岩土工程结构可靠度讲义

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1、岩土工程结构可靠度岩土工程结构可靠度刘希灵刘希灵资源与安全工程学院资源与安全工程学院岩土工程结构可靠度岩土工程结构可靠度课程：课程：32学时学时:9-16周，每周周，每周2次课（次课（4学时）学时）2学分学分:选修课程选修课程教材：教材：岩土工程结构可靠度岩土工程结构可靠度邓建编著邓建编著成绩：平时成绩成绩：平时成绩30%：适当的作业和到课：适当的作业和到课 考试成绩考试成绩70%：开卷开卷教学计划与管理教学计划与管理所需专业背景知识所需专业背景知识概率论与数理统计概率论与数理统计结构设计原理与方法结构设计原理与方法岩石力学岩石力学土力学土力学其它与岩土工程、地下工程的相关设计等其它与岩土工程

2、、地下工程的相关设计等Matlab程序设计程序设计第一章：绪论第一章：绪论 1.1 引言引言 1.2 岩土工程中的不确定性岩土工程中的不确定性 1.3 可靠度理论与实践的发展可靠度理论与实践的发展 1.4 可靠度分析的目的和程序可靠度分析的目的和程序岩土工程结构可靠度与岩土工程结构可靠度与可靠性理论的区别与共可靠性理论的区别与共同点同点 可靠度是可靠度是“产品或系统在规定条件下和产品或系统在规定条件下和规定时间内完成规定功能的概率规定时间内完成规定功能的概率”。可靠性理论侧重于产品或一个系统的可靠度，可靠性理论侧重于产品或一个系统的可靠度，主要是一些基础理论；岩土工程结构可靠度侧重于主要是一些

3、基础理论；岩土工程结构可靠度侧重于工程领域应用。工程领域应用。岩土工程自身也是一系统，其可靠度的计算远岩土工程自身也是一系统，其可靠度的计算远比单个或一批产品的可靠度计算复杂。比单个或一批产品的可靠度计算复杂。n1.1 引言引言岩土工程结构可靠度与岩土工程结构可靠度与可靠性理论的区别与共可靠性理论的区别与共同点同点 产品失效率有浴产品失效率有浴盆曲线特征；岩土工盆曲线特征；岩土工程结构失效也有浴盆程结构失效也有浴盆曲线特征，只不过其曲线特征，只不过其中间段中间段(偶然失效期偶然失效期)一般比较长，特征不一般比较长，特征不明显而已。明显而已。岩土工程结构可靠度与岩土工程结构可靠度与可靠性理论的区

4、别与共可靠性理论的区别与共同点同点彩色电视机的平均寿命为彩色电视机的平均寿命为15000小时，假设其服从小时，假设其服从指数分布，如果我们每天使用指数分布，如果我们每天使用2小时，小时，5年的可靠度年的可靠度和和10年的可靠度各为多少？年的可靠度各为多少？解解产品产品可靠可靠度计度计算算一土坡工程，得出状态函数：一土坡工程，得出状态函数：已知正压力均值为已知正压力均值为100KPa，标准差，标准差20KPa，土的磨，土的磨擦角均值为擦角均值为35度，标准差度，标准差5度，土的粘结力均值度，土的粘结力均值50KPa，标准差，标准差10KPa。求该土坡的安全度。求该土坡的安全度。岩土岩土工程工程可

5、靠可靠度计度计算算tanFC传传统统工工程程结结构构设设计计 早期的工程结构设计一般采用早期的工程结构设计一般采用容许应力法容许应力法。容许应力法是按照结构构件的截面计算应力不大容许应力法是按照结构构件的截面计算应力不大于规定的材料容许应力的原则，它要求在荷载作于规定的材料容许应力的原则，它要求在荷载作用下，结构或构件某截面应力不超过材料的容许用下，结构或构件某截面应力不超过材料的容许应力。应力。RRSS结构面应力容许应力为材料强度，为安全系数。随着工程结构分析方法的发展，出现了破损随着工程结构分析方法的发展，出现了破损(或破坏或破坏)阶段设计法。破损阶段设计法与容许应力阶段设计法。破损阶段设

6、计法与容许应力法的主要区别在于考虑材料的塑性性质，计算截法的主要区别在于考虑材料的塑性性质，计算截面或构件在塑性状态下的承载能力。面或构件在塑性状态下的承载能力。安全系数法安全系数法工工程程结结构构设设计计容许应力法容许应力法破损阶段破损阶段设计法设计法应力-应变模型 Mazars损伤模型pup应力-应变模型Loland损伤模型ppu安全系数法安全系数法安安全全系系数数法法优优缺缺点点 通常认为安全系数大于通常认为安全系数大于1，结构安全；安全系数小，结构安全；安全系数小于于1，结构将产生失稳。安全系数法由于使用方便，应，结构将产生失稳。安全系数法由于使用方便，应用时间较长、应用范围也比较广。

7、用时间较长、应用范围也比较广。但长时间的实践也证明，安全系数法具有局限性，但长时间的实践也证明，安全系数法具有局限性，表现在：表现在：(1)由于安全系数是根据经验确定的数值，使结构由于安全系数是根据经验确定的数值，使结构设计非常粗糙。设计非常粗糙。(2)安全系数法不能作为度量结构可靠度的统一尺安全系数法不能作为度量结构可靠度的统一尺度。例如：强度均值相同，方差不同的材料，计算的度。例如：强度均值相同，方差不同的材料，计算的安全系数一样，但安全度不会一样。安全系数一样，但安全度不会一样。(3)加大结构的安全系数，不一定能按比例地增加加大结构的安全系数，不一定能按比例地增加结构的安全度。结构的安全

8、度。安安全全系系数数法法固固有有缺缺限限 传统的安全系数法设计没有考虑到如下的事实：传统的安全系数法设计没有考虑到如下的事实：材料性能、构件尺寸以及结构的荷载都是随机的几材料性能、构件尺寸以及结构的荷载都是随机的几何量或物理量，而不是确定的单值量。如岩土的强何量或物理量，而不是确定的单值量。如岩土的强度测试离散性很大度测试离散性很大(如果正态分布，方差很大如果正态分布，方差很大)，结构，结构构件尺寸测量，各次测量的结果肯定有误差。安全构件尺寸测量，各次测量的结果肯定有误差。安全系数法只是把这些不确定量用一个笼统的安全系数系数法只是把这些不确定量用一个笼统的安全系数掩盖起来。掩盖起来。为克服这些

