高等数学课件：8 定积分计算

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1、第八节第八节定积分的计算定积分的计算定积分的换元法设设,)(baCxf 单值函数单值函数)(tx 满足满足:1),)(1Ct 2)在在,上上,)(bta 且且;)(,)(ba tfxxfbadd)()(t)(t 则则,或或换元公式换元公式定理定理1 注11)换元要换限换元要换限,变量不代回变量不代回.3)换元公式双向使用换元公式双向使用：令令()x t xxfbad)(或配元或配元 f)(t)(dttfxxfbadd)()(t)(t),(2tx）,:bax,:t配元不换限配元不换限tfd)(t)(t tfd)(t)(t 下限对应下限下限对应下限.定积分的分部积分法 定理定理2)(,)(xvxu

2、设设上导数连续，则上导数连续，则)()(d)()(xvxuxxvxuba ab baxxuxvd)()(,ba在在 bababauvuvvudd即即分部积分公式分部积分公式注2则则上连续上连续在在设函数设函数,)(baxf,:)()(偶）偶）（若若fxfxf aaxxfd)(.:)()(奇）奇）（若若fxfxf ，0偶倍奇零偶倍奇零 axxf0,d)(2注3成成立立数数周周期期函函数数，则则对对任任意意实实为为周周期期的的在在实实轴轴上上连连续续，且且是是以以设设aTxf)(TTaaxxfxxf0d)(d)(一、绝对值积分一、绝对值积分例例1 1.,1min222 dxxx求求解解 1,11,

3、1min22xxxxxx是偶函数是偶函数,dxxx,1min2220 原式原式 21102122dxxdxx.2ln232 解解.2sin120 dxx求求 20cossindxxx原式原式 2440)cos(sin)sin(cosdxxxdxxx.222 例例2 1)12(131022dxxx二、定积分换元二、定积分换元dtttttx sec)1tan2(sec6022tan令dtttt cossin2cos6022)(sin sin11602tdt60|)arctan(sint21arctan例例3 3.)(,)(dxxfxexxxfx 201011011计算计算设设例例4duufxu 1

4、11)(:令令原式原式解解duudueu100111111001|)1ln(|)1ln(ueu2ln)1ln(2lne)1ln(exdxee11 ln 2三、三、定积分分部积分dxxxee)1(ln22dxxxxxeeee)1(1|ln11222|1ln11122eexxee1ln11eee例例5 5.)(,)(22110dtexfdxxxfxt其中计算例例621010)(21)(:dxxfdxxxf解dxxfxxfx)(21|)(21102102dxxexx1024221010|414xe)1(411e.,sec41222122011402IInnnIdxxInnnnn 证明降阶递推公式证明

5、降阶递推公式设设例例7)(tan sec:4022xdxInn证dxxxnxxnn tansec)22(|tansec402224022dxxndxxnnnn sec)22(sec)22(24022402111)22()22(2nnnInIn111222122nnInnn4 sec4000dxxI四、四、含参量的变限积分例例8 8).(,)()(,)(0 xFdttxfxFxfx 计算计算连续连续设设duufdttxfxFxxtxux)()()(:20令解)()2(2)(xfxfxF,变量时当被积函数中出现求导;变量提出积分号或利用代数方法将求导.,下限导变量放到积分的上或利用换元积分法将求例

6、9.sin)(lim,0,1lnarctan)(402022xxfxdttxtxxfxx计算极限其中设,:2utx令解duuuuxfx02)1ln(arctan)(duuuux0)1ln(arctan240040)1ln(arctan2limsin)(limxduuuuxxfxxx型00304)1ln(arctan2limxxxxx21.)()1(,)(102022 dxxfxdyexfxyy求求设设解解 103)1()(31xdxf原式原式 10231002322)1(31)1(31dxexdyexxxxyy 1021)1(2)1()1(612xdexxux 2)1(令令 016duueeu

