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1、北京理工大学数学系北京理工大学数学系21lim()1nnnn北京理工大学数学系北京理工大学数学系无穷是一个永恒的谜无穷是一个永恒的谜 HilbertHilbert第五节 无穷小和无穷大（一）无穷小（二）无穷大（三）二者关系（四）无穷小的阶北京理工大学数学系北京理工大学数学系一、无穷小0 x 时定义定义1：在自变量的某种趋势下，以：在自变量的某种趋势下，以零零为极限为极限的函数（变量）称为的函数（变量）称为无穷小量无穷小量，简称，简称无穷小无穷小.例如：例如：2,sin,tan,1 cos,tansinxxxxxx21,arctan2xexx.是无穷小量x 时是无穷小量.北京理工大学数学系北京理
2、工大学数学系注意注意（1）无穷小是变量）无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;（3）零是可以作为无穷小的唯一的数）零是可以作为无穷小的唯一的数.（2）无穷小是变量的一种变化趋势）无穷小是变量的一种变化趋势;北京理工大学数学系北京理工大学数学系例如例如,11lim0,1xxx11.1xxx函数是当时的无穷小,01lim xx.1时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数 xx,0)1(lim nnn.)1(时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 nnn10lim0 xxe北京理工大学数学系北京理工大学数学系10lim0.xxe例1、证明证证01xe要使1lnx只要1ln 取10,lnx当时
3、1xe有10lim0 xxe1lnx只要1)(不妨设北京理工大学数学系北京理工大学数学系2、无穷小与函数极限的关系、无穷小与函数极限的关系:意义意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题）将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小无穷小);02()f xx（）给出了函数在附近的近似表达式()f xA().x误差为北京理工大学数学系北京理工大学数学系3、无穷小的运算性质、无穷小的运算性质:定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小有限个无穷小的代数和仍是无穷小.注意注意无穷多个无穷小的代数和无穷多个无穷小的代数和未必未必是无穷小是无穷小.33312limnnnnn例如,
4、22212limnnnnn北京理工大学数学系北京理工大学数学系定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论推论2 常数（有界量）与无穷小的乘积是无穷小常数（有界量）与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.,0 x 例如 当时都是无穷小都是无穷小注意注意无穷多个无穷小的乘积未必是无穷小无穷多个无穷小的乘积未必是无穷小.1sinxx21,arctanxx北京理工大学数学系北京理工大学数学系二、无穷大北京理
5、工大学数学系北京理工大学数学系1limtan2xx，lim ln,xx 特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或01limxx，limxxe 2limxx 0lim lnxx 0lim cot,xx 10limxxe 北京理工大学数学系北京理工大学数学系0lim ln.xx 例2、证明证证0Mln xM 要使Mxe只要Me取0Mxe当时ln xM 有0lim ln.xx 北京理工大学数学系北京理工大学数学系10lim.xxe 例3、证明证证1M1,xeM要使1ln,Mx只要1,lnM取10,lnxM当时1xeM有10l
6、im.xxe 1lnxM只要北京理工大学数学系北京理工大学数学系注意注意（1）无穷大是变量）无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;（3）无穷大是一种特殊的无界变量）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大但是无界变量未必是无穷大.)(lim20认为极限存在认为极限存在）切勿将）切勿将（xfxx110sinxyxx例如,当时,是无界变量，是无界变量，但不是无穷大量但不是无穷大量北京理工大学数学系北京理工大学数学系lim()xaf x 若 lim()xf xA若 lim()xaf x 或()xayf x称直线为曲线的垂直渐近线,lim(),xaf x 或,lim()xaf
7、 x 或,lim()xf xA或()yAyf x称直线为曲线的水平渐近线北京理工大学数学系北京理工大学数学系三、无穷小与无穷大的关系定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论都可归结为关于无穷小的讨论.北京理工大学数学系北京理工大学数学系四、无穷小的阶及其比较例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02210,3,sin,sin.xxx xx xx当时都是无穷小极限不同极限不同,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快
8、慢快慢”程度不程度不同同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大致相同大致相同与与xx,0,1 比较比较北京理工大学数学系北京理工大学数学系()(1)lim0()xx如果，定义定义:(),(),()0.xxx设是中的两个无穷小且同一过程()(2)lim0()xCx如果1,()()Cxx等价的如果称与是无穷小；()()xx低阶的称是的无穷小；()()xx高阶的称是的无穷小；()()xox记作：；()()xx同阶的称与是无穷小；()()xOx记作：()()xx记作：；北京理工大学数学系北京理工大学数学系()(3)lim0,0,()kxCkx如果(0)xxx通常，当时，取为标准无穷小；(.)xk
9、x的阶是无穷小称()()xxaxa当时，取为标准无穷小；1()xxx 当时，取为标准无穷小；()()xxk若是标准无穷小的 阶无穷小，()kx称：是 阶无穷小。北京理工大学数学系北京理工大学数学系20lim0 xxx，1sinlim0 xxx20;xxx当时，是 的高阶的无穷小2()(0).xo xx即是等价无穷小是等价无穷小与与时，时，当当xxxsin0).0(sinxxx即即例如，例如，北京理工大学数学系北京理工大学数学系例例4 4.sintan,0:的的三三阶阶无无穷穷小小为为时时当当证证明明xxxx 解解30sintanlimxxxx)cos1sincos1(lim20 xxxxxx
10、,21.sintan的三阶无穷小的三阶无穷小为为xxx 2000cos1limsinlimcos1limxxxxxxxx 北京理工大学数学系北京理工大学数学系210nxxnZ练习：求-1当时的阶()？是不是任意两个无穷小是不是任意两个无穷小 都可以进行阶的比较都可以进行阶的比较,1)(xxf xxxgsin)()()(limxfxgxxxsinlim不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大x 时的无穷小北京理工大学数学系北京理工大学数学系(.2)o与是等价无穷小的充要条件为 定理称是的主要部分意义意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式：用等价无穷小可给出函数的近似表达式例如例如,).(21cos
11、122xoxx ,0时时当当 xxycos1 221yx 2121 cos xx北京理工大学数学系北京理工大学数学系常用等价无穷小常用等价无穷小:,0时时当当 x sin tanxxx arcsin arctanxx ln(1)1xxe(1)11lnaxxaaa211 cos2xx北京理工大学数学系北京理工大学数学系例例5 5解解sin112cosxx1 tan1 sin0 xx x求无穷小量的阶 1tan1 sin1tan1 sin1tan1 sinxxxxxxtansin2xx sin x x1无穷小量为 阶无穷小量。北京理工大学数学系北京理工大学数学系小结1、主要内容、主要内容:定义定义
12、;定理定理;推论推论.2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（大）是变量无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；（3）无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.北京理工大学数学系北京理工大学数学系3、无穷小的比较、无穷小的比较反映了同一过程中反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较.高高(低低)阶无穷小阶无穷小;同阶无穷小；同阶无穷小；等价无穷小等价无穷小;无穷小的阶无穷小的阶.北京理工大学数学系北京理工大学数学系思考：已知x0时22()ln(1)f xxx是等价无穷小，求A，n.()ng xAx北京理工大学数学系北京理工大学数学系作业 P58:3.偶 4.偶（5.偶）
《微积分 A》课堂教案：1-5无穷大与无穷小
