第五章--大数定律与中心极限定理课件

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1、第第5章概述章概述 大数定律和中心极限定理就是大数定律和中心极限定理就是使用使用极限极限方法方法研究大量随机现象统计规律性的。研究大量随机现象统计规律性的。阐明阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性大量重复试验的平均结果具有稳定性的的一系列定律都称为一系列定律都称为大数定律大数定律。论证论证随机变量（试验结果）之和渐进服从某随机变量（试验结果）之和渐进服从某一分布一分布的定理称为的定理称为中心极限定理中心极限定理。契比雪夫不等式契比雪夫不等式证明证明.,)(,)(222成立成立不等式不等式则对于任意正数则对于任意正数方差方差具有数学期望具有数学期望设随机变量设随机变量定理定理XPXDXEX 对连

2、续型随机变量的情况来证明对连续型随机变量的情况来证明.(),Xf x设的概率密度为则有 契比雪夫不等式契比雪夫不等式.22XP 221()()dxf xx.122 22()dx xf xx22XP .122XP 得得XP ()dx f xx 大数定律大数定律 概率论中有关阐明概率论中有关阐明大量随机现象平大量随机现象平均结果的稳定性均结果的稳定性的一系列定理。的一系列定理。迄今为止迄今为止,人们已发现很多人们已发现很多大数定律大数定律(laws of large numbers)所谓大数定律，简单地说，就是所谓大数定律，简单地说，就是大大量数目的随机变量所呈现出的规律量数目的随机变量所呈现出的

3、规律，这种规律一般，这种规律一般用随机变量序列的某种收敛性来刻画。用随机变量序列的某种收敛性来刻画。频率的稳定性：nf事件A在多次独立重复试验中发生的频率(A)具有“稳定性”()nfAp 即：当n时，lim()nnfAplim()nnfAp证明：（反证法）lim()nnfAp假设，则由数列极限的定义，0()nfAp对于任意的，总存在N，当nN时，有0,p但是，取()010nnP fAp由于,()0,nnnfA 从而不论 多大，都有可能存在使得0(),nfApp那么矛盾，得证。lim()1,0nnPfAp 定义定义1 1lim|1nnPXa则称则称XXn n 依概率收敛依概率收敛于于a,a,记作

4、记作:PnXa 12,nX XXa 设是一个随机变量序列，是一个常数，若对任意正数，有1.1.伯努利大数定理伯努利大数定理lim|1AnnPpn20,A定理设试验E可重复进行，事件A在每次实验中出现的概率为p，将试验进行n次，n 表示事件A发生的次数,则对任意有证明证明:(,),Ab n p因为n(),()(1)AAE nnp D nnpp故21(1)(),()()AAAnnppEp DD nnnnn从而2|1DXP XEX 由切比雪夫不等式，lim()1AnnPpn从而22()(1)()11AAnDnppnPpnn n 令2(1)11ppn伯努利大数定律说明了伯努利大数定律说明了当重复独立试

5、验次数当重复独立试验次数 n n 很大时，频率与其概率之差可为任意小很大时，频率与其概率之差可为任意小，即说明了其即说明了其频率的稳定性频率的稳定性。从而在实际推断中，当试验次数较大时，可以从而在实际推断中，当试验次数较大时，可以用事件发生的频率来近似代替概率。用事件发生的频率来近似代替概率。1,(1,2)0iiAXiniA第次实验中事件 发生 若记，第次实验中事件 不发生1,nAiinX则11,nAiinXnn1111()()nniiipP AE Xnn2从而定理 可写成：1111lim()1nniiniiPXE Xnn2.2.切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律:121113,111lim()

6、lim()1nniinniinniiXXXXnP XPXE Xnn2ii定理设随机变量序列相互独立,且具有相同的期望和方差：E(X)=,D(X)=记X,则对任意正数，有证明证明:由期望与方差的性质知111111()()nnniiiiiEXE Xnnn11()niiDXn211()niiD Xn221nn2n利用切比雪夫不等式,22/()1nP X lim()1nP X从而 切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律表明，当表明，当n n 很大时，很大时，X X1 1，X X2 2，X Xn n的算术平均值的算术平均值 niiXnX11的取值，集中的取值，集中 在其数学期望在其数学期望 niiXnXE1)