9、缺点，人们发展一门新的学科为克服这些缺点，人们发展一门新的学科工程结构可靠度工程结构可靠度。工程结构可靠度定义工程结构可靠度定义 工程结构可靠度工程结构可靠度是在规定的时间内、在规定的条是在规定的时间内、在规定的条件下，工程结构完成预定功能的能力。可靠度是从件下，工程结构完成预定功能的能力。可靠度是从概概率率的角度对可靠性的定量描述。可靠度设计是以承认的角度对可靠性的定量描述。可靠度设计是以承认结构有失效结构有失效(或破坏或破坏)的可能性为前提的。的可能性为前提的。(1)半经验半概率法半经验半概率法-对影响结构可靠度的某些参数进对影响结构可靠度的某些参数进行数理统计分析，并与经验相结合，然后引

10、入某些经行数理统计分析，并与经验相结合，然后引入某些经验系数。该法对结构可靠度还不能作出定量的估计。验系数。该法对结构可靠度还不能作出定量的估计。(2)近似概率法近似概率法-一次二阶矩法，它采用概率论的方法一次二阶矩法，它采用概率论的方法对结构可靠度进行计算，不过不是采用精确的计算方对结构可靠度进行计算，不过不是采用精确的计算方法，而是采用近似的方法计算结构的可靠度，是目前法，而是采用近似的方法计算结构的可靠度，是目前结构可靠度实际计算中应用最多的方法。结构可靠度实际计算中应用最多的方法。(3)全概率法全概率法-是完全基于概率论的结构可靠度精确分是完全基于概率论的结构可靠度精确分析法。计算比较

11、复杂，目前还很少直接使用该方法。析法。计算比较复杂，目前还很少直接使用该方法。工工程程结结构构设设计计方方法法1.2 岩土工程中的不确定性岩土工程中的不确定性 岩土工程的介质很复杂。以岩体为例，岩体是地岩土工程的介质很复杂。以岩体为例，岩体是地质体的一部分，这种地质体中存在着大量的结构面，质体的一部分，这种地质体中存在着大量的结构面，如节理，裂隙，断层等，具有非常复杂的力学特性；如节理，裂隙，断层等，具有非常复杂的力学特性；以土介质为例，土体的含水率不同，内部孔隙及结构以土介质为例，土体的含水率不同，内部孔隙及结构各异，所表现的力学性质各异，所表现的力学性质(如强度如强度)千差万别。千差万别。

12、岩土工程地质条件及岩体性质参数具有不确定性，岩土工程地质条件及岩体性质参数具有不确定性，岩土工程中的不确定性主要表现在三个方面：岩土工程中的不确定性主要表现在三个方面：(1)岩土本身固有的不均匀性；岩土本身固有的不均匀性；(2)统计所带来的不确定性；统计所带来的不确定性；(3)模型不准确引起的不确定性。模型不准确引起的不确定性。(1)岩土自身固有的不均匀性岩土自身固有的不均匀性 岩土介质与其它材料介质的最根本区别是它的性质岩土介质与其它材料介质的最根本区别是它的性质和结构的不均匀性。和结构的不均匀性。a、岩体中裂隙分布的不确定性：岩体中存在着大量、岩体中裂隙分布的不确定性：岩体中存在着大量结构

13、面结构面(断层和节理断层和节理)。(照片照片)(in2)节理裂隙调查节理裂隙调查(in3)b、岩体力学性质的不确定性：岩体是非均质的各、岩体力学性质的不确定性：岩体是非均质的各向异性体，各点间的性质往往有较大差异，同一试样在向异性体，各点间的性质往往有较大差异，同一试样在相同试验条件下测定其强度，结果也表现出一定的离散相同试验条件下测定其强度，结果也表现出一定的离散性。性。(岩石力学试验岩石力学试验in4)(岩石力学试验结果岩石力学试验结果in5)c、所受载荷的不确定性：地下岩体工程的结构所受、所受载荷的不确定性：地下岩体工程的结构所受的载荷是多种多样的，同时也具有不确定性，如岩石容的载荷是多

14、种多样的，同时也具有不确定性，如岩石容重、地应力、地下水、地震、爆破震动、降雨等，这些重、地应力、地下水、地震、爆破震动、降雨等，这些载荷很难用确定性指标描述，它们都是随机变量载荷很难用确定性指标描述，它们都是随机变量(2)统计所带来的不确定性统计所带来的不确定性 目前人们对岩体性质参数的掌握主要方法是通过现场目前人们对岩体性质参数的掌握主要方法是通过现场取样，实验室测试，然后统计推断而得到，使得结果不可取样，实验室测试，然后统计推断而得到，使得结果不可避免地带有不确定性。具体表现在：避免地带有不确定性。具体表现在：(a)岩体本身固有的性质和结构的不均匀性，使得少量岩体本身固有的性质和结构的不

15、均匀性，使得少量的试验难以得出岩体力学参数，由此产生不确定性；的试验难以得出岩体力学参数，由此产生不确定性；(b)取样和测试过程中，测试环境条件的变化以及测取样和测试过程中，测试环境条件的变化以及测试方法的不一致等，都使结果有差异；试方法的不一致等，都使结果有差异；(c)从实验室试验的力学参数，推断岩体力学参数，这从实验室试验的力学参数，推断岩体力学参数，这就使结果具有很大的不确定性。就使结果具有很大的不确定性。不同的人，不同的单位对同一工程进行力学计算，所不同的人，不同的单位对同一工程进行力学计算，所计算的结果有很大的差异，这完全不奇怪。计算的结果有很大的差异，这完全不奇怪。(3)模型不准确

16、引起的不确定性模型不准确引起的不确定性 岩土工程的设计和分析是通过数学模型或模拟岩土工程的设计和分析是通过数学模型或模拟(例如例如公式、方程、算法、计算模拟程序等公式、方程、算法、计算模拟程序等)来实现一组输入变来实现一组输入变量或基本变量与所要求的输出量之间的联系。量或基本变量与所要求的输出量之间的联系。岩体力学模型可以采用弹性力学模型；损伤力学模型；岩体力学模型可以采用弹性力学模型；损伤力学模型；弹塑性力学模型；流变力学模型等。弹塑性力学模型；流变力学模型等。采用有限元进行力学计算是通过输入岩体的弹性模型采用有限元进行力学计算是通过输入岩体的弹性模型参数、体重、粘结力参数、内摩擦角参数、抗

