杆件的内力截面法

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1、杆件的内力截面法一、基本要求1. 了解轴向拉伸与压缩、扭转、弯曲的概念；2. 掌握用截面法计算基本变形杆件截面上的内力；3. 熟练掌握基本变形杆件内力图的绘制方法。二、内容提要1. 轴向拉伸和压缩1）轴向拉伸或压缩的概念受力特点：外力或合外力与轴线重合;计算简图为:变形特点：杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短。3图2-12）轴力轴向拉压时，杆件截面上分布内力系的合力的作用线与杆件轴线重合，称为 轴力。一般用FN表示，单位为牛顿（N）。轴力的正负号规定：拉为正，压为负。3）轴力图表示轴力沿杆件轴线变化规律的图线。该图一般以平行于杆件轴线的横坐标 X轴表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上轴力的大小。正

2、的轴力画在X轴上 方，负的轴力画在X轴下方。2. 扭转1）扭转的概念受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反 的外力偶。变形特点：横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转动。轴：以扭转为主要变形的杆件称为轴。（a）计算简图为：2）外力偶矩传动轴所受的外力偶矩通常不是直接给出，而是根据轴的转速n与传递的功 率P来计算。当功率P单位为千瓦（kW），转速为n （r/min）时，外力偶矩为八P ,、M e 9549 （N.m）当功率P单位为马力（PS），转速为n （r/min）时，外力偶矩为P,、M e 7024 一 (N.m)3）扭矩、扭矩图当外力偶矩已知，利用截面法可求任

3、一横截面上的内力偶矩一扭矩，用r表 示。扭矩的正负号规定：按右手螺旋法则，T矢量背离截面为正，指向截面为负 （或矢量与截面外法线方向一致为正，反之为负）。表示扭矩随杆件轴线变化规律的图线称为扭矩图。扭矩图作法与轴力图相 似。正的扭矩画在x轴上方，负的扭矩画在x轴下方。3. 弯曲内力纵向对称面轴线图2-31）基本概念弯曲变形：杆件在垂直于其轴线的载荷作用 下，使原为直线的轴线变为曲线的变形称为弯曲变 形。以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。对称弯曲：工程中最常见的梁，其横截面一般 至少有一根对称轴，因而整个杆件有一个包含轴线 的纵向对称面。若所有外力都作用在该纵向对称面 内时，梁弯曲变形后的轴线将

4、是位于该平面内的一条曲线，这种弯曲形式称为对 称弯曲。其力学模型如图2-3所示。1：2）梁的计算简图静定梁：所有支座反力均可由 静力平衡方程确定的梁。图2-4静定梁的基本形式有简支梁、悬臂梁、外伸梁。 计算简图分别如图2-4 （a）、（b）、（c）所示。3）剪 力和弯矩剪力：受弯构件任意横截面上与横截面相切的分 布内力系的合力，称为剪力，用J表示。弯矩：受弯构件任意横截面上与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩，称为 弯矩，用M表示。剪力和弯矩的正负号规定：从梁中取出长为dx的微段，若横截面上的剪力 使dx微段有左端向上而右端向下的相对错动趋势时，此剪力Fs规定为正，反之 为负（或使梁产生顺时针转

5、动的剪力规定为正，反之为负），如图2-5（a）、（b） 所示；若弯矩使dx微段的弯曲变形凸向下时，截面上的弯矩M规定为正，反之 为负（或使梁下部受拉而上部受压的弯矩为正，反之为负），如图2-5（c）、（d）根据内力与外力的平衡关系，若外力对截面形心取矩为顺时针力矩，则该力 在截面上产生正的剪力，反之为负的剪力（顺为正，逆为负）；固定截面，若外 力或外力偶使梁产生上挑的变形，则该力或力偶在截面上产生正的弯矩，反之为 负的弯矩（上挑为正，下压为负）。4）剪力方程和弯矩方程一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化。若以坐标x 表示横截面在梁轴线上的位置，则横截面上的剪力和弯矩可以表示为

