第三章 幂级数展开

《第三章 幂级数展开》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第三章 幂级数展开（22页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第三章蓦级数展开E 3.1复数项的级数一. 复数的无穷级数可表示为:00z W = W + W + w k，+ wn(1)k12k=w =u +iv其中：kk前n项和为：SW=W + W + -1- w ，.+ wnk1knk=lkkk=l k=l当8时级数：S T级数：n=l w =工 U +kkk=l1 vk女1 一个复数项级数可分解为实部项级数可虚部项级数两个级数的组合收敛问题是线性讨论级数的一个重要方面，而复数项级数的收敛问题可以归结为两个实数项级数（实部和虚部）的收敛1. 柯西收敛判据：一个级数还可写为：(4) w = s +工 wk nkk=ly其中s 是钱n项和 为余项knl00

2、判据:任何一个小正数E若能找到一个N使得nN时Z W V&则称 kk=n+ln=l收敛，其中P为任意整数若叫=工k=L2. 绝对收敛绝对收敛;+*是收敛的，则芸W k k=lk=l两个敛的级数相乘后所得的级数耶是绝对收敛的，其和等于相乘级数和的乘积 二.复变项级数(复变函数项级数)1. 函数项级数一般表示为：(5)寸 w (z) = w (z) +W (z) + k12k=l函数项级数的收敛问题得涉及到Z的取值域，若Z在B上取值是(5)收敛，则称yyJ气在B上收敛。b称为七的收敛域k=lk=l函数项级数也可表示为：(6)X W (z) = Ew = X W kkkk=lk=l k=n+l2.

3、函数项级数的收敛如在B,对于个点z笋E w(Z)任意给& 0,若存在N使得nN时有乙 巧V&则称级数k 在B上一致/Vk=n+lk=收敛3. 收敛级数性质(1) 在B上一致收敛的函数项级数的每一项都是B上的连续函数(2) 在B上一致收敛的函数项级数的每一项都可积分n逐项积分00(3) 若有|w，而 m k是收敛的，则Z雄(z)绝对且一致收敛k k k=lk& 3.2幕级数最典型也最常见的级数一一即级数的各项都是幕函数寸 a (z - z )k = a + a (z - z ) + a (z - z)2 + k 00102k=0其中z、a、a、a .都是复常数，这一的级数叫做以z为中心展开的幕级

4、数 00120一.级数收敛判别法1.比值判别法（达朗贝尔判别法）:k saz - zkk saki1 0k若:limKJ lz - z0lk+1 = limKJ(3)则（2）正项级数收敛，亦即级数（1）绝对收敛2.根值判别法若:limVlaJlz-z0Ik V 1 k T8(4)则级数（2）收敛，亦即级数（1）绝对收敛3. 收敛域和收敛半径函数级数的收敛问题（从根本上）具体要涉及的是收敛u的问题即，z在什么样的范围内取值级数是收敛的，收敛判别法本身给出了z的取值范围:由判别法“1”：V liak T8k+1a(6)k s ak +1为级数（1）的收敛半径只要满足K 一 z0| V R的所有点其

5、级数（1）都收敛则以z0为中心R为半径的区域是（1）的收敛区域，对应圆称（1）的收敛圆。limk sz - z0 |k V 1(7)由判别法“2”：收敛圆:即有 limk TSk(8)这样我们就有了两种求收敛圆的方法以上的收敛判别是从绝对收敛的角度考虑讨论，因此得到的收敛域比“全收敛域”要小，记 载收敛域外仍有收敛的可能性。另外，由于(5)、(7)式是绝对不等号，故收敛的边界上够绝对收敛域，可作半径为 匕的圆，使(稍小于)则称对应圆的“收敛内圆”级数在收敛内圆上是“一致收敛”例1， 求级数 的收敛圆及在收敛域内的收敛性解：利用此值判别法：R - limk s在域内： tkk T1a kak+1

6、= lim|；、1-limLtk lim _+1 ( 1 2/2(0) = 0所以级数只存在偶数项而奇数项为零：一功泠5（沪3弓-Z6二 + 4! 6!oo72k(S 0,1,2=Z(-12kk=01回顾：定义的cs Z = -( + e-u显然：将的奇数项都消去,而只留下了偶数项(消去偶数项，留奇数项n sinz)例4.求以上e、sinz、cosz在 =。展开的级数的收敛域R = lia；oo a k+lliffi ( do)人00(2) sinz = * (-1k=0Zk+l(2 + 1)!2化+3此值判别:limks=limk00(2k+ 3)!Z2k+1(2k+ 1)1lim坐也s Q

