线性系统理论a课件

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1、线性系统理论线性系统理论第一章概论读书即未成名究竟人品高雅修德不期获报自然梦稳心安切实功夫须从难处做去真正学问都自苦中得来本课程的目的：本课程的目的：学习线性系统的描述方法及运动特性；学习线性系统的描述方法及运动特性；研究线性系统能控性和能观性；研究线性系统能控性和能观性；研究线性系统标准形；研究线性系统标准形；分析系统的稳定性；分析系统的稳定性；研究与设计线性系统的反馈控制器；研究与设计线性系统的反馈控制器；了解线性系统理论研究的前沿了解线性系统理论研究的前沿 教学要求及目的教学要求及目的 掌握线性系统的分析与控制系统设计方法。掌握线性系统的分析与控制系统设计方法。了解关于线性系统理论的当前

2、科研前沿领域。了解关于线性系统理论的当前科研前沿领域。灵活利用所学知识，完成控制系统分析与设计灵活利用所学知识，完成控制系统分析与设计。课程主要内容线性系统的数学描述线性系统的数学描述线性系统运动分析线性系统运动分析离散时间系统离散时间系统线性系统稳定性分析线性系统稳定性分析线性系统的能控性与能观测性线性系统的能控性与能观测性线性时变系统线性时变系统极点配置极点配置状态观测器与分离原理状态观测器与分离原理课程教材及主要参考书课程教材及主要参考书1）肖建，张友刚肖建，张友刚.线性系统线性系统.西南交通大学出西南交通大学出版社，版社，201120112 2）郑大钟线性系统理论（第）郑大钟线性系统理

3、论（第2 2版）清华版）清华大学出版社，大学出版社，200220023 3）段广仁线性系统理论哈尔滨工业大学）段广仁线性系统理论哈尔滨工业大学出版社，出版社，199619961.11.1概论概论 线性系统理论的研究对象线性系统理论的研究对象 系统系统是由相互关联和相互作用的若干部分按一定是由相互关联和相互作用的若干部分按一定规律组合而成的具有特定功能的整体。规律组合而成的具有特定功能的整体。动态系统动态系统（动力学系统），可用一组微分方程或差（动力学系统），可用一组微分方程或差分方程描述。分方程描述。线性系统线性系统：满足叠加原理的动态系统：满足叠加原理的动态系统)()()(22112211u

4、LcuLcucucL 齐次性齐次性可加性可加性 系统的研究方法系统的研究方法经验法经验法 理论法：依据数学理论理论法：依据数学理论建模（对真实系统的抽象）建模（对真实系统的抽象）建立数学描述建立数学描述分析分析设计设计 本课程的研究范围本课程的研究范围 对象：线性动态系统，数学模型已知对象：线性动态系统，数学模型已知 工具：数学工具：数学 课程的主要任务课程的主要任务 研究线性系统状态的运动规律和改变这种研究线性系统状态的运动规律和改变这种运动规律的可能性与方法，建立和揭示系运动规律的可能性与方法，建立和揭示系统结构、参数、行为和性能间的确定的和统结构、参数、行为和性能间的确定的和定量的关系。

5、定量的关系。系统分析系统分析系统运动规律系统运动规律 综合问题综合问题改变运动规律的可能性和方改变运动规律的可能性和方法法历史回顾历史回顾 五十年代前，古典控制理论：频域法。五十年代前，古典控制理论：频域法。传递函数处理传递函数处理SISO系统。系统。五十年代中期，多变量控制理论兴起：五十年代中期，多变量控制理论兴起：原因：原因：计算机的出现计算机的出现 控制系统的要控制系统的要求，空间技术的发展求，空间技术的发展状态空间方法状态空间方法五十年代末期，五十年代末期，Kalman提出状态空间理论，用提出状态空间理论，用LQG技术设计，得出最优状态反馈定律。缺点：技术设计，得出最优状态反馈定律。缺

