信号与系统：第 2 章连续信号与系统的时域分析

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1、1第第 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 l 2.0 2.0 引引 言言l 2.1 2.1 连续时间基本信号连续时间基本信号 l 2.2 2.2 卷积积分卷积积分 l 2.3 2.3 系统的微分算子方程系统的微分算子方程 l 2.4 2.4 连续系统的零输入响应连续系统的零输入响应 l 2.5 2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应 l 2.6 2.6 系统微分方程的经典解法系统微分方程的经典解法22.0 引言引言l 信号与系统分析的信号与系统分析的基本任务基本任务是在给定系统和输入的条件是在给定系统和输入的条件下，求解系统的输出响应。下，求解系统的输出响应

2、。l 连续信号与系统的时域分析是指信号与系统的整个分析连续信号与系统的时域分析是指信号与系统的整个分析过程都在连续时间域进行，即所涉及的函数自变量均为过程都在连续时间域进行，即所涉及的函数自变量均为连续时间连续时间t t的一种分析方法。的一种分析方法。l 自自2020世纪世纪6060年代以来，随着状态变量概念的引入，现代年代以来，随着状态变量概念的引入，现代系统理论的确立以及计算技术的不断进步，时域分析法系统理论的确立以及计算技术的不断进步，时域分析法正在许多领域获得越来越广泛的应用。正在许多领域获得越来越广泛的应用。32.1 连续时间基本信号连续时间基本信号 n 奇异信号奇异信号 信号本身有

3、间断点信号本身有间断点 数学上的不连续数学上的不连续，或一阶导数或高，或一阶导数或高阶导数有间断点，而且不能以普通函数的概念来定义阶导数有间断点，而且不能以普通函数的概念来定义n (t)冲激信号冲激信号 (-1)(t)=(t)阶跃信号阶跃信号4正弦信号正弦信号l 正弦信号的一般形式表示为正弦信号的一般形式表示为：)cos()(tAtfl A、和和分别分别为正弦信号的为正弦信号的振振幅、角频率幅、角频率和和初初相相。A Atf(t)oTfT122)cos()()()(tjtjeeAtAtf5实指数信号实指数信号函数表示式为：函数表示式为：()tf tAe 实指数信号的波形实指数信号的波形6复指数

4、信号复指数信号函数表示式为函数表示式为:0()()jtf tAe由欧拉公式，可得由欧拉公式，可得00()cos()sin()tf tAetjt 复指数信号实部和虚部的波形复指数信号实部和虚部的波形7复指数信号复指数信号根据根据0、的不同取值，复指数信号可表示为下列几种特殊信号：的不同取值，复指数信号可表示为下列几种特殊信号：00()f tA1 1当当时，时，为直流信号；为直流信号；0()()jtftA e()tf te0002 2当当而而时，时，为实指数信号；为实指数信号；000()jtfte3 3当当而而时，时，称为正弦指数信号，称为正弦指数信号，02T的周期信号。的周期信号。0jte 是周

5、期为是周期为8抽样信号抽样信号抽样信号抽样信号()aS t定义为定义为sin()()tf tStt 抽样信号抽样信号9抽样信号抽样信号n 性质：性质：（1 1）()aSt为偶函数；为偶函数；t()aS t（2 2）当）当时，时，的振幅衰减趋近于的振幅衰减趋近于0 0；()0fk，（，（k k为整数）；为整数）；（3 3）()aSt 信号满足：信号满足：20()St dt ()St dt102.2 卷积积分卷积积分l 卷积的定义卷积的定义 f1(t)和和f2(t)是定义在是定义在(-，)区间上的两个连续时间信号。区间上的两个连续时间信号。dtff)()(21f1(t)和和f2(t)的卷积的卷积(

6、Convolution)定义为：定义为：)()(21tftfl 简记为：简记为：11卷积积分卷积积分l 卷积即卷积即 dtfftftf)()()()(2121 式中，式中，为积分变量。为积分变量。积分的结果为另一个新的时间信号。积分的结果为另一个新的时间信号。12卷积的图解机理卷积的图解机理例例 给定信号)()()3()()(21tetftttft求y(t)=f1(t)*f2(t)。f1(t)和和f2(t)波形波形 13变量变量t替替换为换为变量变量t替换为替换为，并且波形反并且波形反转转dtfftftf)()()()(2121卷积的图解机理卷积的图解机理14dtfftftf)()()()(2

