf0 xx 0 xx 0)(xf)(xf0)(xf0)(xf 0 x 0 x0 x（）如图所示：如图所示：在在 ，),(00 xx 0)(xf在在 ，),(00 xx0)(xf在在 取得极大值。取得极大值。)(xf0 x前页前页结束结束后页后页（2）如果当）如果当 时时 ，而当，而当 时，时，则则 在在 取得极小值。取得极小值。0 x0)(xf0 xx 0 xx 0)(xf)(xf0)(xf0)(xf 0 x 0 x0 x（）如图所示

19、：如图所示：在在 ，),(00 xx 0)(xf在在 ，),(00 xx0)(xf在在 取得极小值。取得极小值。)(xf0 x（3）如果在）如果在 两侧两侧 的符号不变，则的符号不变，则 不是不是 的极值点，如图示的极值点，如图示0 x)(xf 0 x)(xf0)(xf 0 x 0 x0 x（）0)(xf前页前页结束结束后页后页(4)利用定理利用定理3,判断判断(2)中的点是否为极值点中的点是否为极值点,如果是如果是 求极值点的步骤：求极值点的步骤：(1)求函数的定义域求函数的定义域(有时是给定的区间有时是给定的区间);(3)用用(2)中的点将定义域中的点将定义域(或区间或区间)分成若干个子区

20、间分成若干个子区间,进一步判定是极大值点还是极小值点进一步判定是极大值点还是极小值点.(2)求出求出 ,求出使求出使 的点及的点及 不存在的点不存在的点;)(xf 0)(xf)(xf 讨论在每个区间讨论在每个区间 的符号的符号;)(xf (5)求出各极值点处的函数值求出各极值点处的函数值,得函数的全部极值得函数的全部极值.前页前页结束结束后页后页 例例4 求函数求函数 的单调区间和极值的单调区间和极值.32)1()1()(xxxf解解 函数的定义域为函数的定义域为),(223)1()1(3)1)(1(2)(xxxxxf)15()1)(1(2 xxx0)(xf,11 x,512 x13 x令令,

21、得驻点得驻点这三个点将定义域这三个点将定义域分成四个部分区间，列表如下分成四个部分区间，列表如下极大值极大值,3125345651 f极小值极小值0)1(f前页前页结束结束后页后页)1)(1(333)(2 xxxxfxxf6)(令令 得得11 x12 x0)(xf由于由于06)1(f06)1(f定理定理4(极值的第二判别法极值的第二判别法)设函数设函数 在点在点 处具有处具有)(xf0 x 二阶导数，且二阶导数，且 ，；0)(0 xf0)(0 xf（1）若若 ，则，则 是函数是函数 的极小值点；的极小值点；0)(0 xf0 x)(xf（2）若）若 ，则，则 是函数是函数 的极大值点；的极大值点

22、；0)(0 xf0 x)(xf例例5 求函数求函数 的极值的极值.xxxf3)(3 解解 函数的定义域为函数的定义域为),(所以所以 为极大值为极大值,为极小值为极小值.2)1(f2)1(f前页前页结束结束后页后页 6.3.3 6.3.3 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值是函数在所考察的区间上全部函数值中最大者和最小者是函数在所考察的区间上全部函数值中最大者和最小者 最小的就是函数在区间最小的就是函数在区间上的最小值。上的最小值。,ba连续函数在区间连续函数在区间上的最大值与最小值可通过比较上的最大值与最小值可通过比较端点处的函数值端点处的函数值 和和 ;1.1.区间区间,ba()()

23、f af b2.2.区间区间内使的点处的函数值；内使的点处的函数值；),(ba0)(xf内使内使 不存在的点处的函数值。不存在的点处的函数值。3.3.区间区间),(ba)(xf 这些值中最大的就是函数在这些值中最大的就是函数在上的最大值上的最大值,ba,ba上的最大值与最小值是全局性的概念上的最大值与最小值是全局性的概念,函数在区间函数在区间,ba如下几类点的函数值得到：如下几类点的函数值得到：前页前页结束结束后页后页 上的最大值和最小值。上的最大值和最小值。在驻点处函数值分别为在驻点处函数值分别为在端点的函数值为在端点的函数值为最大值为最大值为最小值为最小值为解解)1)(1(444)(3 x

24、xxxxxf令令0)(xf，得驻点，得驻点11 x0,2 x1,3 x13)2()2(ff4)1()1(ff例例6 6 求函数求函数 在区间在区间52)(24 xxxf 2,2)(xf4)1(,5)0(,4)1(fff3)2()2(ff比较上述比较上述5 5个点的函数值，即可得个点的函数值，即可得 在区间在区间上的上的)(xf 2,2 前页前页结束结束后页后页M1xyo1 2 M2M1xyo1 2 M23.4.1 3.4.1 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点定义定义1 1：如果在某区间内，曲线弧总是位于其切线的上：如果在某区间内，曲线弧总是位于其切线的上方，则称曲线在这个区间上是凸的。方，则称

25、曲线在这个区间上是凸的。如图所示如图所示6.4 6.4 函数图形的描绘函数图形的描绘前页前页结束结束后页后页 如果曲线弧总是位于其切线的下方，则称曲线在如果曲线弧总是位于其切线的下方，则称曲线在这个区间上是凹的。如下图：这个区间上是凹的。如下图：当曲线为凸时，曲线当曲线为凸时，曲线 的切线斜率的切线斜率 随着随着 的增加而增加，即的增加而增加，即 是增函数；反之，当是增函数；反之，当曲线为凹时，曲线曲线为凹时，曲线 的切线斜率的切线斜率 随随着着 的增加而减少，即的增加而减少，即 是减函数。是减函数。)(xfy xxftan)(x)(xfy)(xf()tanfxx x)(xf M1x1 2 M