6、点：性能指标的选择性能指标的选择 状态反馈观测器状态反馈观测器可控性，可观性的提出，极点配置设计可控性，可观性的提出，极点配置设计频域方法频域方法，多变量的频域方法，多变量的频域方法 Rosenbrock的逆奈奎斯特判据的逆奈奎斯特判据多变量根轨迹法多变量根轨迹法MFD方法方法多项式矩阵方法多项式矩阵方法Fractional Representation 稳定的真有理函数矩阵公式表示法稳定的真有理函数矩阵公式表示法 主要流派主要流派 状态空间法 几何法 代数理论 多变量频域理论 第二章系统的数学描述21 系统的分类系统的分类 u y 系统 u 输入输入 y 输出输出 yHu 若若u和和y都是标

7、量，称为都是标量，称为单输入单输出单输入单输出系统系统(SISO)系统，否则称为系统，否则称为多变量系统多变量系统 瞬时系统与动态系统瞬时系统与动态系统（无记忆系统与有记（无记忆系统与有记忆系统）：若系统在忆系统）：若系统在t1时刻的输出仅取决于时刻的输出仅取决于该时刻所加的输入该时刻所加的输入u(t1)，则称该系统为瞬时，则称该系统为瞬时系统（无记忆系统）（它可用代数方程表系统（无记忆系统）（它可用代数方程表达）。否则，若系统在达）。否则，若系统在t1时刻的输出不仅取时刻的输出不仅取决于决于u(t1)，还与，还与t1时刻以前的和（或）以后时刻以前的和（或）以后的输入有关，则称其为动态系统（有

8、记忆的输入有关，则称其为动态系统（有记忆系统）。系统）。松弛性松弛性 若系统在若系统在 时刻的输出仅取决于时刻的输出仅取决于 时刻的输出，时刻的输出，则称该系统为瞬时系统，或无记忆系统。但一般则称该系统为瞬时系统，或无记忆系统。但一般的系统不是瞬时系统，即系统在的系统不是瞬时系统，即系统在 时刻的输出不仅时刻的输出不仅取决于取决于 时刻的输入，也取决于时刻的输入，也取决于 以前和（或）以前和（或）以后的输入。为了研究的方便，假定在时刻以后的输入。为了研究的方便，假定在时刻 ，系统的输出系统的输出 仅由输入仅由输入 唯一决唯一决定，系统的这一性质称为松弛性。从能量角度说，定，系统的这一性质称为松

9、弛性。从能量角度说，若系统在若系统在t0 时刻是松弛的，就表明系统在时刻是松弛的，就表明系统在 t0 时刻时刻不存储任何能量。不存储任何能量。在工程实践中，在工程实践中，总可以假定总可以假定系统在系统在 时是松弛的或静止的时是松弛的或静止的。0t0t0tt 0()()y ttt 0u(t)(tt)0tt0t0t 对于动态系统，若只是知道 往往不能唯一确定输出 ，这是因为还必须知道系统在t1以前的输入。若系统是松弛的（静止）（即在t=t0时系统无能量）。这时若 加入系统，则输出 由其唯一确定。将系统看作一个映射，它将输入映射到输出，设H为相应的算子，则成立),1tu),1ty),0tu),0ty

10、Huy 定义定义1，称一个初始松弛的系统为，称一个初始松弛的系统为线性系统线性系统，iff 对任何输入对任何输入u1和和u2及任何实数及任何实数 和和 ，成立叠加原理：成立叠加原理：不满足以上关系式的系统称为非线性系统不满足以上关系式的系统称为非线性系统。122112211)(HuHuuuH2 定义定义2，称系统为，称系统为因果因果的的(Causal)或非预期或非预期的的(Nonanticipatory)，若系统在时刻，若系统在时刻t的输的输出仅取决于时刻出仅取决于时刻t和在和在t以前所加入的输入，以前所加入的输入，而与而与t以后的输入无关。以后的输入无关。现实物理系统大都为因果的。现实物理系