7、121f2(-)平移与平移与f1()相乘相乘卷积的图解机理卷积的图解机理15 当t3时，f2(t-)波形如图所示，此时，仅在0 3 范 围 内，乘 积f1()f2(t-)不为零，故有 卷积的图解机理卷积的图解机理18卷积的图解机理卷积的图解机理最终结果是一个分段函数最终结果是一个分段函数dtfftftf)()()()(212119卷积原理卷积原理 信号f1(t)与f2(t)的卷积运算可通过以下几个步骤来完成：l 第一步第一步，画出f1(t)与f2(t)波形，将波形图中的t轴改换成轴，分别得到f1()和f2()的波形。l 第二步第二步，将f2()波形以纵轴为中心轴翻转180，得到f2(-)波形。

8、l 第三步第三步，给定一个t值，将f2(-)波形沿轴平移|t|。在t0时，波形往右移。这样就得到了f2(t-)的波形。20卷积原理卷积原理l 第四步第四步，将f1()和f2(t-)相乘，得到卷积积分式中的被积函数f1()f2(t-)。l 第五步第五步，计算乘积信号f1()f2(t-)波形与轴之间包含的净面积，便是 卷积在t时刻的值。l 第六步第六步，令变量t在(-，)范围内变化，重复第三、四、五步操作，最终得到卷积信号f1(t)*f2(t)。21课堂练习：卷积的图解法课堂练习：卷积的图解法111)(1tf)(2tf5.000tt22课堂练习：卷积的图解法课堂练习：卷积的图解法).()()(),

9、()()(222121fftftftftf反转得代换，并将的自变量用第一步：将函数的步骤：求00011115.05.0)(1f)(2f)(2f23课堂练习：卷积的图解法课堂练习：卷积的图解法)()(tftf22，得轴平移时间沿正第二步：将函数)(2tf0t1t)(0 左移t)(2tf)(1f0t1t115.0)(10右移t)(1f)(2tf0t1t115.0)(21右移 t20.5)(2tf0t1t)(1f1122t24课堂练习：卷积的图解法课堂练习：卷积的图解法以上计算结果归纳为完全分离，与于零两图形分离，其乘积等的积分分相乘，求相乘后图形第三步：两信号重叠部0)()()(,2)2(5.05

10、.01)(,5.01)()(,215.05.01)(,5.01)()(,100)()()(,0)()(,02111210212121tftffttdtftffttdtftfftdtfftftffttt05.012t)(tf25卷积性质卷积性质性质性质1 卷积代数卷积代数 卷积运算满足三个基本代数运算律，即交换律交换律)()()()(1221tftftftf结合律结合律)()()()()()(321321tftftftftftf分配律分配律 1231213()()()()()()()f tf tf tf tf tf tf t26卷积性质卷积性质性质性质2 f(t)与奇异信号的卷积与奇异信号的卷积

11、(1)信号f(t)与冲激信号(t)的卷积等于f(t)本身，即)()()(tfttf27卷积性质卷积性质(2)信号f(t)与阶跃信号(t)的卷积等于信号f(t)的积分，即(1)(1)()()()()()()()()()tf ttftf ttftdfdft 证 ：性质性质2 f(t)与奇异信号的卷积与奇异信号的卷积28卷积性质卷积性质性质性质3 卷积的微分和积分卷积的微分和积分 29卷积性质卷积性质性质性质4 卷积时移卷积时移 推论推论若f1(t)*f2(t)=y(t)，则)()()(212211tttyttfttf式中，t1和t2为实常数。30实例分析实例分析例例 计算常数K与信号f(t)的卷积

12、积分。解解 直接按卷积定义，可得)()()()(波形的净面积tfKdKfKtftfK常数常数K与任意信号与任意信号f(t)的卷积值等于该信号波形净面积值的的卷积值等于该信号波形净面积值的K倍。倍。31实例分析实例分析例例 计算下列卷积积分：0(1)(1)(2)2()()()tty tf ttt（）32实例分析实例分析 解：解：(1)先计算(t)*(t)。因为(-)=0，故可应用卷积运算的微积分性质求得：33实例分析实例分析(2)由于)()()(tfttf因此，可直接利用卷积时移性质得到)()()()()()(000ttfttftttftyttt0()()()y tf ttt34实例分析实例分析