17、压强度等，参数、体重、粘结力参数、内摩擦角参数、抗压强度等，得出工程岩体的变形量，应力分布，工程中各点的安全系得出工程岩体的变形量，应力分布，工程中各点的安全系数等结果。采用不同的模型进行计算，结果肯定不同。数等结果。采用不同的模型进行计算，结果肯定不同。E(4)岩土工程可靠度研究的必要性岩土工程可靠度研究的必要性 岩土工程中存在的不确定性，使人们对用安全系数来岩土工程中存在的不确定性，使人们对用安全系数来表示安全程度产生了疑问。岩土工程中的不确定性导致了表示安全程度产生了疑问。岩土工程中的不确定性导致了目前岩土力学分析难以满足工程实际要求。目前岩土力学分析难以满足工程实际要求。鉴于复杂岩土具

18、有不确定性，以往沿用的鉴于复杂岩土具有不确定性，以往沿用的“确定确定”参参数和安全系数概念已不完全适用，确定性模型不足以概括数和安全系数概念已不完全适用，确定性模型不足以概括复杂的岩石力学特性，可靠性理论有可能为岩石力学提供复杂的岩石力学特性，可靠性理论有可能为岩石力学提供更合适的分析手段。更合适的分析手段。可靠度分析方法对现有数据资料进行概率统计分析，可靠度分析方法对现有数据资料进行概率统计分析，使许多不确定性因素定量化。使许多不确定性因素定量化。以上分析说明：采用可靠性理论研究岩土工程无疑具以上分析说明：采用可靠性理论研究岩土工程无疑具有重要的意义。有重要的意义。以随机可靠性理论为基础对工

19、程结构进行以随机可靠性理论为基础对工程结构进行极限状态设计是工程结构设计理论的一个重大发展。极限状态设计是工程结构设计理论的一个重大发展。1.3 可靠度理论及可靠度标准的发展可靠度理论及可靠度标准的发展 可靠度的研究早在可靠度的研究早在1930年代就开始，当时主要是围绕飞机失年代就开始，当时主要是围绕飞机失效进行研究。可靠度在工程结构设计中的应用大概从效进行研究。可靠度在工程结构设计中的应用大概从1940年代开年代开始。在我国，结构可靠性问题的研究始于始。在我国，结构可靠性问题的研究始于1950年代中期。于年代中期。于1984年提出的年提出的建筑结构设计统一标准建筑结构设计统一标准采用国际上正

20、在发展和推行采用国际上正在发展和推行的以概率统计理论为基础的极限状态设计方法。的以概率统计理论为基础的极限状态设计方法。1985年建筑科学年建筑科学研究院会同建工、铁道、公路、港工、水工等五大部门，开始编研究院会同建工、铁道、公路、港工、水工等五大部门，开始编制全国的制全国的“工程结构可靠度设计统一标准工程结构可靠度设计统一标准”。同时，铁路工程结。同时，铁路工程结构、公路工程结构、港口工程结构、水利水电工程结构可靠度设构、公路工程结构、港口工程结构、水利水电工程结构可靠度设计统一标准陆续开始编制。计统一标准陆续开始编制。建筑结构可靠度设计统一标准建筑结构可靠度设计统一标准(GB50068-2

21、001)、公路工程结构可靠度设计统一标准公路工程结构可靠度设计统一标准(GB/T50283-1999)、港口工程结构可靠度设计统一标准港口工程结构可靠度设计统一标准(GB50158-92)、水利水电工程结构可靠度设计统一标准水利水电工程结构可靠度设计统一标准(GB50199-94)和和铁路工程结构可靠度设计统一标准铁路工程结构可靠度设计统一标准(CB50216-94)相继建立，相继建立，使工程结构可靠度设计有据可依。使工程结构可靠度设计有据可依。岩土工程可靠度理论与实践的发展岩土工程可靠度理论与实践的发展n岩土工程的可靠性问题研究明显落后于结构工程。n岩土工程可靠度分析有许多应用领域，如边坡、

22、采矿、隧道、挡土墙、地基、桩基、大坝等。n我国岩土工程可靠性研究开始于70年代末80年代初，主要集中在土坡、地基、桩基、隧道等工程。1.4 工程结构可靠度研究目的及研究步骤工程结构可靠度研究目的及研究步骤 工程结构可靠度分析的目的大概可分为三类：工程结构可靠度分析的目的大概可分为三类：(1)已知已知结构尺寸、荷载、材料特性以及目标可靠指标，校核结构结构尺寸、荷载、材料特性以及目标可靠指标，校核结构的可靠度；的可靠度；(2)校核现行规范，给出规范中有关系数所对校核现行规范，给出规范中有关系数所对应的安全水准；应的安全水准；(3)在给定目标可靠指标下，计算现行规在给定目标可靠指标下，计算现行规范设

23、计式中的系数，得出具有新的分项系数下的设计表达范设计式中的系数，得出具有新的分项系数下的设计表达式，以供设计使用。式，以供设计使用。工程结构可靠度分析步骤具体包括：工程结构可靠度分析步骤具体包括：(1)确定工程的可确定工程的可靠度分析模式；靠度分析模式；(2)基本变量数据的搜集；基本变量数据的搜集；(3)基本变量的基本变量的概率模型及统计参数；概率模型及统计参数；(4)建立工程极限状态方程；建立工程极限状态方程；(5)计计算可靠度与可靠指标，并进行决策。算可靠度与可靠指标，并进行决策。第二章：工程随机数据的采集与处理第二章：工程随机数据的采集与处理工程随机数据的采集工程随机数据的采集随机变量及

24、其概率分布随机变量及其概率分布随机过程及其最大值分布随机过程及其最大值分布工程随机数据的处理方法工程随机数据的处理方法 工程结构的可靠性分工程结构的可靠性分析，首先需要确定工程结析，首先需要确定工程结构基本变量和参数展现出构基本变量和参数展现出来的随机信息，对基本变来的随机信息，对基本变量和参数建立起适宜的概量和参数建立起适宜的概率模型，方可用于可靠性率模型，方可用于可靠性分析。分析。可靠性分析过程是基可靠性分析过程是基本变量的随机信息采集、本变量的随机信息采集、处理、模拟和应用过程。处理、模拟和应用过程。随机信息采集、处理、模拟和应用过程随机信息采集、处理、模拟和应用过程2.1 工程随机数据