11、统大都为因果的。定义定义3，称系统在，称系统在t0时为时为松弛松弛的，的，iff 系统输系统输出出 唯一的只由唯一的只由 所激励。例如所激励。例如RC网络，网络，Uc(0)=0。),0ty),0tu定义4，位移算子位移算子 ，即算子作用的结果使得原输出在时间上延即算子作用的结果使得原输出在时间上延迟迟。HuQuQH)(Q)()(tutuQu(t)t0t0Qu(t)u(t)+t0 定义5，称松弛系统，称松弛系统为时不变为时不变的，若对任何的，若对任何输入输入u u，和任意实数，和任意实数，成立，成立HuQuQH)(ttyuuQuHuQHu 线性定常系统线性定常系统：通常由常系数：通常由常系数 微

12、分方程或差分方程描述微分方程或差分方程描述 线性时变系统线性时变系统：通常由时变系数微分：通常由时变系数微分 方程或差分方程描述方程或差分方程描述线性系统线性系统2 22 2 线性系统的脉冲响应矩阵线性系统的脉冲响应矩阵脉冲函数脉冲函数其余01)(ttttt0)(定义单位脉冲函数定义单位脉冲函数1)(dtt 1jp(t-(t-)1iqg gijij(t-(t-)p p输入端输入端q q输出端的线性定常系统输出端的线性定常系统 考虑一考虑一p个输入端和个输入端和q个输出端的线性定常个输出端的线性定常系统。设系统在时刻系统。设系统在时刻为松弛的，时刻为松弛的，时刻在在第第j个输入端加入一个单位脉冲

13、函数，而令个输入端加入一个单位脉冲函数，而令其它输入端的输入为零。用其它输入端的输入为零。用gij(t-)表示第表示第i个输出端在时刻个输出端在时刻(t-)的响应函数。用这样的响应函数。用这样的的pq个响应函数个响应函数gij(t-)(i=1,q,j=1,p)构成的矩阵称为系统的构成的矩阵称为系统的脉冲响应矩阵脉冲响应矩阵。)()()()()()()()()()(212222111211tgtgtgtgtgtgtgtgtgtGqpqqpp 设系统满足因果律，故而设系统满足因果律，故而 设系统输入向量设系统输入向量U的第的第j个元素为个元素为uj，可以，可以用一系列脉冲函数逼近：用一系列脉冲函数

14、逼近：于是系统的输出为：于是系统的输出为：令令t0，则有，则有ttG0)(ptttttuukktkjj,1)()(kkkttuttGy)()(ttttdutGty00)()()(若令若令t0=0，则有，则有作变量替换有作变量替换有以上积分关系式称为以上积分关系式称为卷积卷积。系统的输入特性可以用脉冲响应矩阵系统的输入特性可以用脉冲响应矩阵G(t)表表示。已知系统输入示。已知系统输入u(t)及及G(t)，则可通过卷，则可通过卷积求出系统的输出。积求出系统的输出。tttdutGty00)()()(tttdtuGty00)()()(23 传递函数矩阵传递函数矩阵对对SISO系统，系统的传递函数系统，

15、系统的传递函数h(s)与脉冲与脉冲响应矩阵函数响应矩阵函数g(t)之间满足关系式之间满足关系式同样，对于同样，对于p输入输入q输出的多变量系统，输出的多变量系统，因为有因为有而时域的卷积对应于频域的相乘，因此而时域的卷积对应于频域的相乘，因此)()()()(1shLtgtgLsh)()()()(1sHLtGtGLsHtdutGty0)()()()()()(susHsy脉冲响应矩阵和传递函数矩阵构成拉氏变换对 24 状态方程状态方程现代控制理论是在引入现代控制理论是在引入状态和状态空间状态和状态空间概概念的基础上发展起来的。状态方程由于考念的基础上发展起来的。状态方程由于考虑了系统的输入状态输出

16、这一内部过虑了系统的输入状态输出这一内部过程，从而是系统动力学特性的完整描述程，从而是系统动力学特性的完整描述。建立图示电路的数学模型建立图示电路的数学模型。实例实例R CLi(t)ur(t)uc(t)dttictuc)(1)()(1)(1)()(1)(tuLtiLRuLdttditiCdttdurcc)()()()(tutRitudttdiLrc 状态空间的描述方程状态空间的描述方程 在已知在已知ur(t)的情况下，只要知道的情况下，只要知道 uc(t)和和i(t)的变化特性，的变化特性，则其他变量的变化均可知道。则其他变量的变化均可知道。故故uc(t)和和i(t)称为称为“状态变量状态变量