7、k + 3)!Z2 1即：Z2 = 2 lim|(2k + 3)(2k + 2)|ks % = Jlim|(2* + 3)(2* + 2)| T oo(2) 同理：乌00复习：利用函数的级数展开的唯一性质，很多级数不用直接一年泰勒展开式做1例5.-的展开1 + Z1解：令 Z = T= 1t + 2+.|dl1 + 1例6. 求1+Z2 1一= 1-z + z2-z3=* (-l)e1 + zi=0解：令z2 =-t1 1 - z 2 + z 4 - z 6 += (-1)nz 2 n1+ z2n=0sin z例7.求 -zz3 , z5sin z = z 一 + 3! 5!例8求mu-Q和m

8、u+Q在z0 = 0处的展开解：ln(1 - z)是二的原函数1 - zln(1- z) = z + - z2 + - z3 + 23 1=J znnn=1(级数经求导和求和后，收敛圆不变)& 3.4解析延拓将一个在一定区域b上解析的函数f (z)找到另一个函数F(z)，使得F(z)在b域上有F(z) = f (z)这就称为解析的延拓延拓到；一个更大的区域B上，此时在B上可以z z2 , z5 例：f (z) = sin z = + 1! 3! 5!在整个复平面解析sin . z2 z4八=1 一一 + 0 z3! 5!Z在z0=0处不解析若定义:F (z)=sin z1 z 2z 5=1 +

9、 z 3!5!1(利用0 |z| 8lim匹 =1，并非随便找个函数来拼凑)显然F(乙)在全复平面解析，可视为f (Z)的延拓(0 目8延拓至|Z|8 )& 3.5裸朗级数展开泰勒展开是将函数f (z)在解析域的展开，若在不解析域中(有奇点)时，就不能再将函 数展为泰勒级数了在有奇点时，需要考虑在挖去奇点的环域上展开。(通常以奇点的心)，此即为级数洛朗 的展开。一双边幕级数以前 1 + z + z2 + (1)1 - z称双边(向右)级数若有： z-n 1 + z-1 + Z-2 + (2)n 0称单边(向左)级数而：a (z - z )-k + + a (z - z )-1 + a + a

10、(z - z ) + + a (z - z ) + .(3) -k0_ v-0 / 0 10 、- k 0/称为双边级数双边数的收敛域一般作一下判断：右单边：|z 一 zj R左单边：可设g 则左单边级数：z 一 z0a g + a g 2 + (4)-1-2设(4)的收敛半径为|g| R 亦即|z - z0 R2 (3左边的收敛域)2合起来有：R2 |z一z0 R1(5)(5)称为(3)的收敛域(一般奇点被围在R2半径环内)二洛朗展开定理：设f (z)在环形区域R2 |z-z| R1的内部单值解析，则对环域上任一点z , f (z) 可为幕级数即：f (z) U a (z - z )(6)k

11、 0k =-s其中：a =上i-dg k 2兀 i c ( g f。) k+1 &积分路径c为环内曜气的逆时针方向圆(闭合) 定理的解读：域：R2 v z- z0| v R 环意味着环域上是而可能是奇点(6)式的展开称为洛朗展开，洛朗展开的意义是在挖去奇点的环心附近的展开(与泰勒展 开不同)正因为仪能是奇点，/(z)在的导数一定不存在，所以a =二山f(g) dg。- f()(z )f (n)(z)-主 if (z) dz2 兀 i (z - z。) k+ik 2兀 i c (g - z )k+in!。不满足柯西公式 f (z ) = 由dz,2兀i czz0当是解析点时且无别的奇点a =顼一

12、由一dg = .f (n)(z )k2 兀 i c (g - z ) k+in!。此时罗朗级数泰勒级数 对应收敛域R2 -。一般小结以上思路也可证明，罗朗级数的展开也是唯一的根据这一点在实际应用中，很少直接由(6)、(7)展开级数。常常利用已知级数作展开例1. 在z =。的邻域上把打展开zz3 , z5解：sin z = z +3! 5!z 2 z 4sin z = 1 -3Y + 京 0v |z| 8一.1例2在1v |z| 8的环域上将f (z)=展开为洛朗级数z 2 -1解： 分析：展开中心：O点(1 v |z-0 81)函数的奇点：z = 1且奇点在R2上(在附近的导数存在z0 = 0

13、点解析，然而若延c积分，R - 0时积分不存在，故不能 展开为泰勒级数)111可对Z做变形f (z)=厂z 2 -1 z 2B =1 z2显然14 = -1 1 利用上 展开式 z 21 tf (z )=11=(1+ 12 + ) z2 1z21 |z| 8比较以上两例例2中在z= o（展开中心）处是解析的（奇点z = 1在处）例1中，在zo = 0 （展开中心）是奇点1例3在对于f （z）= 若展开中心Za （z 1*为z = 1 （某一奇点处），求其幕z 2 1k0级数解：由于f （z）要展为关于（Z-1 ）的幕级数 于是理法解析f (z)=-=z 2 1( z 1)(z +1)人 1 A