25、的采集工程随机数据的采集 1、试验与观测方法、试验与观测方法 (1)真实情况的实测与观察真实情况的实测与观察 这是利用近现代的各种测量与观察工具来获得随机变量这是利用近现代的各种测量与观察工具来获得随机变量样本数据的一种方法。例如深部的地应力可通过实测获得。样本数据的一种方法。例如深部的地应力可通过实测获得。当所需的样本容量较大时，将花费大量的人力和财力，有时当所需的样本容量较大时，将花费大量的人力和财力，有时需要作破坏性的试验。需要作破坏性的试验。(2)标准试件的试验标准试件的试验 这是在实验室进行的一种专门试验。例如对某种岩石的这是在实验室进行的一种专门试验。例如对某种岩石的标准试件做单轴

26、抗压试验，以确定岩石单轴抗压强度的概率标准试件做单轴抗压试验，以确定岩石单轴抗压强度的概率分布。分布。(3)模拟实验模拟实验 这是基于相似原理的一种试验方法。用这种实验方法所这是基于相似原理的一种试验方法。用这种实验方法所获得的数据真实性较差。由于对一些复杂产品及大型工程系获得的数据真实性较差。由于对一些复杂产品及大型工程系统难以进行现场测试，就可以采用这种方法，它具有良好的统难以进行现场测试，就可以采用这种方法，它具有良好的经济性。模拟实验可分为物理模拟和数学模拟经济性。模拟实验可分为物理模拟和数学模拟(数值模拟或计数值模拟或计算机模拟算机模拟)两种。两种。2.1 工程随机数据的采集工程随机

27、数据的采集 2、工程估计方法、工程估计方法 (1)当测试结果近似正态分布，且均值为当测试结果近似正态分布，且均值为x时，根据时，根据经验选取随机变量的变异系数经验选取随机变量的变异系数x，用，用“3”原则，可估算原则，可估算出该随机变量的标准差出该随机变量的标准差x、最小值、最小值xmin和最大值和最大值xmaxminmax;3;3xxxxxxxxx (2)如果已给出数据的偏差，如果已给出数据的偏差，xx，可用，可用“3”原则，原则，可估算出该随机变量的均值可估算出该随机变量的均值x和标准差和标准差x;/3xxxx (3)如果已知数据的变动范围如果已知数据的变动范围xmin，xmax，可估算出

28、，可估算出该随机变量的均值该随机变量的均值x和标准差和标准差xmaxminmaxmin()/2;()/6xxxxxx2.1 工程机数据的采集工程机数据的采集 2、工程估计方法、工程估计方法 (4)如果已知数据最小值为如果已知数据最小值为xmin，变异系数为，变异系数为x，数据，数据小于小于xmin的概率为的概率为p，可估算出该随机变量的均值，可估算出该随机变量的均值xmin11()xxxzzp 1 随机变量的类型随机变量的类型 在实际问题中，常用的随机变量有在实际问题中，常用的随机变量有离散型随机变量离散型随机变量和和连连续型随机变量续型随机变量两种类型：两种类型：(1)如果随机变量所可能取的

29、值能够一一列出来，即它的如果随机变量所可能取的值能够一一列出来，即它的取值是有限个或无限个但可列出来，则称取值是有限个或无限个但可列出来，则称X为离散型随机变为离散型随机变量。如掷骰子，出现的点数量。如掷骰子，出现的点数X是能够一一列出来的是能够一一列出来的(X=1，X=2，X=6)，X是一个离散型随机变量。是一个离散型随机变量。(2)如果随机变量如果随机变量X的所有可能取值充满某个区间的所有可能取值充满某个区间(a,b）。）。a可以是可以是-，b可以是可以是+，则称，则称X为连续型随机变量。如一为连续型随机变量。如一批零件的测量直径，规定其偏差不超过批零件的测量直径，规定其偏差不超过1mm，

30、则偏差是一个，则偏差是一个连续型随机变量。连续型随机变量。2.2 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 2 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布 (1)分布律分布律 对于离散型随机变量对于离散型随机变量X，其概率分布就是指它的概率，其概率分布就是指它的概率分布律，简称分布律。离散型随机变量分布律，简称分布律。离散型随机变量X的一个可能取值，的一个可能取值，它取该值的概率为它取该值的概率为pi，则，则X的分布律可用下式表示：的分布律可用下式表示：()iiP Xxp离散型随机变量离散型随机变量X的分布律满足以下两条性质：的分布律满足以下两条性质：(1)X的每个取值的概率的每个取值的

31、概率A非负；非负；(2)X的所有可能取值对应的概率之和为的所有可能取值对应的概率之和为1，即，即pi=1。判断离判断离散型随散型随机变量机变量的条件的条件2.2 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 (2)累积分布函数或分布函数累积分布函数或分布函数累积分布函数定义：累积分布函数定义：X取值不大于取值不大于x的概率为累积分布函数的概率为累积分布函数或分布函数，离散型随机变量或分布函数，离散型随机变量X的分布函数可表示为：的分布函数可表示为：()()()iixxF xP XxP xx离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数F(x)具有以下三条性质：具有以下三条性质：(1)F(x)是不

32、连续的，是一个非减的跳跃函数；是不连续的，是一个非减的跳跃函数；(2)F(-)=0，F(+)=1;(3)0F(x)1。例如：例如：2.2 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 3 连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布 (1)分布密度函数分布密度函数 连续型随机变量的取值充满某个区间连续型随机变量的取值充满某个区间(a，b)，可以证明：连续型随机变量取任一确定值，可以证明：连续型随机变量取任一确定值的概率为的概率为0，即，即P(X=c)=0，c(a,b)。因此连续。因此连续型随机变量的概率分布就不能用分布律来描述。型随机变量的概率分布就不能用分布律来描述。实际上，我们只有知道实际