13、A11f(t)t01(1)tot0A(1)tot0t01t01(t t0)(t t0)f(t)*上述例子示意图上述例子示意图35梳状函数的卷积梳状函数的卷积)()(mTttmTMMmTTmTtfmTttfmTttfttftf)()()()()()()()(1111梳状函数：梳状函数：卷积：卷积：36梳状函数的卷积梳状函数的卷积应用应用T(t)产生周期信号产生周期信号 f 1(t)toto T2 TT2TcombT(t)to T2 TT2TfT(t)(a)(b)(c)37实例分析实例分析 例例 图(a)所示门函数，在电子技术中常称，用符号g(t)表示，其幅度为1，宽度为，求卷积积分g(t)*g(

14、t)。解解 方法一方法一 图解法。38实例分析实例分析22ot1g(t)22ox1g(x)g(x)22ox1 12t2tg(t x)(t0)g(t x)(t0)(b)t 0(c)t0,t 022to12t2ox1tg(t)g(t)*(d)t 0(e)0 t(f)ox(a)方法一方法一 图图 39实例分析实例分析40实例分析实例分析方法二方法二 应用卷积运算的微积分和时移性质，可得 tttgtgtgtttgttdtdtgtgtgtg022)(22)(22)()()()()1()1()1()1()1()1(tttt00,41实例分析实例分析 方法二方法二 图图 ot1g(t)ot1g(t)22og

15、 (t)(1)t22otg (t)(1)otottg(t)g(t)*(1)(1)o2)1(tg2)1(tg42 常用信号的卷积公式常用信号的卷积公式 432.3 系统的微分算子方程系统的微分算子方程微分算子和积分算子微分算子和积分算子 tdpdtdp()1式中，p称为微分算子，1/p称为微分逆算子或积分算子。这样，可以应用微分或积分算子简化表示微分和积分运算。例如：44微分方程的算子表示微分方程的算子表示45 性质性质1 以p的正幂多项式出现的运算式，在形式上可以像代数多项式那样进行展开和因式分解。例如：)()2)(2()()4()()65()()3)(2(22tfpptfptypptypp性

16、质性质2 设A(p)和B(p)是p的正幂多项式，则)()()()()()(tfpApBtfpBpA46 性质性质3 微分算子方程等号两边p的公因式不能随便消去。例如，由下面方程)()(tpftpy不能随意消去公因子p而得到y(t)=f(t)的结果。因为y(t)与f(t)之间可以相差一个常数c。正确的结果应写为 ctfty)()(也不能由方程)()()()(tfaptyap通过直接消去方程两边的公因式(p+a)得到y(t)=f(t)，因为y(t)与f(t)之间可以相差ce-at，其正确的关系是 atcetfty)()(47LTI系统的微分算子方程系统的微分算子方程 对于LTI n阶连续系统，其输

17、入输出方程是线性、常系数n阶微分方程。若系统输入为f(t)，输出为y(t)，则可表示为 48H(p)为响应响应y(t)对激励对激励f(t)的传输算子的传输算子或系统的传输算子。系统的传输算子。它代表了系统将输入转变为输出的作用，或系统对输入的传输作用。它代表了系统将输入转变为输出的作用，或系统对输入的传输作用。系统的传输算子系统的传输算子49 用H(p)表示的系统输入输出模型 H(p)f(t)y(t)系统的输入输出模型系统的输入输出模型50电路系统算子方程的建立电路系统算子方程的建立 电路元件的算子模型电路元件的算子模型 51 例例 如图所示电路，电如图所示电路，电路输入为路输入为f(t)，输

18、出为，输出为i2(t)，试建立，试建立该电路的输入输出算子方程。该电路的输入输出算子方程。电路图i1(t)i2(t)1 Fi1(t)i2(t)i1(t)i2(t)2ppp1f(t)f(t)(a)(b)1 1 1 H2 H1 1 电路系统分析电路系统分析52解解 画出算子模型电路如图所示。列出网孔电流方程如下：0)(112)(1)()(1)(112121tipptiptftiptipp)()()2432(223tftippp电路的输入输出算子方程为：电路的输入输出算子方程为：532.4 连续系统的零输入响应连续系统的零输入响应l LTILTI系统的完全响应系统的完全响应y(t)y(t)满足满足)

