高等数学第十二周讲义（商学院）

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1、1第五章第五章定积分定积分第一节第一节定积分的概念及性质定积分的概念及性质 2三、定积分的性质三、定积分的性质(设所列定积分都存在设所列定积分都存在)0d)(aaxxf规定：规定：cddcdxxfdxxfdc)()(时，当3定积分的性质定积分的性质 bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(.1xxfkxxfkbabad)(d)(.2 (k 为常数为常数)bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(.34定积分的几何意义定积分的几何意义:abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面积的代数和各部分面积的代数和54.若在若在 a,b 上上0)(1ii

2、nixf则则.0d)(xxfba证证:,0)(xfbaxxfd)(iinixf )(lim10 推论推论1.若在若在 a,b 上上,)()(xgxf则则xxfbad)(xxgbad)(0 6推论推论2.xxfbad)(xxfbad)(证证)(xf)(xf)(xf)(ba xxfxxfxxfbababad)(d)(d)(即即xxfxxfbabad)(d)(5 设设,)(min,)(max,xfmxfMbaba则则)(d)()(abMxxfabmba)(ba 76、积分中值定理积分中值定理,)(baCxf若则至少存在一点则至少存在一点,ba使使)(d)(abfxxfba证证:,)(Mmbaxf别为

3、上的最小值与最大值分在设则则Mxxfabmbad)(1根据闭区间上连续函数介值定理根据闭区间上连续函数介值定理,上至少存在一在,ba,ba点使使xxfabfbad)(1)(因此定理成立因此定理成立.8oxbay)(xfy 说明说明:.都成立或baba 积分中值定理对积分中值定理对9第二节第二节微积分的基本公式微积分的基本公式 第五章第五章 10变动上限定积分变动上限定积分xattfxd)()(一、变动上限积分及其导数一、变动上限积分及其导数11变动上限积分的导数变动上限积分的导数,)(baCxf则变上限积分则变上限积分xattfxd)()(证证:,bahxx则有则有hxhx)()(h1xahx

4、attfttfd)(d)(hxxttfhd)(1)(f)(hxxhxhxh)()(lim0)(lim0fh)(xf)(x定理定理1.若若.,)(上的一个原函数在是baxf,)(baCxf12定理的作用定理的作用 证明了连续函数的原函数是存在的证明了连续函数的原函数是存在的（第四章原函数存在定理）（第四章原函数存在定理）.132)其他变限积分求导其他变限积分求导:bxttfxd)(dd)(xf)(d)(ddxattfx)()(xxf)()(d)(ddxxttfx)()()()(xxfxxf)()(d)(d)(ddxaaxttfttfx14例例.求求0limxtextd1cos22x解解:原式原式

5、00e21)sin(2cosxex0limxx20limx1cos)d(2text 2)(x15例：设函数例：设函数f(x)是连续的周期函数，是连续的周期函数，T为为其周期，证明其周期，证明TTaadxxfdxxf0)()(TnTaadxxfndxxf0)()(证明：证明：Taadxxfa)()(0)()()(afTafaTaadxxfa)()(与与a无关。无关。)0()(aTTaadxxfdxxf0)()(TnTaadxxfndxxf0)()(显然显然16二、牛顿二、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式上的一个原在是连续函数设,)()(baxfxF)()(d)(aFbFxxfba(牛牛-莱公式莱公

6、式)证证:根据定理根据定理 1,)(d)(的一个原函数是xfttfxa故故0d)()(CttfxFxa,ax 令,)(0aFC 得得因此因此)()(d)(aFxFxxfxa,bx 再令得得)()(d)(aFbFxxfba记作记作)(xFab)(xFab定理定理2.函数函数,则则17例例.计算计算.1d312 xx解解:xxxarctan1d31213)1arctan(3arctan3127)4(18第三节第三节定积分的换元法和定积分的换元法和 分部积分法分部积分法 第五章第五章 19一、定积分的换元积分法一、定积分的换元积分法,定理定理1.设函数设函数,)(baCxf函数函数)(tx2）;)(

7、,)(batfxxfbadd)()(t)(t满足条件：满足条件：1）上有连续导数，上有连续导数，)(tx在在或或,且当且当t在在或或,上上的值域为的值域为,baR 20证明：证明：都存在。都存在。与与tttfxxfbad)()(d)(连续，因此，连续，因此，与与)()()(ttfxf 设设(x)是是f(x)的一个原函数的一个原函数,则则)()()(aFbFdxxfba 则则设设),()(tFt )()()()(ttftFt 的的原原函函数数，因因此此是是所所以以，)()()(ttft )()()()()()(d)()(aFbFFFtttftfxxfbadd)()(t)(t21说明说明:1)换元

8、必换限换元必换限 2)换元公式也可反过来使用换元公式也可反过来使用,即即)(tx令xxfbad)(tfd)(t)(t注意：定积分仅与被积函数及积分区间有关注意：定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分而与积分变量用什么字母表示无关变量用什么字母表示无关,即即baxxfd)(battfd)(bauufd)(2220dcosttn20dcosxxn例例.证明证明20dsinxxInn证证:令令20dcosxxn,2xt则20dsinxxn022d)(sinttn计算计算:xexxd21)ln1(123例例.计算计算).0(d022axxaa解解:令令2/0,sinttax则则,dcosdttax