33、上，我们只有知道X在任一区间上取值的在任一区间上取值的概率，才能掌握其概率分布规律，所以必须引概率，才能掌握其概率分布规律，所以必须引入分布密度函数的概念。入分布密度函数的概念。2.2 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 连续型分布密度函数的性质连续型分布密度函数的性质(1)()0(2)()1f xf x dxf xx，即概率密度曲线()与 轴所形成的面积为1 分布密度函数分布密度函数f(x)在任一点在任一点xo处的函数值处的函数值f(xo)不是概率而是分布不是概率而是分布密度。密度。随机变量随机变量X落在一个区间落在一个区间a,b上的概率等于分布密度函数上的概率等于分布密度函数f(x)

34、在在该区间上的定积分，即该区间上的定积分，即()()baP aXbf x dx2.2 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 (2)连续型随机变量分布函数连续型随机变量分布函数()()()xF xP Xxf t dt 由右图不难得出：由右图不难得出：()()()()baP aXbf t dtF bF a2.2 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 分布函数分布函数F(x)具有以下性质：具有以下性质：F(x)是一个单调不减的函数；是一个单调不减的函数；0F(x)1;1.F(x)是右连续函数是右连续函数例例某种晶体管的寿命（h)是随机变量X，其密度 otherxxkxf01002求 1、常数

35、 k.2、该晶体管不能工作150 h 的概率。3、一台仪器中装有4只此种晶体管，至少有1只失效的概率。工作150h后，解解 1、100kxdxk100211001xk100k150.2XPxdx150100210031)15011001(1003、设Ai“第 i只晶体管150h 失效”.4,3,2,1i由于由于150XPAPi314321AAAA相互独立，则所求的概率为1234()P AAAA)()()()(14321APAPAPAP42651()381 12341()P AAAA 2.3 离散型随机变量常用的分布离散型随机变量常用的分布 (1)0-1分布或两点分布分布或两点分布即：即：P(X

36、=1)=p，P(X=0)=1-p 0p1(2)二项分布二项分布 二项分布所解决的问题：二项分布所解决的问题：二项分布适用于一次试验中只能出现两种结果的场合，二项分布适用于一次试验中只能出现两种结果的场合，如成功与失败，或命中与未命中，次品与合格品等，这两种如成功与失败，或命中与未命中，次品与合格品等，这两种结果的事件分别用结果的事件分别用A与与 表示，设它们发生的概率分别为表示，设它们发生的概率分别为P(A)=p，P()=1-p，现在独立地重复做，现在独立地重复做n次试验，那么在次试验，那么在n次试验中事件次试验中事件A恰好发生恰好发生k次的概率是多少次的概率是多少?AA2.3 离散型随机变量

37、常用的分布离散型随机变量常用的分布 knkknqpCkxP)(注：注：p+q=1)例如例如 如果用如果用X表示在表示在n次重复试验中事件次重复试验中事件A发生发生的次数，显然，的次数，显然，X是一个随机变量，是一个随机变量，X的可能取的可能取值为值为0,1,2,n，则随机变量，则随机变量X的分布律为：的分布律为：()()1()1kkn knnP kC p qpP AqP Ap 随机变量随机变量X的取值不大于的取值不大于k次的累积分布函数为：次的累积分布函数为：0()()krrn rnrF kP XkC p q 二项分布是一种离散型分布，广泛应用于可靠性二项分布是一种离散型分布，广泛应用于可靠性

38、和质量控制领域。和质量控制领域。如检验一批产品是否合格常用二如检验一批产品是否合格常用二项分布来计算。项分布来计算。(3)泊松分布泊松分布()(0,1,2,3,0)!npekknk在二项式分布中，如果lim常数，则二项式分布变为：P(X=k)=，(0,1,)!200.5kkn knpp qeknknpnpkn当 很大，很小时，有：C其中：，实践表明，当，时，近似程度比较好随机变量随机变量X的取值不大于的取值不大于k次的累积分布函数为：次的累积分布函数为：0()()!rkrF kP Xker例题例题05次的累积分布函数次的累积分布函数(1)均匀分布均匀分布AA2.4 连续型随机变量常用的分布连续

39、型随机变量常用的分布 0()()tF tf x dx(1)均匀分布均匀分布2.4 连续型随机变量常用的分布连续型随机变量常用的分布 标准差标准差/均值均值(2)正态分布正态分布 实际上就是随机变量均值，实际上就是随机变量均值，为标准差。如果对一个随机变量为标准差。如果对一个随机变量进行试验，得出了该随机变量的均进行试验，得出了该随机变量的均值值和标准差和标准差，用上式即可得出，用上式即可得出随机变量的分布密度函数。由式：随机变量的分布密度函数。由式：可得出该随机变量的分布函数。可得出该随机变量的分布函数。()()tF tf x dx 2.4 连续型随机变量常用的分布连续型随机变量常用的分布 (

40、2)正态分布正态分布2.4 连续型随机变量常用的分布连续型随机变量常用的分布 正态分布的数学期望是：正态分布的数学期望是：E(X)=，方差为：方差为：D(X)=2 221()()2xtttt dtedx分布密度函数：分布密度函数：分布函数：分布函数：(2)正态分布正态分布2.4 连续型随机变量常用的分布连续型随机变量常用的分布 由正态分布变成标准正态分布由正态分布变成标准正态分布 在正态分布公式中令在正态分布公式中令z=(t-)/，可将随机变，可将随机变量量X标准化，标准化后的随机变量标准化，标准化后的随机变量z服从标准正服从标准正态分布。则：态分布。则：t=+z()()tz 分布函数：(2)

41、正态分布正态分布2.4 连续型随机变量常用的分布连续型随机变量常用的分布 由于标准正态分布曲线是唯由于标准正态分布曲线是唯一的，通常将一般正态分布进行一的，通常将一般正态分布进行标准化后，查标准正态分布表，标准化后，查标准正态分布表，即可得出正态分布的概率。即可得出正态分布的概率。例题例题由标准正态表由标准正态表反查得反查得Z=(x-)/x=+z(2)正态分布的特征正态分布的特征2.4 连续型随机变量常用的分布连续型随机变量常用的分布 (2)正态分布的特征正态分布的特征2.4 连续型随机变量常用的分布连续型随机变量常用的分布 (2)正态分布的特征正态分布的特征2.4 连续型随机变量常用的分布连