7、(1)(附近。附近。1211,11lim()1nnniiniiXXXPXE Xnni一般形式：设相互独立的随机变量序列的数学期望与方差都存在,且存在常数c,使得D(X)c(i=1,2),则必有例12,n 设随机变量序列相互独立 具有如下分布列nPna0na212n211n212n.问是否满足切比雪夫大数定律解:由题意12,n 相互独立 又222111()0(1)022nEnanannn 22()()()nnnDEE2222222221110(1)022n an annn2a即每个随机变量都具有即每个随机变量都具有有限的数学期望有限的数学期望,有限的方差有限的方差,满足定律满足定律.定理定理3使

8、我们关于算术平均值的法则有了理论上的依据。使我们关于算术平均值的法则有了理论上的依据。12,nXXX由大数定律知，只要由大数定律知，只要n充分大，则以接近于充分大，则以接近于1的概率保证的概率保证这便是在这便是在n较大情况下反映出的客观规律较大情况下反映出的客观规律,故称为故称为“大数大数”定律定律 如我们要测量某段距离，在相同条件下重复进行如我们要测量某段距离，在相同条件下重复进行n次，得次，得n个测量值个测量值 ，它们可以看成是，它们可以看成是n个相个相互独立的随机变量具有相同的分布、相同的数学期望互独立的随机变量具有相同的分布、相同的数学期望和方差和方差 ，2niiXn11 人们已经知道

9、，在自然界和生产实践中遇到大人们已经知道，在自然界和生产实践中遇到大量随机变量都服从或近似服从正态分布，正因如此，量随机变量都服从或近似服从正态分布，正因如此，正态分布占有特别重要的地位。正态分布占有特别重要的地位。那么，那么，如何判断一个随机变量服从正态分布如何判断一个随机变量服从正态分布显得尤为重要。如经过长期的观测，人们已经知显得尤为重要。如经过长期的观测，人们已经知道，很多工程测量中产生的误差道，很多工程测量中产生的误差X X都是服从正态分都是服从正态分布的随机变量。布的随机变量。分析起来，造成误差的原因有仪器偏差分析起来，造成误差的原因有仪器偏差X X1 1、大气折射偏差大气折射偏差

10、X X2 2,温度变化偏差温度变化偏差X X3 3、估读误差、估读误差造成的偏差造成的偏差X X4 4等等，这些偏差等等，这些偏差XiXi 对总误差对总误差 的影响都很微小，没有一个起到特别突出的影的影响都很微小，没有一个起到特别突出的影响，虽然每个响，虽然每个XiXi的分布并不知道，但的分布并不知道，但 却服从正态分布。却服从正态分布。iXXiXX例如：n设随机变量序列 X独立同分布于伯努力分布B(1,p),1(,)nnkkYXB n p那么其部份和服从二项分布，分别对n=5,10,20画出二项分布密度b(n,0.5)的图形 易知，当n变大时，这些图形越来越接近正态分布的密度曲线。02468

11、10121416182000.020.040.060.080.10.120.140.160.180246810121416182000.050.10.150.20.250246810121416182000.050.10.150.20.250.30.351.德莫佛-拉普拉斯定理lim()(1)nnXnpPxxnpp 1(,),(1,2),nXB n pnxR定理设随机变量则对任意有(,),(,),:XB n pnXN np npq设随机变量则当 很大时 近似地有从而可得推近似公式论()()()bnpanpP aXbnpqnpq()()(1)(1)bnpanpnppnpp aEXXEXbEXP

12、aXbPDXDXDX证：(1)(1)(1)a npXnpb npPnppnppnpp 例：例：在人寿保险公司里有在人寿保险公司里有30003000个同一年龄的人参加个同一年龄的人参加人寿保险人寿保险.在一年里在一年里,这些人的死亡率为这些人的死亡率为0.1%.0.1%.参加保参加保险的人在一年的头一天交付保险费险的人在一年的头一天交付保险费1010元元,死亡时死亡时,家家属可以从保险公司领取属可以从保险公司领取20002000元元.求求:(1)(1)保险公司一年中获利不小于一万元的概率保险公司一年中获利不小于一万元的概率;(2)(2)保险公司公司亏损的概率是多少保险公司公司亏损的概率是多少?解