6、x的函数，F = F (x) M = M(x)上述函数表达式称为梁的剪力方程和弯矩方程。5）剪力图和弯矩图为了直观地表达剪力F和弯矩M沿梁轴线的变化规律，以平行于梁轴线的 横坐标x表示横截面的位置，以纵坐标按适当的比例表示响应横截面上的剪力和 弯矩，所绘出的图形分别称为剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图的绘制方法有以下两种：（1）剪力、弯矩方程法：即根据剪力方程和弯矩方程作图。其步骤为： 第一，求支座反力。第二，根据截荷情况分段列出Fs（x）和M（x）。在集中力（包括支座反力）、集中力偶和分布载荷的起止点处，剪力方程和 弯矩方程可能发生变化，所以这些点均为剪力方程和弯矩方程的分段点。第三，求控制截

7、面内力，作J、M图。一般每段的两个端点截面为控制截面。在有均布载荷的段内，F=0的截面处弯矩为极值，也作为控制截面求出其弯矩值。S将控制截面的内力值标在的相应位置处。分段点之间的图形可根据剪力方程和弯 矩方程绘出。并注明|Fj 、|M|的数值。（2）微分关系法：即利用载荷集度、剪力与弯矩之间的关系绘制剪力图和 弯矩图。载荷集度q（x）、剪力J（x）与弯矩M（x）之间的关系为：冬=q( x) dxd 2 M (x)dF (x)=s= q (x)dx 2dx根据上述微分关系，由梁上载荷的变化即可推知剪力图和弯矩图的形状。（a）若某段梁上无分布载荷，即q（x） = 0，则该段梁的剪力F（x）为常量，

8、 剪力图为平行于x轴的直线；而弯矩M（x）为x的一次函数，弯矩图为斜直线。（b）若某段梁上的分布载荷q（x） = q （常量），则该段梁的剪力F（X）为x的 一次函数，剪力图为斜直线；而M（x）为x的二次函数，弯矩图为抛物线。当q 0（q向上）时，弯矩图为向下凸的曲线；当q 0（ q向下）时，弯矩图为向上凸 的曲线。（c）若某截面的剪力J（x）=0，根据迎出 =0，该截面的弯矩为极值。利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利 用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步 骤如下：第一，求支座反力（对悬臂梁，若从自由端画起，可省去求支反力）；第

9、二，分段确定剪力图和弯矩图的形状；第三，求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图；第四，确定|fj 和m 。可能出现的地方：集中力F作用处；支座处。|M|可能出现的地方：剪力F=0的截面；集中力F作用处；集中力偶M作用处。S6）平面刚架和平面曲杆的弯曲内力刚架：杆系结构若在节点处为刚性连接，则这种结构称为刚架。平面刚架：由在同一平面内、不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接而组 成的结构。各杆连接处称为刚节点。刚架变形时，刚节点处各杆轴线之间的夹角保持不变。静定刚架：凡未知反 力和内力能由静力学平衡条件确定的刚架。平面刚架各杆的内力，除了剪力和弯矩外，一般还有轴力。作刚架内力图的 方法和步骤

10、与梁相同，但因刚架是由不同取向的杆件组成，习惯上按下列约定: 弯矩图画在各杆的受压一侧，且不注明正、负号。剪力图及轴力图可画在刚架轴 线的任一侧（通常正值画在刚架外侧），且必须注明正负号；剪力正负号的规定 与梁相同，轴力仍以拉伸为正，压缩为负。平面曲杆：轴线为一平面曲线的杆。平面曲杆横截面上的内力情况及其内力 图的绘制方法，与刚架相类似。三、典型例题分析例2-1在图2-6（a）中，沿杆件轴线作用F、F、F、F。已知：F=6kN， 12341F=18kN，F=8kN，F=4kN。试求各段横234截面上的轴力，并作轴力图。解：1.计算各段轴力AC段：以截面1 -1将杆分为两段，取左段部分（图（b）

11、。12kN图2-6由Z F广0得F = F = 6 kN（拉力）CD段：以截面2-2将杆分为两段，取左段部分（图（c）。由Z F= 0得Fn = F1 - F2 =-12 kN （压力）Fn2的方向与图中所示方向相反。DB段：以截面3-3将杆分为两段，取右段部分（图（d）。由Z F= 0得F = F = 4 kN （压力）FN3的方向与图中所示方向相反。2.绘轴力图以横坐标x表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上的轴力F，选取适当 比例，绘出轴力图（图（e）。在轴力图中正的轴力（拉力）画在；轴上侧，负 的轴力（压力）画在x轴下侧。例2-2传动轴在图2-7 （a）所示。主动轮人输入功率为廿=36对