42、续型随机变量常用的分布 (2)正态分布的特征正态分布的特征2.4 连续型随机变量常用的分布连续型随机变量常用的分布 (2)正态分布的特征正态分布的特征2.4 连续型随机变量常用的分布连续型随机变量常用的分布 标准正态分布的近似计算标准正态分布的近似计算(a)由由x计算计算(x)(2)正态分布的特征正态分布的特征2.4 连续型随机变量常用的分布连续型随机变量常用的分布 标准正态分布的近似计算标准正态分布的近似计算(a)由由(x)计算计算x，即：，即：(x)的值求的值求x例题例题 一结构体支承在一结构体支承在A、B、C三个点上，虽然能精确三个点上，虽然能精确计算由结构体传至三个支点上的荷载，但在计

43、算由结构体传至三个支点上的荷载，但在A、B和和C点的土壤情况却不清楚。假设点的土壤情况却不清楚。假设A、B和和C三点的沉降量三点的沉降量A、B、C 为独立的正态变量，经测得其均值分别为为独立的正态变量，经测得其均值分别为2、和和3cm，其变异系数分别为，其变异系数分别为20%、20%和和25%。求该结构体最大沉降超过求该结构体最大沉降超过4cm的概率是多少的概率是多少?(max4)1(max4)1(4)(4)(4)1(4)(4)(4)4242.5431()()()2*20%2.5*20%3*25%0.0925ABCABCPcmPcmPcmcmcmPcm Pcm Pcm 解：xxx 注意：注意：

44、、是随机变量的是随机变量的对数的均值和标准差。对数的均值和标准差。注意：注意：、是对数的是对数的均值和标准差。均值和标准差。该分布的意义是通过该分布的意义是通过对数变换，可以使较对数变换，可以使较大的数缩小为较小的大的数缩小为较小的数，常用于把几个数数，常用于把几个数量级的数据用对数分量级的数据用对数分布去拟合分析。布去拟合分析。注意其与正态注意其与正态分布的区别分布的区别(3)对数正态分布对数正态分布2.4 连续型随机变量常用的分布连续型随机变量常用的分布 (3)对数正态分布对数正态分布2.4 连续型随机变量常用的分布连续型随机变量常用的分布 F(x)(3)对数正态分布对数正态分布2.4 连

45、续型随机变量常用的分布连续型随机变量常用的分布 例题例题 设一个蓄水池处，年总降雨量服从均值为，标准差为的设一个蓄水池处，年总降雨量服从均值为，标准差为的对数正态分布，统计单位为对数正态分布，统计单位为mm。求：。求：(1)在今后年代里，在今后年代里，年降雨量在年降雨量在1000mm至至1750mm的概率是多少？的概率是多少？(2)年降雨年降雨量至少为量至少为750mm的概率是多少？的概率是多少？ln17507.28ln10007.28(1)(10001750)()()0.250.25(0.75)(1.48)(0.75)1(1.48)0.7039(2)(750)1(750)ln7507.28(

46、)1(2.64)0.251 1(2.64)0.9958PxP xP x 解：(4)指数分布指数分布2.4 连续型随机变量常用的分布连续型随机变量常用的分布 0()()tF tf x dx例例题题2.5 极值型分布极值型分布 在结构可靠度分析中，极值随机变量的概在结构可靠度分析中，极值随机变量的概率分布及其统计参数特别有用，比如对结构抗率分布及其统计参数特别有用，比如对结构抗力要研究其极小值的概率分布，对于结构荷载力要研究其极小值的概率分布，对于结构荷载则要研究其在设计基准内最大值的概率分布，则要研究其在设计基准内最大值的概率分布，如结构材料的最小强度值，桥可能承载的最大如结构材料的最小强度值，

47、桥可能承载的最大载荷。载荷。(1)极值型随机变量的确切分布极值型随机变量的确切分布2.5 极值型分布极值型分布 ()()()dF tf tF tdt相互独立(1)极值型随机变量的确切分布极值型随机变量的确切分布2.5 极值型分布极值型分布 ()()()dF tf tF tdt相互独立(1)极值型随机变量的渐进分布极值型随机变量的渐进分布2.5 极值型分布极值型分布 a、指数型原始分布、指数型原始分布极值极值I型分布型分布 指数型分布的概率密度函数的导数满足条件指数型分布的概率密度函数的导数满足条件()()limlim1()()xxf xfxF xf x02()()1()()limlimliml

48、im1()()xxxxxxxxxxxf xeF xf t dtef xefxeF xef xe 证明：，则()指数分布、正态分布、对数正态分布等都是指数型分布指数分布、正态分布、对数正态分布等都是指数型分布(1)极值型随机变量的渐进分布极值型随机变量的渐进分布2.5 极值型分布极值型分布 a、指数型原始分布、指数型原始分布极值极值I型分布型分布 极值极值I型分布的分布函数为：型分布的分布函数为：(1)极值型随机变量的渐进分布极值型随机变量的渐进分布2.5 极值型分布极值型分布 b、哥西型原始分布、哥西型原始分布极值极值II型分布型分布 (1)极值型随机变量的渐进分布极值型随机变量的渐进分布2.

49、5 极值型分布极值型分布 c、有界型原始分布、有界型原始分布极值极值III型分布型分布 (1)极值型随机变量的渐进分布极值型随机变量的渐进分布2.5 极值型分布极值型分布 极值极值I型、极值型、极值II型和极值型和极值III型分布的相互转换型分布的相互转换 设办公楼楼面活载荷的统计参数分别为设办公楼楼面活载荷的统计参数分别为=38620KPa，=17810KPa。经检验，此活荷载服。经检验，此活荷载服从极值从极值I型分布，求其分布函数。型分布，求其分布函数。例题例题 0.57720.00007230603.336()exp exp 0.000072(30603.33)F xx解：练习题练习题

50、对某地抽样的结果表明，考生的外语成绩（按百对某地抽样的结果表明，考生的外语成绩（按百分制计）近似服从正态分布，平均分制计）近似服从正态分布，平均72分，且分，且96分以上的考生数占分以上的考生数占2.3%，求考生的外语成，求考生的外语成绩在绩在60分至分至84分之间的概率。分之间的概率。随机变量的分布函数完整地描述了随机变量随机变量的分布函数完整地描述了随机变量的统计规律，然而在一些实际问题中要确定一个的统计规律，然而在一些实际问题中要确定一个随机变量的分布函数却是非常困难的，而且有一随机变量的分布函数却是非常困难的，而且有一些实际问题，并不要求全面考察随机变量的统计些实际问题，并不要求全面考