19、()()(tytytyfx 系统初始条件系统初始条件 l t=0-时刻n 求解微分方程，需要用到系统的初始条件。求解微分方程，需要用到系统的初始条件。n 作为一个数学问题，通常把初始条件假设为一组已知数据。作为一个数学问题，通常把初始条件假设为一组已知数据。(0)(0)xyy(0)(0)(0)(0)(0)xffyyyyyl t=0+时刻t=0时刻加入激励时刻加入激励(0)y及其各阶导数及其各阶导数54系统初始条件举例系统初始条件举例l 问题：一个质点从问题：一个质点从t=0时刻开始以恒定加速度时刻开始以恒定加速度a=10m/s2做做直线运动，设质点在直线运动，设质点在t=0时刻的初始速度为时刻

20、的初始速度为2m/s,问质点问质点10s后的速度大小。后的速度大小。dv/dt=av=v0+at初始条件初始条件55零输入响应算子方程零输入响应算子方程01110111)()()(apapapbpbpbpbpApBpHnnnmmmmy(t)和和f(t)满足的算子方程为满足的算子方程为)()()()(tfpBtypA零输入响应零输入响应 yx(t)满足的算子方程为：0)()(typAx0t系统传输算子系统传输算子56简单系统的零输入响应简单系统的零输入响应简单系统简单系统1 若A(p)=p-此时系统特征方程此时系统特征方程A(p)=0 仅有一个特征根仅有一个特征根 p=式中，c0=yx(0-)，

21、其值由初始条件yx(0-)确定。即此时系统的零输入响应为 yx(t)=c0et ttxxeceyty0)0()(含义是：A(p)=p-对应的零输入响应yx(t)为c0et。57简单系统简单系统1 举例举例l 质量为质量为m=1kg的小球在的小球在t=0时刻初始速度为时刻初始速度为V0=10m/s,在水平方向在水平方向做直线运动时仅受到摩擦阻力的作用，其大小为即时速度的做直线运动时仅受到摩擦阻力的作用，其大小为即时速度的k倍，倍，k=1。求出小球的速度表达式。求出小球的速度表达式v(t)。()()dv tmkv tdt 000()()0()()0()tdv tkv tdtmdv tv tdtv

22、tc ecv即，其中系统方程系统方程求解过程求解过程58简单系统的零输入响应简单系统的零输入响应简单系统简单系统2 若A(p)=(p-)2，则此时系统特征方程此时系统特征方程A(p)=0 有一个二阶重根有一个二阶重根 p=此时系统的零输入响应为：txetccty)()(100ttrrxretctctcctyppA)()()()(112210其中其中 c0 c1由系统初始条件决定由系统初始条件决定推论推论59简单系统简单系统2 举例举例21201()2()()0(1)()01()(),0ty ty ty tpy ty tcct etx()2()()0y ty ty t求解系统求解系统的零输入响应

23、，的零输入响应，(0)0,(0)0yy其初始状态为其初始状态为解：解：60简单系统简单系统2 举例举例010011011()(),0(0)1(),0(0)10()0ttttty tcct e tycy tc ec ecte tycccy tet xx从而()2()()0y ty ty t求解系统求解系统的零输入响应，的零输入响应，(0)0,(0)0yy其初始状态为其初始状态为解：解：61一般系统的零输入响应一般系统的零输入响应（举例说明）（举例说明）例例：某系统输入输出微分算子方程为)()3()()2)(1(2tfptypp已知系统的初始条件y(0-)=3,y(0-)=-6，y(0-)=13,

24、求系统的零输入响应yx(t)。解解 由题意知A(p)=(p+1)(p+2)2txtxetcctypectyp2212022101)()()2()()1(所以ttxxxetccectytyty221201021)()()()(62一般系统的零输入响应一般系统的零输入响应（举例说明）（举例说明）其一阶和二阶导函数为 ttttttxttttttxecectececctecectyecectecetccececty2202211022021221102202211022120221104)1(42)21(22)(2)21()(2)(63一般系统的零输入响应一般系统的零输入响应（举例说明）（举例说明）代