14、 B (Az + A) + (Bz B) 令=+=(z 一 1)(z +1) z 一 1 z +1(z 一 1)(z +1)解得:(A + B) z + (A 一 B) (z 1)(z +1)1(z 1)(z +1)1_1z (z 1)z (z +1)(1)其中，第一项已经是关于（z 1）的幕函数，处理第二项:(2)1 _1_ 11z +1 (z 1)+ 2 2 1 + /z -1、I z )因为2 = 1是/（Z）的寄点，若以Z = 1为中心展开，贝0在环域0（z析的又对于（2）式在|z-l|2时可将其展开为级数：Z111c（2）中令 =t n =1 f + f2 + .1|)所以（2）式可

15、展开为:_1,1一1、，1、1、(z 1)*=飞乙(一-)*()* =乙(1)* -222好1k=Qk=0(1 )式为：f(z)= 1Z2 1 2 z-11 一项j( 1 *2好1k=0V z 、(z 1)* =( 1 V+i2sk=-l(0 |z-l|-00=0例4. /（z） = ez在七=附近的展开略（利用甲=）习题：（I）、（2）、（3）提不:%)=I I2 zl a (z-l 奇点：z = k1一 1图小二1本身就是气(z - 1)k讲义：34页附例：对于f (Z )=1111 1z 2 1 2 z 1 2 z +1其中:1 _111z +1 (z 1) + 2 z -1 + 2z

16、1(1)(2)对于 2 |z 一1| 81利用已形成：11 t +12 t3 + 1 +1 1 + z z1(3)- -1-(二)+ (二)2-(N )3 + .1 + z z1 z 1 z1z 1代回(2)式：1 1 (1 2 + ( 2 )2 ( 2 )3 +)z +1 z 1z 1z 1 z 11222231+z 一 1 (z 一 1)2 (z 一 1)3(z 一 1)4空(-1)k2k(z 1)k+1(4)代回(1)得:122223+(z 1)2( z 1)3( z 1)4( z 1)5-Zk(1)2k(z 1)k+22 |z 1|8 (5)于是有0 (k寸k =0 Hk=1k 2|z

17、|v 1在疽的中心为开d1 1 V , k (z-1)k一 (1)2 k +12k+2k=0Ek2k(1)(k 1)k+2k=02 k -i| 81,1、，利用 一 = (_)k2 k1故可求出一k的开1 _1k1 + (k 1)& 3.6孤立奇点的分类孤立奇点:设k0是e的一个奇点，若/在k0的任意小邻域内处处可导(除点)则称k0是孤立奇点若总可找到一个k0的邻域(无论多小)使f (k)不可导，则k0是f (k)的孤立奇点， 以下我大多讨论孤立奇点二孤立奇点的分类洛朗级数一般是双边级数，右单边的正幕部分称解析部分，而左单边的负幕部分 称主要部分(或无限部分)通过以上例题，我们想到挖去奇点k而

18、形成的环形区域的解析函数f (k)的洛朗形 0式可分三种情况：(1) 没有负幕项，只有解析部分(2) 只有有限的幕项和解析(3) 完整的双边级数(主要是解析或只有主要部分)我们把对应上述三种情况的奇点分别叫做(1)可去奇点(2)极点(3)本性奇 点。1对于可去奇点的洛朗级数：f (k) = a + a (k k ) + a (k k )2 +01020当2 z 时lim f (k) = a0(是一定值，有限)此时，我们可以定义:w、J f( z) F (z) = I ai 0(z。z0)(z = z0)对于F来说，在全集平面上(复空间)解析，z0不再是奇点，故称z0是可去奇点(级数a + a (z z ) + a (z z )2 + 即是f (z)的洛朗级数，又是F(z)的泰勒级数)好01020像z对f (z)是不是奇点都我所谓。0故以后可将可去奇点作非奇点处理。2 对于(2)情况一一极点情况设m是主要部分的最大项，则m称作极点z0的阶。m=1的极点叫一阶极点，又称单极点一般地，lim f (z) = lim 若 a (z z ) s 发散 0 z0- 一Z *0 k =- m且：lim( z z ) mf (z) = af0 m3本性极点情况收敛f (z) = # ak (z z0)ks(0 V |z z0| R)f (z)的极限随z0的方式会有不同，参P62页无极限