《导数的概念及运算》PPT课件

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1、第一节第一节 导数的概念及运算导数的概念及运算基础梳理基础梳理1212x-x)f(x-)f(x数量化视觉化1.函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率(1)函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率为 ,(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“”.2.函数f(x)在x=x0处的导数（1）定义设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义，若x无限趋近于0时，比值 无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x=x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数，记作 .0 x(a,b),0f(x)f(x-)f(xx0 x0 xy(2)几何意义函数f(x)在点x0处

2、的导数f(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点 .处的 .相应地，切线方程为 .3.函数f(x)的导函数若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的 而 ，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作 .00(,)xf x切线的斜率000y-f(x)=f()()xxx变化变化f(x).原函数导函数f(x)=kx+b(k,b为常数)f(x)=.f(x)=Cf(x)=.f(x)=xf(x)=.f(x)=x2f(x)=.f(x)=x3f(x)=.f(x)=.f(x)=xa(a为常数)f(x)=ax(a0且a1)4.基本初等函数的导数公式 1f(x

3、)xxf(x)=.f(x)=.k012x23xf(x)21-xf(x)12 xa-1axxa ln af(x)=logax(a0且a1).f(x)=f(x)=.f(x)=ln x .f(x)=sin xf(x)=.f(x)=cos xf(x)=.xef(x)1xln axef(x)1 xcos xsinx5.导数运算法则(1)f(x)g(x)=;(2)Cf(x)=(C为常数);(3)f(x)g(x)=;f(x)g(x)Cf(x)f(x)g(x)+f(x)g(x)0g(x)g(x)(x)gf(x)-(x)g(x)fg(x)f(x)(4)2典例分析典例分析题型一题型一 利用导数的定义求导数利用导数

4、的定义求导数【例1】用导数定义求y=x2在x=1处的导数值.分析 利用导数的定义,按求导数的步骤求解.解当x无限趋近于0时，趋近于2,y|x=1=2.学后反思 利用导数的定义求在一点x0的导数的关键是对yx进行灵活变形，若求f(x)在开区间(a,b)内的导数，只需将x0看成是(a,b)内的任意点x,即可求得f(x).2x xx2x x1-x)(1 xf(1)-x)f(1xy222xy举一反三举一反三1.已知 ，利用定义求y,y|x=1.xy 题型二题型二 利用求导公式求导数利用求导公式求导数【例2】求下列函数的导数.1-e1e(2)ysin x;x(1)yxx2xxx1xxxxxxx-xxxy

5、,x-xxyx=100111ylimlim,|2xxx2xxyyxx 解析 分析 直接利用导数公式及四则运算法则进行计算.1)-(e2e-1)-(e1)(ee-1)-(ee1)-(e 1)-1)(e(e-1)-(e)1(ey1-e1ey2xx2xxxxx2xxxxxxx学后反思 准确记忆求导公式及四则运算法则是解答本题的关键.解 (1)y=()sin x+(sin x)=2xsin x+x2cos x.(2)2x2x举一反三举一反三2.求函数 的导数.题型三题型三 导数的物理意义及在物理上的应用导数的物理意义及在物理上的应用【例3】一质点运动的方程为s=8-3t2.(1)求质点在1,1+t这段

6、时间内的平均速度；(2)求质点在t=1的瞬时速度.1111yxx2211112,111112 122111xxyxxxxxxyxxx 解析分析 第（1）问可利用公式 求解；第（2）问可利用第（1）问的结论求解，也可利用求导公式及四则运算法则求解.ts解 (1)质点在1,1+t这段时间内的平均速度为(2)方法一（定义法）：质点在t=1时的瞬时速度v=t3-6 ts(1)-t)s(1ts6-tslim0t方法二（求导法）：质点在t时刻的瞬时速度v=s(t)=-6t,当t=1时，v=-6.学后反思 导数的概念是通过函数的平均变化率、瞬时变化率、物体运动的瞬时速度、曲线的切线等实际背景引入的，所以在了

7、解导数概念的基础上也应了解这些实际背景的意义.对于作变速运动的物体来说，其位移对时间的函数的导数就是其运动的速度对时间的函数，速度对时间的函数的导数就是其运动的加速度对时间的函数，这是导数的物理意义，利用导数的物理意义可以解决一些相关的物理问题 举一反三举一反三3.以初速度 作竖直上抛运动的物体，t秒时的高度为 ,求物体在时刻 时的瞬时速度.201s(t)=v t-gt200v(v 0)0t解析：物体在 时刻的瞬时速度为 .001s()22tvgtvgt0t000s()tvgt题型四题型四 导数的几何意义及在几何上的应用导数的几何意义及在几何上的应用【例4】(14分)已知曲线(1)求曲线在点P