51、察随机变量的统计规律，而只需知道它的某些特征，因而并不需要规律，而只需知道它的某些特征，因而并不需要求出它的分布函数求出它的分布函数 随机变量往往可以用一个或几个数字来描述随机变量往往可以用一个或几个数字来描述其分布的性态，这种数字称为随机变量的数字特其分布的性态，这种数字称为随机变量的数字特征征(或统计参数或统计参数)。数字特征虽不能完整地描述它的。数字特征虽不能完整地描述它的统计规律，但已反映出随机变量在某些方面的重统计规律，但已反映出随机变量在某些方面的重要特征，它们在理论和实践上都具有重要的意要特征，它们在理论和实践上都具有重要的意义常用的数字特征有义常用的数字特征有期望，方差、标准差

52、、变期望，方差、标准差、变异系数、偏度系数，峰度系数和矩异系数、偏度系数，峰度系数和矩。2.6 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 1、期望、期望(均值均值)2.6 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 2、方差、方差2.6 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 一些常见分布的数学期望与方差一些常见分布的数学期望与方差（2 2）若若则则),(pnBX)(,)(pnpDXnpXE 1则则),(X DXXE,)(（3 3）若若则则),(baUX1222)(,)(abDXbaXE ),(2 NX（5 5）若）若则则2,DXEX（4 4）若若 则则)1(eX2,DXEX（1 1）若）若3、标准差、标

53、准差2.6 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 4、变异系数、变异系数方差、标准差和变异系数均反方差、标准差和变异系数均反应随机变量的离散程度。应随机变量的离散程度。5、矩、矩2.6 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 0()()tF tf x dx6、偏度系数和峰度系数、偏度系数和峰度系数2.6 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 7、协方差和相关系数、协方差和相关系数2.6 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 若X与Y相互独立，则有EX-E(X)Y-E(Y)=07、协方差和相关系数、协方差和相关系数2.6 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 当当(X,Y)是离散型随机变量，分布律

54、是离散型随机变量，分布律P(X=xi,Y=yj)=Pij，协方差为：，协方差为：8、多维随机变量的数字特征、多维随机变量的数字特征2.6 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 8、多维随机变量的数字特征、多维随机变量的数字特征2.6 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 8、多维随机变量的数字特征、多维随机变量的数字特征2.6 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 设随机变量设随机变量X1、X2、X3相互独立，其中相互独立，其中X1在在0,6上上服从均匀分布，服从均匀分布，X2服从的指数分布，服从的指数分布，X3服从服从=3的的泊松分布，记泊松分布，记Y=X1-2X2+3X3，求，求D(Y)。

55、例题例题 1212223123123123(60)()31211()40.5()3X X X()(23)()4()9()3449346XD XD XD XD YD XXXD XD XD X解：因在0,6服从均匀分布，其方差为 同理：由于相互独立，随机变量Y的方差为：2()()()()()()()()35E X YE XEYDX YDXDYDkX ck DxP 页设随机变量设随机变量X服从均值为服从均值为1，方差为，方差为4的正态分布，的正态分布，且且Y=1-3X，求，求E(Y)和和D(Y)。习题习题1 经室内试验，测定某工程岩石抗拉强度分别为：经室内试验，测定某工程岩石抗拉强度分别为：求该批岩

56、石抗拉强度的均值，方差，标准差，变异求该批岩石抗拉强度的均值，方差，标准差，变异系数，系数，2阶原点矩，偏度系数和峰度系数。阶原点矩，偏度系数和峰度系数。习题习题2 研究某个随机事件，所有能观测的结果的全体研究某个随机事件，所有能观测的结果的全体称为总体或母体。称为总体或母体。由观察得到总体指标由观察得到总体指标X的一组数的一组数值值(x1，x2，xn)，其中，其中xi为第为第i次观察结果，并称次观察结果，并称(x1，x2，.，xn)为总体为总体X的一组容量为的一组容量为n的的样本样本观察观察值。值。随机数据处理的基本问题是，通过已获得的样随机数据处理的基本问题是，通过已获得的样本观察值来了解

57、和判断总体本观察值来了解和判断总体(随机事件随机事件)的统计特征，的统计特征，其中最主要的是确定它的概率分布其中最主要的是确定它的概率分布(概率密度函数或概率密度函数或概率分布函数概率分布函数)和数字特征值。对两个或两个以上的和数字特征值。对两个或两个以上的相关随机事件，还要确定它们之间的相关性。相关随机事件，还要确定它们之间的相关性。2.7 工程随机数据的处理方法工程随机数据的处理方法 2.7.1 以数值形式定义分布的方法以数值形式定义分布的方法 以数值形式定义已知样本数据的概率分布的方法有：直以数值形式定义已知样本数据的概率分布的方法有：直方图法和经验分布法。用数值形式定义的分布属于一种无

58、参方图法和经验分布法。用数值形式定义的分布属于一种无参数的概率密度函数。数的概率密度函数。(1)、直方图密度估计、直方图密度估计 概率密度估计方法的直方图法可描述如下：概率密度估计方法的直方图法可描述如下：将整个实轴分成将整个实轴分成m个小区间个小区间ai，ai+1)，i=1,2,.,m。设在。设在区间区间ai，ai+1)内有内有ni个样本，即个样本，即(x1，x2，xn)中有中有ni个落个落在区间在区间ai，ai+1)内。根据频率逼近概率的思想，可用内。根据频率逼近概率的思想，可用ni/n去去估计总体分布在区间估计总体分布在区间ai，ai+1)上的概率，而在区间上的概率，而在区间ai，ai+

59、1)上的概率密度估计上的概率密度估计2.7 工程随机数据的处理方法工程随机数据的处理方法 11(),)iiiiiiiinfxxa aaan 1、以数值形式定义分布的方法、以数值形式定义分布的方法 (1)、直方图密度估计、直方图密度估计 2.7 工程随机数据的处理方法工程随机数据的处理方法 移避免落在边界上移避免落在边界上例题：如何根据试验得出系统分布密度函数例题：如何根据试验得出系统分布密度函数例题：如何根据试验得出系统分布密度函数例题：如何根据试验得出系统分布密度函数(续续)(2)、经验分布法、经验分布法 在某些情况下，如果我们不能求得足以拟合实测数在某些情况下，如果我们不能求得足以拟合实测