12、，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=Pc=11kW，PD=14kW，轴的转速为n=300r/min。试 作轴的扭矩图。B j解：1.计算各轮上的外力偶矩M = 9549 P = 1146N- mAn八PM = M = 9549i =B C n1446N.m111111 ITll I I I ll I350N.m700N.m 八P ，M = 9549 = 446 N- m2.计算各段扭矩BC段：以截面II将轴分为两段，取左段部分（图（b）。由平衡方图2-7T1 + MB = 0得T = M =350N- mIB负号说明7 1所假定的方向与实际扭矩相反同理，在CA段内，7 + M + M b =

13、 0T2 =-MC - Mb = 700N m在AD段内，T - M D = 0T3 = M D = 446 N- m3.以横坐标x表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上的扭矩大小，选取 适当比例，绘出扭矩图。正的扭矩画在x轴上侧，负的扭矩画在x轴下侧。图2-8例2-3图示简支梁受集中力F作用，试利用剪力方程和 弯矩方程绘出该梁的剪力图和弯矩图。解：1.求支反力。由 F = 0, M A (F) = 0，得日 Fb日 FaF =, F =A l B l2.列剪力、弯矩方程在AC段内，F (x) = F =L,(0 x a) M (x) = F - x = L x,(0 x a)SA lA l在B

14、C段内F (x) = F = -, Ca x l)M (x) = FB (l x)= C x),(a x l)3.求控制截面内力，作剪力图、弯矩图。Fs图：在AC、CB段内，剪力方程均为常数，因此两段剪力图均为平行于x 轴的直线。在集中力F作用处，F =一竺，F =史，左、右两侧截面的S C左lS C右 l剪力值发生突变，突变量=史(竺)=F ； M图：在AC、CB段内，弯矩方程l lM(x)均是x的一次函数，因此两段弯矩图均为斜直线。求出控制截面弯矩Ma = Mb = 0，Mc = 坪，标在M x坐标系中，并分别连成直线，即得该梁的 弯矩图。显然在集中力F作用处左、右两侧截面上弯矩值不变，但

15、在该截面处弯 矩图斜率发生突变，因此在集中力F作用处弯矩图上为折角点。例2-4受均布载荷作用的简支梁，如图2-9 所示，试作梁的剪力图和弯矩图。解：1.求支反力Fa = Fy = ql： 22.列剪力、弯矩方程F (x) = F - qx = % - qx,(0 x j1ql/2图2-9M(0)= 0,M(1 )= 0,M -=ql 2M (x) = F x - qx x =吸-x -竺,(0 x 冬 0Ay 2 2 2 1tx3.求控制截面内力，作剪力图、弯矩图。F(0)=吸,F(I)=-吸s 2 s 2F =叽M =生Smax 2 max 8在某一段上作用分布载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图

16、为一抛物线。且在F=0处弯矩M取得极值。S例2-5如图2-10所示简支梁，在C点处受矩为M的集中力偶作用，试作 梁的剪力图和弯矩图。6解：1.求支反力由平衡方程 M (F) = 0和 MA (F) = 0得Fa = FB2.列剪力、 在AC段内弯矩方程M 1( x) = Fy - x = 在BC段内斗,(0 x a) 十 x,(0 x a)F1( x) = FyF2( x) = FbM (x) = F G x)= q G x) Ca x 1)3.求控制截面内力，作剪力图、弯矩图。F(0)= F (/)=Ms s lM(0)= M(/)= 0, M_M a左 l在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变

17、，突变值为-=M，而剪力图无改变。例2-6如图2-11所示简支梁。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力 图和弯矩图。解：1.求支反力。由平衡方 MA( F) = 0 求得=3 ql82.列剪力、弯矩方程AC段：ql/、 3 ，F (x) = F - qx = & ql qx13,1M (x) = F x 2 qx 2 = & qlx qx 2(0 x -)2CB段：1lFs( x) = FB =- ql这 x l)1lM (x) = F (l - x) = ql(l - x)(方 x l)3.求控制截面内力，绘Q、M图Fs图：AC段内，剪力方程Fs(x)是x的一次函数，剪力图为斜直线，求出两