8、（2，4）处的切线方程；(2)求曲线过点P（2，4）的切线方程.34 x31y3分析 (1)点P处的切线以点P为切点,关键是求出切线斜率k=f(2).(2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标.解 （1)y=x2,2在点P（2，4）处的切线的斜率k=y|x=2=4,3曲线在点P（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.4(2)设曲线 与过点P（2，4）的切线相切于点 ,则切线的斜率k=y|x=x0=x20.6 34 x31y3)34 x31,A(x300切线方程为即点P（2，4）在切线上，即x30-3x20+4=0,x30+x20-4x20+4=0,x20(

9、x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,.12故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.14学后反思 （1）解决此类问题一定要分清是“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”.（2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标(x0,y0),得出切线方程y-y0=f(x0)(x-x0),然后把已知点代入切线方程求(x0,y0)，进而求出切线方程.3200014y-(x )x(x-x),33230024yxx-x .8 3323002442xx-x .10 33举一反三举一反三4.求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y

10、+3=0的最短距离.解析：设曲线上过点 的切线平行于直线2x-y+3=0,即斜率是2，则.解得 ,即点P(1,0),点P到直线2x-y+3=0的距离为 ,曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是 .00(,)P xy00 x=xx=x012y|=2x-1|=22x-12x-10 x100所以y222-0+352(1)5题型五题型五 复合函数的导数复合函数的导数【例5】求下列函数的导数.22(1)(1 sin);(2)ln1yxyx分析 先确定中间变量转化为常见函数，再根据复合函数的求导法则求导.也可直接用复合函数求导法则运算.2(1)1 sin2(1 sin)(1 si

11、n)2(1 sin)cos2cossin2yxxxxxxx解2221222221(2)(ln1)111111211yxxxxxxxx学后反思 求复合函数的导数，关键是理解复合过程，选定中间变量，弄清是谁对谁求导，其一般步骤是:(1)分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系（简称分解复合关系）；（2）分层求导，弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数（简称分层求导）.即：分解（复合关系）求导（导数相乘）举一反三举一反三5.求下列函数的导数。1 cos21(1);(2)1xyyxex解析：1322222322221(1)1112111yxxxxxxxx 1 cos1 cos1 cos1 cos

12、1 cos1 cos1 cos1 cos(2)1 cossin1sinxxxxxxxxyxeex eex exexexxx e易错警示易错警示【例例】已知曲线 上的点P（0,0）,求过点P(0,0)的切线方程.错解 在点x=0处不可导，因此过P点的切线不存在.错解分析 本题的解法忽视了曲线在某点处的切线的定义.在点P处的切线是指曲线在点P附近取点Q，当点Q趋近于点P时，割线PQ的极限位置的直线就是过点P的切线，因此过点P的切线存在，为y轴（如下图所示）.323x1xxxy3xy 3xy 正解 如右图，按切线的定义，当x0时割线PQ的极限位置为y轴（此时斜率不存在），因此，过点P的切线方程为x=

13、0.考点演练考点演练10.已知函数 的图象都过点P(2,0),且在点P处有相同的切线.求实数a,b,c的值.32f x2xaxg xbxc与解析：f(x)过点（2,0）,解得a=-8,同理，g(2)=4b+c=0.f(x)=6x2-8,在点P处切线斜率 .又g(x)=2bx,2b2=16,b=4,c=-4b=-16.综上，a=-8,b=4,c=-16.3f 22 2a20 2kf26 2816 11.设函数f(x)满足 ，a,b,c为常数，|a|b|，求f(x)解析:将 中的x换成 ，可得将其代入已知条件中得 ,1af xbfcxx 1af xbfcxx1x 11af xbf,()()cbcx

14、fxf xxxaa2bcbcaf(x)+x-f(x)=aax22222cacf(x)=(-bx),f(x)=()axaabbbx12.(2008宁夏)设函数 (a,bZ),曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y=3.(1)求f(x)的解析式；（2）证明函数y=f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；（3）证明曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形面积为定值，并求出此定值.1()f xaxxb解析:(1)f(x)=.于是 ,解得21a-xb21232102abab 914813aabb 或1,()1a bZf xxx(2)证明:已知函数 都是奇函数

15、，函数 也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形.由 可知f(x)的图象是由g(x)的图象沿x轴正方向向右平移1个单位，再沿y轴正方向向上平移1个单位得到的.故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形.121,yx yx1()g xxx11()1111f xxxxx（3）证明：在曲线上任取一点 ,由 知，过此点的切线方程为.令x=1,得 ,切线与直线x=1的交点为 .令y=x,得 ,切线与直线y=x的交点为 .直线x=1与y=x交点为(1,1).从而所围三角形面积为所以所围三角形的面积为定值2.0001x,1xx02011(1)fxx 20002001111(1)xxyxxxx0011xyx001(1,)1xx021xx00(21,21)xx0000011121 21 12222121xxxxx