9、;0,0tx时当.,2tax时 原式原式=2attad)2cos1(2202)2sin21(22tta0242a20ttdcos222xayxoyaS且且24例例.计算计算.d12240 xxx解解:令令,12 xt则则,dd,212ttxtx,0时当x,4时x.3t 原式原式=ttttd231212ttd)3(21312)331(213tt 13322;1t25例例.,)(aaCxf设证证:(1)若若,)()(xfxfaaaxxfxxf0d)(2d)(则xxfaad)(2)若若,)()(xfxf0d)(aaxxf则xxfad)(0 xxfad)(0ttfad)(0 xxfad)(0,d)(2

10、0 xxfa时)()(xfxf时)()(xfxf,0偶倍奇零偶倍奇零tx令26偶倍奇零在求定积分中的应用偶倍奇零在求定积分中的应用dxxx1111211dxxxx11cos1cos27二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 定理定理2.,)(,)(baCxvxu 设设则则)()(d)()(xvxuxxvxubaabbaxxvxud)()(证证:)()()()()()(xvxuxvxuxvxubaxxvxud)()()()(xvxuabbaxxvxud)()(baxxvxuxvxud)()()()(babaxxvxudxxvxud)()()()(28例例.计算计算.darcsin210 x

11、x解解:原式原式=xx arcsin021210 xxxd1212)1(d)1(212022121xx1221)1(2x0211223129设设,1,0)(连续在xf ,3)1(,1)0(ff且且,5)1(f求求.d)(10 xxfx 解解:xxfxd)(10 xxfxd)(10 10)(xfx xxfd)(10 510)(xf3 30课堂练习：课堂练习：1、利用定积分的几何意义及函数图像的特征，确、利用定积分的几何意义及函数图像的特征，确定下列定积分。定下列定积分。22sin xdx 20|1|dxx2、计算下列定积分：、计算下列定积分：10dxex10912dxx10221dxxx2/02

12、sinxdxx022222dxxxx31二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分第四节第四节正常积分正常积分积分限有限积分限有限被积函数有界被积函数有界推广推广一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分反常积分反常积分(广义积分广义积分)反常积分反常积分 第五五章 32定义定义1.设,),)(aCxf,ab 取若若xxfbabd)(lim存在存在,则称此极限为则称此极限为 f(x)的无穷限的无穷限反常积分反常积分,记作记作xxfxxfbabad)(limd)(这时称反常积分这时称反常积分xxfad)(收敛收敛;如果上述极限不存在如果上述极限不存在,就称反常积分就称反常积分xxfad)(发散发

13、散.类似地类似地,若若,()(bCxf则定义则定义xxfxxfbaabd)(limd)(一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分33曲线曲线21xy 和直线和直线1x及及 x 轴所围成的开口曲轴所围成的开口曲边梯形的面积。边梯形的面积。21xy A112dxxAbbxxA12dlimbbx11limbb11lim1无穷限积分的含义无穷限积分的含义34,),()(Cxf若则定义则定义xxfd)(xxfcaad)(limxxfbcbd)(lim(c 为任意取定的常数为任意取定的常数)只要有一个极限不存在只要有一个极限不存在,就称就称xxfd)(发散发散.无穷限的反常积分也称为无穷限的反常积分也称为

14、第一类反常积分第一类反常积分.35,)()(的原函数是若xfxF引入记号引入记号;)(lim)(xFFx)(lim)(xFFx则有类似牛则有类似牛 莱公式的计算表达式莱公式的计算表达式:xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF36)(xf在点在点 a 的任一邻域内都无界的任一邻域内都无界,二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分如果函数如果函数则称则称a为此函数的一个瑕点。为此函数的一个瑕点。是函数是函数xxf1)(0a的瑕点的瑕点如：如：是函数是函数311)(xxf1a的瑕点的瑕点又如：又如：37定义定义2.设设,()(

15、baCxf点点 a为其瑕点为其瑕点,0取存在,xxfxxfbabad)(limd)(0这时称反常积分这时称反常积分xxfbad)(收敛收敛;如果上述极限不存在如果上述极限不存在,就称反常积分就称反常积分xxfbad)(发散发散.类似地类似地,若若,),)(baCxfB为为其瑕点其瑕点xxfxxfbabad)(limd)(0若极限若极限baxxfd)(lim0数数 f(x)在在 a,b 上的反常积分上的反常积分,记作记作则定义则定义则称此极限为函则称此极限为函 38曲线曲线xy1所围成的所围成的1x与与 x 轴轴,y 轴和直线轴和直线开口曲边梯形的面积开口曲边梯形的面积可记作可记作10dxxA其

16、含义为其含义为 10dlimxxA12lim0 x)1(2lim02xy10A1xy无界函数定积分的含义无界函数定积分的含义39,)(,)(外连续上除点在若bcacbaxf而在点而在点 c 的的无界函数的积分又称作无界函数的积分又称作第二类反常积分第二类反常积分，或瑕积分。或瑕积分。任一邻域内无界任一邻域内无界,xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(xxfcad)(lim110 xxfbcd)(lim220则定义则定义40例例1.计算反常积分计算反常积分.1d2 xx解解:21dxxarctanx)2(2xoy211xy41例例4.计算反常积分计算反常积分.)0(d022axaxa42习题选讲习题选讲求不定积分：求不定积分：dxx2cosdxx4cosdxxsecdxx2secdxx3secdxxsecdxx4tandxx4sec43dxxx223)1(1dxx2)(arcsindxxx342)1()1(1dxxxx2144dxxxsin1cotdxxxcossin13dxxxxxcossincossin45P269总复习题：总复习题：3、4(1)P243:3、4、9（2）P244:13P235:5P270：10（5、6）、）、11