7、).2(61 e例例10 .coscos422355dxxxx 计算计算dxxdxxx cos4 cos:2282235原式解dxx cos8020822143658783235五、五、利用被积函数的奇偶性证明或计算利用被积函数的奇偶性证明或计算例例1111dxexx)1ln(22 计算定积分计算定积分例12)()1ln()1ln(:2222dtetdxexttxx 令令解法一解法一dtettt)1ln(222dtetdttt)1ln(22222dtt 22221原式原式38dxeeexdxexxxxx lnln )1ln(:2222222 解法二解法二dxeexdxxxxx222222 ln

8、 20202dxx38.ln21)1()(,1ln)(21xxfxfdtttxfx 证明证明设设六、六、积分等式的证明积分等式的证明dtttxfx 1ln)1(:11证法一duuuuxtu121111ln令duuuux1)1(lndttttttxfxfx1)1(ln1ln)1()(dtttx1lnx2ln21例例1313xxfxfxg2ln21)1()()(:令证法二xxxxxxxxg1ln1111ln1ln)(2则0,)(为一常数于是xg,0)1(g又.0)(xg故解解.cossinsin20 dxxxx求求,cossinsin20 dxxxxI由由,cossincos20 dxxxxJ设设

9、,220 dxJI则则 20cossincossindxxxxxJI 20cossin)sin(cosxxxxd.0,22 I故得故得.4 I即即例例14.2sin12sin1,)()(,)0(,0)(4000dxxxdxxafdxxfaaxfaa并利用此式计算证明上连续在设例15dxxafa)(:0证0)(axatdttf令dttfa)(0dxxfa)(0dxxx 2sin12sin1 :40解dxxx 22sin122sin140dxxx 2cos12cos140dxxx cos2sin24022dxx)1(sec40240|)(tanxx41例例1616.0ln)1(,0,),0()(1

10、dtttttfxxfxx有试证明上连续在,ln)1()(:1dtttttfxgxx令证法一,0111ln)1(ln)1()(2xxxxxfxxxxfxg则,)(为一常数xg.0)1()(gxgduuuuuufxxut 111ln)1(121令dtttttfxgxx ln)1()(:1证法二)(xgduuuuufxx ln)1(1.0)(xg七、七、积分不等式的证明积分不等式的证明试证明试证明0)sin(2 0 2dxx证明证明:原式原式dtttxt sin2120 2 令令dtttdttt sin21 sin2120 duuudttt00 sin21 sin21dtttdttt sin21 s

11、in2100dtttttt)(sin2100sin t0 tt 0)sin(202dxx)(tu令例例1717.)()()(.0)(,)(2abxfdxdxxfxfbaxfbaba 证明证明上连续，且上连续，且在区间在区间设设证证作辅助函数作辅助函数,)()()()(2axtfdtdttfxFxaxa )(2)(1)()(1)()(axxfdttfdttfxfxFxaxa ,2)()()()(xaxaxadtdtxftfdttfxf例例180)2)()()()()(dtxftftfxfxFxa即即2)()()()(xftftfxf,0)(xf.)(单调增加单调增加xF,0)(aF又又,0)()

12、(aFbF.)()()(2abxfdxdxxfbaba 即即0sin)(2sindttexFxxt证明例19dttexFt20sinsin)(:证dttedttett2sin0sinsinsin),(tu令在第二个积分中duuedtteut)sin(sin0sin0sindtetett)1(sinsin20sin,01,0sin,0sin2tett时当.0)(xF.)()(,1)(0 ,0)0(,)1,0(,1,0)(103210dxxfdxxfxffxf证明且内可导在上连续在设例20,)()()(:0320dttfdttfxFxx令证,0)0(F则)()()(2)(30 xfdttfxfxF

13、x)()(2)(20 xfdttfxfx),()(2)(20 xfdttfxGx令,0)0(G则)()(2)(2)(xfxfxfxG)(1)(2xfxf,1)(00)0(xff及由,0)0()(fxf得,0)(xG有,)(xG,0)0()(GxG,0)(xF,)(xF,0)0()(FxF.0)(,10 xFx有时故当,0)1(F特别有.0)()(103210dxxfdxxf此即.)1(ln1sin212128 dxxxx求求解解dxx 2121)1ln(0原式原式dxxdxx 210021)1ln()1ln(.21ln23ln23 备例备例1.)(,0)0(,)(10)1(2dxxffexfx