25、入初始条件值并整理得1344)0(62)0(3)0(2021102021102010cccycccyccyxxx联立求解得c10=1，c20=2，c21=-1。从而得系统的零输入响应为 ttxetety2)2()(0t642.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应连续信号的连续信号的(t)分解分解 任一连续信号f(t)与单位冲激信号(t)卷积运算的结果等于信号f(t)本身，即 dtfttftf)()()()()(65连续信号的连续信号的(t)分解分解逼近信号逼近信号66当0，即趋于无穷小量d时，离散变量k将趋于连续变量，上式中的各量将发生如下变化：()()()f tftd 连续信号的连续

26、信号的(t)分解分解根据积分定根据积分定义义逼近信号逼近信号67连续信号的连续信号的(t)分解分解()()()f tftd 图解图解68单位冲激响应单位冲激响应l 冲激响应冲激响应一个初始状态为零的一个初始状态为零的LTILTI连续系统，当输入为单位冲激信号时所连续系统，当输入为单位冲激信号时所产生的响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为产生的响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h h(t t)即基本信号即基本信号(t)激励下的零状态响应激励下的零状态响应0)0()()()()(,0)0()(xtpHttfxTth69冲激响应的计算冲激响应的计算l 从从LTILTI连续系统的传输算子连续

27、系统的传输算子H H(p p)出发计算冲激响应出发计算冲激响应h h(t t)。l 先研究若干简单系统的冲激响应，在此基础上推导出一般系统冲激响先研究若干简单系统的冲激响应，在此基础上推导出一般系统冲激响应的计应的计算步骤。算步骤。简单系统简单系统1 pKpH)(此时，响应y(t)和输入f(t)满足的微分方程为)()()(tKftyty70简单系统简单系统1 pKpH)(根据h(t)的定义，上式中f(t)=(t)，y(t)=h(t)，有)()()(tKthth这是关于这是关于h(t)的一阶微分方程，的一阶微分方程，容易验证容易验证)()(tKetht)()()(tKethpKpHt符号符号“”

28、表示表示“系统系统H(p)对应对应的冲激响应的冲激响应h(t)为为”)()()(tKftyty响应响应y(t)和输入和输入f(t)满足的微分方程为满足的微分方程为 71简单系统简单系统2 2()KH pp推广：特征方程推广：特征方程A(p)=0在在p=处有处有r重根的情况重根的情况)()!1()()()(1tetrKthpKpHtrr72简单系统简单系统3 常见情形：当常见情形：当n=0,即即y(t)=kf(t)时，时，h(t)=K(t)73计算系统冲激响应计算系统冲激响应h(t)一般步骤一般步骤综上所述，可以得到计算系统冲激响应h(t)的一般步骤是：部分分式展开，部分分式展开，见附录见附录A

29、74计算系统冲激响应计算系统冲激响应h(t)举例举例例例 描述系统的微分方程为)(6)(10)(6)()(4)(8)(5)()1()2()3()1()2()3(tftftftftytytyty求其冲激响应h(t)。解解 由系统微分方程得到相应的输入输出算子方程为)()6106()()485(2323tfppptyppp75计算系统冲激响应计算系统冲激响应h(t)举例举例其H(p)可表示为 部分分式部分分式展开展开76一般信号一般信号f(t)激励下的零状态响应激励下的零状态响应一般信号作用下的系统零状态响应一般信号作用下的系统零状态响应 LTI系统h(t)yf(t)f(t)77一般信号一般信号f

30、(t)激励下的零状态响应激励下的零状态响应 为了叙述方便，我们采用如下简化符号：)()(tytf78一般信号一般信号f(t)激励下的零状态响应激励下的零状态响应一般信号作用下的系统零状态响应一般信号作用下的系统零状态响应 LTI系统h(t)yf(t)f(t)重要！重要！79n 连续信号的连续信号的(t)分解分解根据卷积运算的微积分性质，有)()()()()()()(ttfdxxtfttftft按照卷积运算的定义，信号f(t)可表示为 dtftf)()()(零状态响应的另一个计算公式零状态响应的另一个计算公式 80图 连续信号的(t)分解 81连续信号的连续信号的(t)分解分解82应用卷积的微积

