《线性代数电子教案：ch4-4 矩阵可逆性的判别》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数电子教案：ch4-4 矩阵可逆性的判别（11页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、第第四四节节矩阵矩阵可逆性的判别可逆性的判别,ABBAE 使得使得的逆矩阵记作的逆矩阵记作1.A A对于对于 阶矩阵阶矩阵 ，如果有一个，如果有一个 阶矩阵阶矩阵 ，nABnA则称矩阵则称矩阵 是是可逆可逆的，的，BA并把矩阵并把矩阵 称为称为 的的逆矩阵逆矩阵.证明证明0.A1.AAE ，使得，使得11,AAE 两边求行列式，有两边求行列式，有若矩阵若矩阵 可逆，则可逆，则0.A A1A A若矩阵若矩阵 可逆，则可逆，则即有即有伴随矩阵伴随矩阵定义定义 nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111称为矩阵称为矩阵 A 的的伴随矩阵伴随矩阵.()|ijijAanAA设是 阶方阵，行
2、列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵命题命题4.4.1.EAAAAA 证明证明 nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA212221212111212222111211AAaAaAann 11121211111122ijijinjnija Aa Aa AA,AAAAOOEA 矩阵矩阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 ，且且A0A 11,AAA AA 其中其中为矩阵为矩阵的伴随矩阵的伴随矩阵.证明证明 必要性由定理必要性由定理1 1即得即得.充分性：因为矩阵与其伴随矩阵有充分性：因为矩阵与其伴随矩阵有*AAA AA E，故有，故有11AAAAEAA0A 又因为又因
3、为所以，按逆矩阵的定义，即有所以，按逆矩阵的定义，即有11.AAA 当当 时，时，称为称为奇异矩阵奇异矩阵；0A A推论推论4.4.14.4.1ABE 若若1BA BAE 或或，则，则B 1.A 0A 当当 时，时，称为称为非非奇异矩阵奇异矩阵.A于是于是EB 1()A A B 1()AAB 1A E ,1 EBA,0 A故故,1存存在在因因而而 A证明证明1211(),isisAAAAA1分块对角阵每个 是方阵可逆的充要条件是每个 可逆，且逆矩阵为diag(A,A推论)。4.4.2 ,().AnArank An定理设 是 阶方阵 则 可逆当且仅当证明证明:,4.4.3,().nAAErank
4、 An 若 可逆 则由前面定理的证明知,与等价 从而112,(),.,.nllrank AnAEPPAPPPA反之 若则 与等价 存在初等阵使从而 可逆。,130231,3512,343122321 CBA例例3 3 设设.CAXBX 使满足使满足求矩阵求矩阵解解,02343122321 A,013512 B.,11都存在都存在 BA,111253232311 A且且,25131 BCAXB 又由又由1111 CBAAXBBA.11 CBAX于是于是11 CBAX 251313023111125323231E证证明明,022 EAA由由 EEAA2 得得1()2AAEE.,2,:,022并求它们的逆矩阵并求它们的逆矩阵都可逆都可逆证明证明满足方程满足方程设方阵设方阵EAAEAAA 例例4 4 2513202011.41041012 .可可逆逆故故A1 A022 EAA又由又由 0432 EEAEA EEAEA 3412.EA可可逆逆故故2 EAEA34121 且且1(3).4EA .211EAA 12 EA ,13412 EAEA
线性代数电子教案：ch4-4 矩阵可逆性的判别