26、2yoM1xyoM2前页前页结束结束后页后页定理定理1 1 设函数设函数 在区间在区间 内具有二阶导数内具有二阶导数 （1 1）如果）如果 时，恒有时，恒有 ，则曲线，则曲线 在在 内为凸的；内为凸的；（2 2）如果）如果 时，恒有时，恒有 ，则曲线，则曲线 在在 内为凹的。内为凹的。定义定义2 2 曲线上凹与凸的部分的分界点称为曲线的拐点。曲线上凹与凸的部分的分界点称为曲线的拐点。拐点既然是凹与凸的分界点，所以在拐点的某邻域拐点既然是凹与凸的分界点，所以在拐点的某邻域内内 必然异号，因而在拐点处必然异号，因而在拐点处 或或 不存在。不存在。)(xfx)(xfx)(xf)(xf )(xf 0)

27、(xf),(ba),(ba0)(xf),(ba),(ba),(ba0)(xf前页前页结束结束后页后页例例1 1 求曲线求曲线 的凹凸区间与拐点。的凹凸区间与拐点。解解 令令 ，得，得 ，1234 xxy2364xxy 2,121212(1)yxxx x 列表如下列表如下 0 0 0 y1 ,021 xx)1,0(),1()0,(10)1,0()0,1()fx()f x有拐点有拐点有拐点有拐点x前页前页结束结束后页后页 可见可见,曲线在区间曲线在区间 内为凸的，在区内为凸的，在区间间 内为凹的，曲线的拐点是内为凹的，曲线的拐点是 和和 .),1(,)0,()1,0()1,0()0,1(如果函数如

28、果函数 在在 的某邻域内连续，当在点的某邻域内连续，当在点 的二的二阶导数不存在时，如果在点阶导数不存在时，如果在点 某空心邻域内二阶导数存在某空心邻域内二阶导数存在且在且在 的两侧符号相反，则点的两侧符号相反，则点 是拐点；如果两是拐点；如果两侧二阶导数符号相同，则点侧二阶导数符号相同，则点 不是拐点不是拐点.)(xf0 x0 x0 x)(,(00 xfx)(,(00 xfx0 x综上所述，判定曲线的凹凸与拐点的步骤可归纳如下：综上所述，判定曲线的凹凸与拐点的步骤可归纳如下：（1 1）求一阶及二阶导数）求一阶及二阶导数 ，；（2 2）求出）求出 及及 不存在的点；不存在的点；)(xf )(x

29、f )(xf )(xf 前页前页结束结束后页后页（3 3）以（）以（2 2）中找出的全部点，把函数的定义域分成）中找出的全部点，把函数的定义域分成若干部分区间，列表考察若干部分区间，列表考察 在各区间的符号，从而在各区间的符号，从而可判定曲线在各部分区间的凹凸与拐点。可判定曲线在各部分区间的凹凸与拐点。)(xf 例例2 2 求曲线求曲线 的凹凸区间与拐点。的凹凸区间与拐点。2xey 解解 函数的定义域为函数的定义域为 当当 时，时，故以，故以 将定将定义域分成三个区间，列表如下：义域分成三个区间，列表如下：0 y21 x22xxey 22,2(21)xyex 21 x21 x),(前页前页结束

30、结束后页后页x1(,)2 1211(,)22121(,)2)(xf )(xf +0 0 +有有 拐拐 点点有有拐拐点点 在在 处，曲线上对应的点处，曲线上对应的点 与与 为拐点。为拐点。21 x)1,21(e)1,21(e泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理 x x0 0的某个开区间的某个开区间(a,b)(a,b)内具有直到内具有直到(n+1)(n+1)阶的导数阶的导数,则当则当x x在在(a,b)(a,b)内时内时,f(x),f(x)可以表示为可以表示为(x-x(x-x0 0)的一个的一个n n次多项式与一个余项次多

31、项式与一个余项R Rn n(x)(x)之和之和:如果函数如果函数f(x)f(x)在含有在含有 1101()()()(),()!nnnfRxxxn其中其中00()()()()!nnnfxxxRxn(4)注注3：当：当n=0时时,泰勒公式即为拉格朗日中值定理泰勒公式即为拉格朗日中值定理.)()()()(000之间与在xxxxfxfxf泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)公式公式:21100020 1()()()()()()!()().!()!nnnnffxffxxffxxxnn2000002()()()()().()!nn

32、nffffxxxxn 211111121.!()!xxnneexxxxnn 3572112135721()sin.()!()!mmmxxxxxxRm 2462112462()cos.!()!kkxxxxxk 1222221 0122cos()()()()!kkxkxk 2341234ln()xxxxx111 1()()()nnnxn 1 1()()()f xxx 11 1()()().()()nnfxnx 由由，011()()().()nfn 则则231121123()()()()!xxxx 121()().().!nnxn 111211()().()()()!nnnxn 0()x在在 与与 之之间间除了上面除了上面 5 个公式外，还有下面常用的公式个公式外，还有下面常用的公式.0216 1 11();nnxxxo xxx 0217 1(1)11();nnxxxo xxx n350528 tan;315()xxxo x x352101219 arctan13521()().nnnxxxxo xn x