18、31个端截面的剪力值，Fs广3 ql，Fs广- ql，标在F-x坐标系中，连接两点 即得该段的剪力图。CB段内，剪力方程为常数，求出其中任一截面的内力值， 连一水平线即为该段剪力图。梁AB的剪力图如图2-11(b)所示。M图：AC段内，弯矩方程M(x)是x的二次函数，弯矩图为二次曲线，求出1两个瑞截面的弯矩，Ma = 0，MC = ql2，分别标在M -x坐标系中。在Fs= 0 处弯矩取得极值。令剪力方程F (x) = 0，解得x = 31，求得M(31) = 2 ql2，标 s88128在M -x坐标系中。根据上面三点绘出该段的弯矩图。CB段内，弯矩方程M(x)是 x的一次函数，分别求出两个

19、端点的弯矩，标在M -x坐标系中，并连成直线。 AB梁的m图如图2-11(c)所示。例2-7梁的受力如图2-12 (a)所示，试利用微分关系作梁的Fs、M图。 0.6m -I- 0.6m =|t12m解：1.求支反力。由平衡方程 Mb (F) = 0和 MA( F) = 0 求得F = 10kN，F = 5kN图 2-122.分段确定曲线形状B由于载荷在A、D处不连续，应将梁 分为三段绘内力图。根据微分关系史莫= q(x)， dxdM (x):=F (x)，史些=竺sQ) = q(x)，在CA和AD段内，q = 0，剪力图为水平线，弯矩图为 dx 2dx斜直线；DB段内，q =常数，且为负值，

20、剪力图为斜直线，M图为向上凸的抛 物线。3.求控制截面的内力值，绘Fs、M图F图：F =-3kN，F = 7kN，据此可作出CA和AD两段F图的水平SS C右S A右S线。Fsd右=7kN，Fs畦=-5kN，据此作出DB段F图的斜直线。M图：Mc = 0，MA左=-1.8KN-m，据此可以作出CA段弯矩图的斜直线。 A支座的约束反力fa只会使截面A左右两侧剪力发生突变，不改变两侧的弯矩 值，故M = M = M =-1.8KN- m，M = 2.4kNm，据此可作出AD段弯 矩图的斜直线。D处的集中力偶会使D截面芸右两侧的弯矩发生突变，故需求出M =-1.2KNm，MB = 0 ；由DB段的剪

21、力图知在E处Fs = 0，该处弯矩 为极值：右根据BE段的平衡条件 F = 0，知BE段的长度为.5m，于是求得 M =1.25kNm。根据上述三个截面的弯矩值可作出DB段的M图。E对作出的F、M图要利用微分关系和突变规律、端点规律作进一步的校核。 如DB段内的均布载荷为负值，该段F图的斜率应为负；CA段的F为负值，该 段M图的斜率应为负；AD段的F为正值，该段M图的斜率应为正；支座A处 剪力图应发生突变，突变值应为10kN； D处有集中力偶，D截面左右两侧的弯矩 应发生突变，而且突变值应为3.6kNXm；支座B和自由端C处的弯矩应为零等。例2-7刚架受力如图2-13 (a)所示。试绘出刚架的

22、内力图。图 2-13解：1.分段列出内力方程对 CA段距右端为 x 的截面F (x )=0, F (x )=-F , MG )= Fx (0x a)1N 1S 1111对BA段距B端为弋的截面F (x )= F，F (x )=qx ， M (x )= Fa- qx 2(0 x l)N 2S 2222222.作内力图由内力方程绘出内力图，Fn图和Fs图可以画在杆轴的任一侧，一般正值画 在刚架外侧，并标明正负号。W矩图画在各杆的受压一侧，且不注明正、负号。例2-8曲杆受力如图2-14(a)示。试绘出曲杆的弯矩图叫1;El图(d)FS图(e) Fn图图 2-14解：1.建立内力方程用圆心角为0的横截面取隔离体，其受力图如图2-14 (b)所示。由平衡条 件求得M (0) = FR sin 0、F (0) = Fcos0 |00 ZF (0) = -F sin 0NJ(3)绘曲杆内力图由内力方程绘出的内力图如图(c)、(d)、(e)所示。(本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。请预览后才下载，期待您的好 评与关注！)