31、分性质，在该式的基础上，再应用一次卷积的微积分性质，可得到单位斜升信号t(t)形式的分解公式：()()()()()()f tftttfttd 连续信号的单位斜升信号连续信号的单位斜升信号t(t)形式分解形式分解)()()()()()()(ttfdxxtfttftft83n 一个LTI连续系统，在基本信号(t)激励下产生的零状态响应称为系统的阶跃响应阶跃响应，通常记为g(t)。)()()(thttg 根据卷积运算的微积分性质和卷积运算的微积分性质和(t)的有关性质的有关性质，有：dhdhtdhtdtdtgttt)()()()()()(系统的阶跃响应系统的阶跃响应84n 阶跃响应g(t)与冲激响应

32、h(t)之间的关系：dhtgt)()(dttdgth)()(系统的阶跃响应系统的阶跃响应85利用利用g(t)计算零状态响应计算零状态响应86 例例1 某某LTI连续系统连续系统N有有A、B、C三部分组成，如图所三部分组成，如图所示。已知子系统示。已知子系统A的冲激响应的冲激响应 ，子系统，子系统B和和C的阶跃响应分别为的阶跃响应分别为gB(t)=(1-e-t)(t)，gC(t)=2e-3t(t)，系统系统输入输入f(t)=(t)-(t-2)，试求系统，试求系统N的冲激响应、的冲激响应、阶跃响应和零状阶跃响应和零状态响应态响应。-4tA1h(t)=e e(t)2 例子框图例子框图 ABCNy(t

33、)f(t)系统响应求解举例系统响应求解举例187解：解：(1)系统N的冲激响应。设子系统B、C的冲激响应为hB(t)和hC(t)，则000()()(0)()()()()()f ttftf tttf ttt系统响应求解举例系统响应求解举例188系统N的冲激响应冲激响应为：ABCNy(t)f(t)系统响应求解举例系统响应求解举例189 (2)系统N的阶跃响应阶跃响应。设系统N的阶跃响应为gN(t)，则)()()4()()4()()(444teedeedeedhtgtttttNN系统响应求解举例系统响应求解举例1ABCNy(t)f(t)90(3)系统的系统的零状态响应零状态响应系统响应求解举例系统响

34、应求解举例1 91方法二方法二 因为已经求得系统的阶跃响应阶跃响应)()()(4teetgttN它是输入为它是输入为(t)时对应的零状态响应。现在题中给定时对应的零状态响应。现在题中给定 f(x)=(t)-(t-2)，是一是一个阶跃信号与另一个位移阶跃信号的组合。个阶跃信号与另一个位移阶跃信号的组合。所以，所以，可利用阶跃响应和系可利用阶跃响应和系统的线性、时不变特性统的线性、时不变特性直接求得：直接求得：)2()()()2()()()2(4)2(4teeteetgtgtyttttNNf系统响应求解举例系统响应求解举例192例例2 已知某连续系统的微分方程为)(3)(2)(2)(3)(tftf

35、tytyty若系统的初始条件y(0-)=y(0-)=1，输入 f(t)=e-t(t)，求系统的零输入响应yx(t)，零状态响应yf(t)和完全响应y(t)。系统响应求解举例系统响应求解举例293解解 系统响应求解举例系统响应求解举例2)(3)(2)(2)(3)(tftftytyty94(2)零状态响应零状态响应 按附录A方法将H(p)展开为(3)完全响应完全响应2()()()(4)30ttxfy ty tytteet系统响应求解举例系统响应求解举例295例例3 描述某描述某LTILTI系统的微分方程系统的微分方程为：为：1)0()0()0(3)0()0()0(fxfxyyyyyy)(6)(2)

36、(2)(3)(tftftytyty解解 令其t=0+时有()(),(0)3,(0)1,f ttyy已知已知求该系统的零输入响应和零状态响应。求该系统的零输入响应和零状态响应。系统响应求解举例系统响应求解举例396写出系统传输算子，并进行部分分式展开部分分式展开，有 系统响应求解举例系统响应求解举例3(0)0,(0)2ffyy1)0()0()0(3)0()0()0(fxfxyyyyyy(0)3,(0)1xxyy 的97 本例中，A(p)=p2+3p+2，可得系统的零输入响应为 系统响应求解举例系统响应求解举例398 例例4 已知某LTI连续系统的冲激响应h(t)=(t)-(t-1)，输入f(t)