17、”。记。记),d)(d)()(),()(21 ixttxtitxtutxiic及及)(10)()(110)()(2121tuLtxtxLRLCtxtxr 则则有有)(1tu)(tyq)(1ty)(,)(1txtxn)(tup),(),()(ttutxftx 状态方程状态方程),(),()(ttutxgty 输出方程输出方程 )(1)(1)()(1)(tuLtiLRuLdttditiCdttdurcc 状态变量状态变量：能完全的描述系统时间域行为：能完全的描述系统时间域行为的一最小内部变量组的一最小内部变量组 x1(t),xn(t)，即，即1)时刻时刻t的状态变量值的状态变量值 x1(t),xn

18、(t)，由，由t0t的的起始变量起始变量 x1(t0),xn(t0)和由和由t0到到t时刻的输时刻的输入变量入变量 所所确定。确定。2)时刻时刻t的系统输出由该时刻的状态变量值的系统输出由该时刻的状态变量值和输入值所唯一确定和输入值所唯一确定。,2,1000,ttmttttuuu 由状态变量 x1(t),xn(t)构成的列向量称为系统的状态向量状态向量，简称状态状态。固定t，则x(t)为Rn中的一个元素（n元实数组）。状态空间状态空间：状态向量取值的向量空间。通常为Rn，即n维欧氏空间。对于某一确定时刻t0，状态x(t0)为状态空间中的一个点。而tt0时刻的状态构成了状态空间中的一条轨线（状态

19、轨线状态轨线）。01,)()()(tttxtxtxn 输入引起状态的变化是一个运动的过程，通常数学上用微分方程（或差分方程）描述，则该方程即为状态方程状态方程。例如对连续动态系统，我们有：令),(),(),(1111221111tuuxxfxtuuxxfxtuuxxfxmnnnmnmn),(),(),(111tuxftuxftuxfuuuxxxnmn则有它是一非线性时变微分方程组。另外由状态变量的定义，系统的输出由输出输出方程方程给出：简记为即系统的状态方程描述状态方程描述为0,),(tttuxfx),(),(111111tuuxxgytuuxxgymnppmn),(tuxgy 0 x=f(x

20、,u,t),tty=g(x,u,t)可根据系统的状态描述对系统进行分类。1)线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统 在选定的一组状态变量下，称一个系统为非线性系统，若其状态空间描述中，f 与(或)g 的某些分量是x1,xn和u1,um的非线性函数。反之，若f 与g 的各分量均是x 与u 的线性函数，则称为线性系统。线性系统的状态描述可表示为：)()()()()()()()()()(tutDtxtCtytutBtxtAtx 例：非线性系统 线性时变系统 非线性系统可以在其某一平衡点 附近线性化。221221uxuxx22121221163uxxxuxttxx),(00ux2)时变系统与时不变系

21、统时变系统与时不变系统当且仅当系统的状态方程描述中显含时间t时，即f 和g 或(A,B,C,D)显含t 时，称为时变系统。否则称为时不变系统。非线性时不变系统非线性时不变系统线性时不变系统（定常）线性时不变系统（定常）),(),(uxgyuxfx DuCxyBuAxx 系数矩阵：A(nn)，B(nm)，C(pn)，D(pm)，简记为(A,B,C,D)，由于Du(t)是直接输出项，与状态方程无关，并且对一般工程系统，D0，故通常讨论(A,B,C)系统。例线性时变系统pmnRyRuRx,uxetgtttxt01cossin3）连续时间系统和离散时间系统连续时间系统和离散时间系统 若系统的状态变量x

22、(t),y(t)与u(t)都是随时间 t 连续变化，则称为连续时间系统。反之若系统的各个变量在某些离散的时刻取值，则称为离散时间系统。如生态系统、经济系统。4）确定性系统和随机系统 若系统的特性和参数都是按确定的规律变化，并且各输入变量（控制和扰动）也是按确定的规律变化，则称为确定系统。即通过分析可确定系统的状态和输出变量在任一时刻的值。反之，若系统的特性和参数不是按确定的规律变化与（或）作用于系统的变量是随机变量，则为随机系统。)()()()()()()()()()(tutDtxtCtytutBtxtAtx Rn n n (系统矩阵系统矩阵)(,.,)()(,.,)()(1111tatata