14、计算设备例2dxxffxfxfx)()0()()(:0解dxexx0)1(2无法积出dxxf xxxfdxxf101010)(|)()(dxxefx10)1(2)1(仍无法解出)1()()(1010 xdxfdxxfdxxfxxfx)()1(|)()1(1010dxexx10)1(2)1(010)1(|212xe)1(211e)(xf xxfbxaxbfafabxxfbabad)()(21)()(2d)(在连续连续,证明证明证明证明:dxxfbxaxba)()(xdfbxaxba )(babadxbaxxfbxaxxf2)(baxdfbax2 babadxxfbaxxf22 ba,badxxf

15、abbfbaaf2备例备例3xxfbxaxbfafabxxfbabad)()(21)()(2d)(.)2(,32/1)2(,4/1)1(,8/1)1(,)(2022/10dxxfxdxxfffxf 计算且已知连续设备例4)2(2)2(:202202xf dxdxxfx 解dxxf xxfx20202)2(4|)2(2)2(8)1(820 xdfxfdxxfxxf)2(8|)2(822020)22(ux令duuff2104)2(8)1(162124 4161032dxxx证明备例5,10:时当证 x23222414141xxxx积分到从关于 1 0 xdxxxdxxx1032102104141|

16、2arcsin624|2arcsin2124110102xdxx.31)(,1)(,0)1()1(,0)1()1(11 dxxfxfffff证明设备例6dxxf xxxfdxxf111111)(|)()(:证211)(210dxxfdxxfxxfx 112112)(21|)(21dxxfx 112)(210dxxfxdxxf)(21)(11211 dxxfx)(21112 dxx1122131备例7 设函数设函数 0 x1 n 200000)(!2)()()()(xxxfxxxfxfxf 称此式为带积分形式余项的泰勒公式称此式为带积分形式余项的泰勒公式)(xf点的某个邻域内有点的某个邻域内有在

17、在阶阶连续导数连续导数试证明试证明ttxtfnxxnxfxxnnnnd)(!1)(!)(0)1(00)(证明证明:tdftxdttxtf(n)xxnxxnn 00)()()1(dttxntftftxnxx(n)xx(n)n)1()()()()(100 xx)(nn(n)ntftxnxfxx0)(d)()()(1100 xx)(n-n(n)ntftxnxfxx0)()()()(1100 ttxntfnnxx)(nd)1()(1()(210 )()()()(0)1(100)(0 xfxxnxfxxn-nnn ttxtfnnnnxxd)()1(2)1(0 )()(1()()()()(0)2(200)

18、1(100)(0 xfxxnnxfxxnxfxxn-nnnnndttfnnxfxxnnnxx 0)(2)1()()(2)2)(1(00 200000)(!2)()()()(xxxfxxxfxfxfttxtfnxxnxfxxnnnnd)(!1)(!)(0)1(00)()()(1()()()()(0)2(200)1(100)(0 xfxxnnxfxxnxfxxn-nnnnn)(!)(!)()(!000 xfnxfnxfxxn 200000)(!2)()()()(xxxfxxxfxfxfttxtfnxxnxfxxnnnnd)(!1)(!)(0)1(00)(.)()1(,4)1(,3)0(,2)0(,

19、1)0(,1023dxxfxffffCf 求定积分且设例例6)()1(:102xf dx 原式解)()1(2|)()1(10102xf dxxfx dxxfxfx)(2|)()1(21101010|)(241xf3.0)(),()(lim,)()(,)(010处的连续性在点讨论为常数且连续设xxAAxxfdtxtfxxfx例10,0)0(,0)0(,:f得由已知解)0()(1)(,0 xduufxxuxtx有令,)()()(,020 xduufxxfxxx时当0)0()(lim(0)0 xxx200)(limxduufxxxxfx2)(lim02A0 ,20 ,)()()(20 xAxxduufxxfxx2000)()(lim)(limxduufxxfxxxx2000)(lim)(limxduufxxfxxx)0(22AAA.0)(处连续在点 xxdtttdxxx sin21 arctan2010例例15 15 证明证明duuuudxxxxu402arctan10sectanarctan:令证duuuu cossin40dtttut21sin2121202令dttt sin2120