37、=(t+2)-(t-2)。若以t=0为初始观察时刻，试求系统的零输入响应yx(t)和零状态响应yf(t)，并画出波形。解解 以初始观察时刻以初始观察时刻t=0t=0为时间分界点，将输入区分为历为时间分界点，将输入区分为历史输入史输入f f1 1(t t)和当前输入和当前输入f f2 2(t t)，即 系统响应求解举例系统响应求解举例499 所谓零输入响应，是指历史输入所谓零输入响应，是指历史输入f f(t t)作用于系统，在作用于系统，在t t00区间上产生的响应，区间上产生的响应，即即 系统响应求解举例系统响应求解举例4100例例4 图示图示 01)(ttyxtt110101 当输入当输入f

38、 f2 2(t t)作用于系统，在作用于系统，在t t00区间上产生的响应为零区间上产生的响应为零状态响应，即状态响应，即 系统响应求解举例系统响应求解举例41022.6 系统微分方程的经典解法系统微分方程的经典解法系统输入输出方程系统输入输出方程系统传输算子系统传输算子微分方程完全解微分方程完全解齐次解齐次解特解特解103 齐次解齐次解yh(t)是下面齐次微分算子方程 0)()(typAh满足0+初始条件y(j)(0+)(j=0,1,n-1)的解。首先，将A(p)因式分解为 1()()ilriiA pp式中，i为特征方程A(p)=0的第i个根，ri是重根的阶数。齐次解齐次解yh(t)104然

39、后，分别求解算子方程 0)()(typhiriili,2,1得到齐次解的第i个分量，即 triiiihiiietrctccty110)1()(最后，将各分量相加，求得齐次解 lihihtyty1)()(齐次解齐次解yh(t)105表表 特征根及其相应的齐次解特征根及其相应的齐次解 齐次解齐次解yh(t)106表表 几种典型自由项函数相应的特解几种典型自由项函数相应的特解 特解特解yp(t)n 微分方程的特解微分方程的特解yp(t)，其函数形式与输入函数形式有关，其函数形式与输入函数形式有关n 将输入函数代入标准微分方程右端，得到右端的函数式称为将输入函数代入标准微分方程右端，得到右端的函数式称

40、为“自由项自由项”107将微分方程的齐次解和特解相加就得到系统响应的完全解将微分方程的齐次解和特解相加就得到系统响应的完全解liptriiiiphtyetrctcctytytyii1110)()1()()()(n 对于对于n阶系统，需要通过阶系统，需要通过n个初始条件来确定完全解中的待定系数。个初始条件来确定完全解中的待定系数。响应的完全解响应的完全解108例例 给定某给定某LTI系统的微分方程为系统的微分方程为 响应的完全解举例响应的完全解举例109(1)当输入当输入f(t)=e-t时，设微分方程特解为时，设微分方程特解为 响应的完全解举例响应的完全解举例110在上面两式中，令t=0，并考虑

41、已知初始条件，得 响应的完全解举例响应的完全解举例111(2)当输入f(t)=10 sin t，t0时，其特解可表示为 响应的完全解举例响应的完全解举例112相应一阶导数相应一阶导数 响应的完全解举例响应的完全解举例113n 根据引起响应的不同原因，完全响应可分解为零输入响零输入响应应和零状态响应零状态响应两部分。n 按照数学上对系统微分方程的求解过程，将完全响应分解为齐次解齐次解和特解特解两部分。其中，齐次解的函数形式仅取决于系统本身的特性，与输入信号的函数形式无关，称为系统的自由响应自由响应或固有响应固有响应。但应注意，齐次解的系数值是与输入信号有关的。特解的形式由微分方程的自由项或输入信号决定，故称为系统的强迫响应强迫响应。完全响应的不同分解完全响应的不同分解114n 如果输入是阶跃信号或有始周期信号，那么也可将系统响应分解为暂态响应暂态响应和稳态响应稳态响应。完全响应中暂时存在的分量称为暂态响应暂态响应，随着时间的增长，它最终将衰减为零；响应中剩余部分称为稳态响应，通常也由阶跃信号或周期信号组成。完全响应的不同分解完全响应的不同分解上例结果上例结果