23、tatAnnnn Rn p p (输入矩阵输入矩阵)(,.,)()(,.,)()(1111tb tbtbtbtBnpnp 线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述 对于线性定常系统，对于线性定常系统，A、B、C、D为常数阵。为常数阵。故故 Rq n n (输出矩阵输出矩阵)(,.,)()(,.,)()(1111tctctctctCqnqn Rq p (直接联系阵直接联系阵)(,.,)()(,.,)()(1111tdtdtdtdtDqpqp )()()()()()(tDutCxtytButAxtx 常简写常简写：DuCxyBuAxx 定常定常时变时变 utDxtCyutBxtAx)()()(

24、)(常用系统常用系统 ：(A,B,C),(A,B,C,D),A,B,C 模拟图模拟图状态变量方程状态变量方程输入输入-输出描述输出描述状态变量描述状态变量描述实现问题实现问题2 26 6 由输入输出描述得出状态方程描述由输入输出描述得出状态方程描述已知系统由已知系统由n阶微分方程描述阶微分方程描述ububububyayayaymmmmnnn0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(1)(1)其中其中y(t)为输出，为输出，u(t)为输入。两边取拉氏变换为输入。两边取拉氏变换可得到以上系统的传递函数为可得到以上系统的传递函数为011101111)()()(asasasbsbsbsbsHnnnm

25、mmmsUsY 考虑单输入考虑单输入单输出系统（单输出系统（SISOSISO系统）系统）1 1 辅助变量法辅助变量法设设mn引入辅助变量引入辅助变量xa(s)，成立，成立)()()()()()(01110111sxbsbsbsbsYsxasasassUammmmannn令令)()()()()()()()(11121ssxsxssxssxssxsxsxsxnannaa即即1)1(121nnanaaxxxxxxxxuxaaaaaxnn10001000000001000001012210 xbbbbtym0 0 )(21027 由状态空间描述导出传递函数矩阵设设输入输入u(t)=u1(t)，up(t

26、)T其其Laplace变换变换为：为：Tpsususu)()()(1，)()(tuLsuii 输出输出 y(t)=y1-(t),yq(t)T其其Laplace变换变换为：为：Tqsysysy)()()(1，,)()()(susGsy ）注注意意：)()()(susysG 其中其中 )()()()()(1111sgsgsgsgsGqpqp为为传递函数矩阵传递函数矩阵。)(1tu)(tyq)(1ty)(,)(1txtxn)(tup2 28 8 坐标变换坐标变换 固定固定t，则，则x(t)为状态空间的一个点，即为为状态空间的一个点，即为n元实数向量。可以把元实数向量。可以把x看作对应于状态空间某看作

27、对应于状态空间某组基下的坐标。如果改变状态空间的基则其坐组基下的坐标。如果改变状态空间的基则其坐标亦作改变。这种改变基的变换，称为坐标变标亦作改变。这种改变基的变换，称为坐标变换。利用坐标变换可以突出系统的某些特征，换。利用坐标变换可以突出系统的某些特征，或者简化问题的分析计算。或者简化问题的分析计算。定理定理1 1：考虑系统考虑系统DuCxyBuAxx:引入引入坐标变换坐标变换Pxx 并令变换后的状态空间并令变换后的状态空间描述为描述为:（P 非奇异）非奇异）uDxCyuBxAx:DDCPCPBBPAPA11则成立则成立并称并称 和和 为代数等价系统为代数等价系统定理定理2：坐标变换不改变系统的特征值，即坐标变换不改变系统的特征值，即 和和 有相同的特征值。有相同的特征值。AA定理定理3 3：线性定常系统的传递函数矩阵在坐：线性定常系统的传递函数矩阵在坐标变换下保持不变。标变换下保持不变。