60、数据的理论分布，但可以用所获得的原始实测数据直接确据的理论分布，但可以用所获得的原始实测数据直接确定其概率分布函数定其概率分布函数(累积分布函数累积分布函数)。这种函数称为。这种函数称为经验经验分布函数分布函数。将已知的样本数据由小到大的次序排列，即将已知的样本数据由小到大的次序排列，即 计算随机变量的计算随机变量的阶梯形阶梯形分布函数分布函数Fn(x)，2.7 工程随机数据的处理方法工程随机数据的处理方法 12nxxx 离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数F(x)是不连续的，是一个非减的跳跃函数。是不连续的，是一个非减的跳跃函数。(1)、经验分布法、经验分布法 2.7 工程随机数

61、据的处理方法工程随机数据的处理方法 离散型随机变量的分离散型随机变量的分布函数布函数F(x)具有以下具有以下三条性质：三条性质：(1)F(x)是不连续的，是不连续的，是一个非减的跳跃函是一个非减的跳跃函数；数；(2)F(-)=0，F(+)=1;(3)0F(x)1。首先划分区间首先划分区间例题：如何根据试验得出系统分布函数例题：如何根据试验得出系统分布函数累积频率、以理论解析模型拟合概率分布的方法、以理论解析模型拟合概率分布的方法 以理论解析模型拟合概率分布的方法，就是统计推以理论解析模型拟合概率分布的方法，就是统计推断法。断法。(1)分布类型的初选分布类型的初选 分布类型的初选有经验法和统计法

62、两种。分布类型的初选有经验法和统计法两种。经验法的经验法的主要依据主要依据是有关该随机变量的物理知识，或者以往对同是有关该随机变量的物理知识，或者以往对同类随机事件已使用证明正确的理论分布来推断。例如岩类随机事件已使用证明正确的理论分布来推断。例如岩石的摩擦角、粘结力、节理组倾角、不连续面的起伏角石的摩擦角、粘结力、节理组倾角、不连续面的起伏角等多服从正态分布，不连续面间距、长度等多服从指数等多服从正态分布，不连续面间距、长度等多服从指数分布，等间隔时间内最大地震震级、最高洪水位等可能分布，等间隔时间内最大地震震级、最高洪水位等可能服从极值分布。服从极值分布。统计法统计法是根据以往大量的同类性

63、质的试验是根据以往大量的同类性质的试验(或观测或观测)业已证明完全适用的理论分布。业已证明完全适用的理论分布。2.7 工程随机数据的处理方法工程随机数据的处理方法 (2)分布参数点估计分布参数点估计 参数估计，就是要从样本出发去构造一个统计量作为总参数估计，就是要从样本出发去构造一个统计量作为总体中某未知参数的一个估计量，若总体体中某未知参数的一个估计量，若总体X的分布函数的形式的分布函数的形式为已知，但它的一个或多个参数未知，则为已知，但它的一个或多个参数未知，则由总体由总体X的一个样的一个样本去估计总体未知参数值的问题就是参数的点估计问题本去估计总体未知参数值的问题就是参数的点估计问题。分

64、布参数的点估计方法主要有分布参数的点估计方法主要有矩法矩法和和极大似然法极大似然法。点估。点估计值应具有无偏性、一致性、有效性和充分性。计值应具有无偏性、一致性、有效性和充分性。(a)矩法矩法 矩法是矩法是基于替换基于替换的一种方法，即的一种方法，即用样本矩去近似总体矩用样本矩去近似总体矩。矩是由随机变量的分布唯一确定，而样本来源于总体，样本矩是由随机变量的分布唯一确定，而样本来源于总体，样本矩在一定程度上反映总体矩的特征，矩在一定程度上反映总体矩的特征，用样本矩来估计总体矩用样本矩来估计总体矩的估计方法称为矩估计法的估计方法称为矩估计法。2.7 工程随机数据的处理方法工程随机数据的处理方法

65、2.7.2 以理论解析模型拟合概率分布的方法以理论解析模型拟合概率分布的方法 (2)、分布参数点估计、分布参数点估计 (一一)矩法矩法 2.7 工程随机数据的处理方法工程随机数据的处理方法 r=1,2,k12()(,)rrkE xm、以理论解析模型拟合概率分布的方法、以理论解析模型拟合概率分布的方法 2.7 工程随机数据的处理方法工程随机数据的处理方法 12(,)rkm、以理论解析模型拟合概率分布的方法、以理论解析模型拟合概率分布的方法 方法：总体方法：总体k阶矩阶矩=样本的样本的k阶矩阶矩得到得到k个方程组。个方程组。矩法计算与分析步骤矩法计算与分析步骤：(a)、计算样本的、计算样本的1阶矩

66、，阶矩，2阶矩，阶矩，3阶矩阶矩,，分布函数，分布函数中有多少个中有多少个i未知数，则计算多少阶矩。未知数，则计算多少阶矩。(b)、计算总体的、计算总体的1阶矩，阶矩，2阶矩，阶矩，3阶矩阶矩,，分布函数，分布函数中有多少个中有多少个i未知数，则计算多少阶矩。未知数，则计算多少阶矩。(c)、令总体的、令总体的1阶矩，阶矩，2阶矩，阶矩，3阶矩阶矩,，分别等于样，分别等于样本的本的1阶矩，阶矩，2阶矩，阶矩，3阶矩阶矩,，即得相应有多少未知即得相应有多少未知数的方程。数的方程。(d)、解方程组，即得、解方程组，即得i未知数。未知数。2.7 工程随机数据的处理方法工程随机数据的处理方法 、以理论解析模型拟合概率分布的方法、以理论解析模型拟合概率分布的方法 例题：矩法例题：矩法解：令总体的一阶矩和二阶矩分别等于样本的一阶矩和二阶解：令总体的一阶矩和二阶矩分别等于样本的一阶矩和二阶矩，样本的一阶矩和二阶矩为：矩，样本的一阶矩和二阶矩为：2121111nnjjjjmXmXnn总体的一阶矩总体的一阶矩m1即为总体的数学期望即为总体的数学期望，总体的二阶矩，总体的二阶矩m2为：为：2+2(因：因：2