13、解:设一年中死亡人数为X,则(3000,0.001)XB30000.0013(1)1.7312EXnpDXnpp2(3,1.7312)()XN由定理知近似(1)(1.7313)96%30000200010000PX010PX3310 31.73121.73121.7312XP(4.043)(1.7312)保险公司每年利润为:3000 102000()X万元(2)PP保险公司亏本保险公司亏本 1(1.733)10.95820.0418 可见保险公司亏本的概率很小可见保险公司亏本的概率很小.3000020000PX15P X115 1015P XPX 3315 311.73121.73121.73

14、12XP 1231()()1.73121.7312 注意:(1),0.1,p 普阿松分布告诉我们 当时 二项分布可用普阿松分布作近似计算,而上述定理不受p值的限制.但若n很大,p很小(np5),则用正态分布作近似不如普阿松分布精确.(2),n很大 是一个较为模糊的概念 经验告诉我们 如果取n50(有时可放宽到n30),则近似程度便可以满足一般要求.当然,n越大精度越好.德莫佛德莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理:lim()(1)nnXnpPxxnpp(,),(1,2),nXB n pnxR设随机变量则对任意有说明:1(1,2)0iAiinAi若 在第 次实验中发生令若 在第 次实验中不发生1nni

15、iX则111()lim()()()nniiiinniiEPxxD 即 n设为任一随机变量序列，其和的标准化随机变量111()()nniiiinniiEYDlim()nnP Yxx 在什么条件下满足？这是此后这是此后200多年来，概率论研究的一个多年来，概率论研究的一个中心，故称作中心，故称作中心极限定理中心极限定理（Central Limit Theorems）。）。2.2.林德贝格林德贝格-勒维定理勒维定理(独立同分布独立同分布)2111111,0(1,2).()()(),1lim()lim()()2nniinniiiiiinniiniinnnXXiXXEXXnYnDXFxxXnFxPxxn

16、 12iinn独立同分布具有数学期望和方差定理2 设X是相互的随机变量序列,且,E(X)=,D(X)=则随机变标准化随机量之变量和的 的分布函数对任意实数 满足22txedt()()bnannn 1niiP aXb1111111()()()()()()nnnniiiiiiiinnniiiiiiaEXXEXbEXPDXDXDX11()niianbnPXnnnn例例 对敌阵地进行对敌阵地进行100100次炮击次炮击,每次炮击中每次炮击中,炮弹的命炮弹的命中颗数的数学期望为中颗数的数学期望为4,4,方差为方差为2.25,2.25,求在求在100100次炮击中次炮击中,有有380380颗到颗到4204

17、20颗炮弹击中目标的概率的近似值颗炮弹击中目标的概率的近似值.解解:设第设第i i次炮击中炮弹命中颗数为次炮击中炮弹命中颗数为X Xi i,i=1,2,i=1,2,100.100.由题意可知由题意可知:100100100111()2.25225iiiiiDXDX4,2.25iiEXDX100100100111()4400iiiiiEXEX1(400,225)()niiXN由定理知近似2(1.333)1 0.8164.1001380420iiPX1001400380400420400225225225iiXP44()()33 例 某车间有同型号机床200台,它们独立地工作着.每台开工的概率为0.

18、7,开工时每台耗电15kw.问供电部门最少要供应该车间多少电能,才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.解:200,设 表示台中开工的机床数 则(200,0.7)B()140,()42ED且:(140,42)()N由中心极限定理近似x设 表示供电量,由题意(15)0.95Px14014015()()0.95154242xxPP即14015:()1.6542x查表得2260()xkwniXEX 设为独立同分布随机变量序列，02iDX111lim1niniPXn、由大数定律知，对任意正数，有11niiPXn 大数定理并未给出的表达式，但是保证了它的极限为1最后，我们指出最后，我们指出大数定

19、律与中心极限定理的区别大数定律与中心极限定理的区别：因此，在所给条件下，中心极限定理不仅给出了因此，在所给条件下，中心极限定理不仅给出了概率的近似表达式，而且也能保证了其极限是概率的近似表达式，而且也能保证了其极限是1，可见，可见中心极限定理的结论更为深入。中心极限定理的结论更为深入。这时，对于任意的这时，对于任意的0及某固定的及某固定的n，有，有211nn nnnXPXnPniii11 2、而在以上条件下，中心极限定理（林德伯格、而在以上条件下，中心极限定理（林德伯格勒维）亦成立。勒维）亦成立。中心极限定理的意义中心极限定理的意义 在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理定理.中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实.