第七章 参数估计12211(精品)

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1、2009智轩考研数学创高分红宝书系列-概率论与数理统计第七章 参数估计2008年大纲考试内容点估计的概念 估计量与估计值 矩估计法 最大似然估计法 估计量的评选标准 区间估计 两个正态总体的均值差和方差比的区间估计2008年大纲考试要求1 理解参数的点估计、估计量与估计值的概念2 掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法。3 了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性。4 理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。一、点估计统计推断有两类基本问题：当分布函数形式为已知，如为，但分布

2、函数中的部分参数为未知时，我们根据已知的构造一个统计量（8个枢轴量之一，选择方法参考第六章相关部分）作为的近似值，则称为的参数估计，简称参数估计；当分布函数形式为未知，或只知道分布函数中的形式，所有参数为未知时，我们先假设它的形式或参数值，然后再根据8个枢轴量之一判断其真实，则一过程称为假设检验，详细假设检验思想参阅第八章。简单地说，先有理论值，再用试验样本值来估计，叫参数估计；先有试假设值，再用试验样本值和8个枢轴量之一来检验，看是符合小概率原理，叫假设检验。参数估计中，由来自总体的一个样本观测值去近似代替总体分布中的未知参数值，称为点估计；如要求估计该近似值的精确程度，即估计误差时，称为区

3、间估计。如是总体的待估参数，为总体的一个样本观测值，把作为的估计量，称点估计，分为矩估计与极大似然法两种。1、 矩估计法 简单地说，用样本的各阶矩作为总体分布函数中的未知矩的估计。具体操作过程如下：设总体的分布函数中含有未知参数，也是待估计量。又设为总体的个样本值，其样本的阶原点矩为 这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应样本矩”的原则建立方程，即有由上面的个方程解出个未知数，代替，就是矩估计过程。评 注 矩估计具有传递性，如是的矩估计，则是的矩估计。一般来说，单参数使用一阶原点矩即数学期望来估计；双参数使用二阶原点矩即方差来估计，对正态分布的估计除外，详见【例1】评注。【例1】

4、 ，未知，试估计。解： 是样本已知的则的矩估计量为： ， 。评 注 使用一阶矩估计数学期望，都是无偏的；使用二阶矩估计方差，就不一定无偏，例如，的矩估计量为或，但只有后者是无偏的。2、 最大似然法 它的基本思想是：“当我们用联合分布函数来估计总体参数时，应使得当参数取样本函数值时，所观察到的样本出现的概率最大”，具体操作如下 写出似然函数 （连续型，为联合分布函数；离散型有：，为联合分布律） 为方便计算，取对数 或 求解方程组 解出 取代，也就是说，在处取得极大值。【例2】 估计解： 即的最大似然法的估计量为 。 【例3】设，求的最大似然和矩估计。解：由于，分布密度为 对于这类分布函数不连续的

5、间断函数就不能求导取极值了，我们必须回到定义思想上去。因为，所以随减少而增大，但从看出，故的最大似然估计量为 。3、点估计的3大评价标准3.1无偏性 （没有系统误差） 如 则为的无偏估计量。 例如：都具有无偏性，而是有偏的；无偏性没有传递性，如：。3.2 有效性 在都无偏的条件下，如 则比更有效。3.3 一致性（相合性） 为的一致估计量。 一般来说，一致性是自动满足的，例如：当用估计时，根据辛钦大数定理，或利用切贝雪夫不等式来验证相合性。【例3】 试讨论正态分布常用一阶矩和二阶矩估计的评价标准。解：已知点估计为 ， ； ， 所以和都是的无偏估计量。 又例如 所以 B2不是的无偏估计量； 而 故

6、是的无偏估计量，这也是我们称为方差的理由。所以一般取为的估计量。 对正态总体，和Xi都是的无偏估计量 故比Xi更有效。特别地：当时，总体方差的无偏估计量是 ，而不是 利用辛钦大数定理可以证明： 是总体均值的一致估计量，S2及B2都是总体方差的一致估计量。 由辛钦大数定理得： 【例4】设是取自总体的一个简单随机样本，则的矩估计量是（）解：选。分析如下是总体的二阶原点矩，其对应的矩估计量为样本的二阶原点矩，即。将它与四个选项对比，显然不正确。将的式子化简，得评 注：本题的另一种解法是把看成是总体的二阶中心矩与一阶原点矩的函数，利用 ，而与的矩估计量分别为和，因此，的矩估计量是。虽是的无偏估计量，但

7、不是样本的二阶中心矩。二、区间估计1、置信度与置信区间前面的点估计是对总体进行了极其“精确”的估计，但由于样本的随机性，反而很难接近总体真实值，如果在某个区间估计，将更加合理，所以，人们往往不以得到近似值为满足，还要估计误差。设总体含有一个待估的未知参数，如果我们从样本出发，找出两个统计量，与，使得区间以的概率包含这个待估的未知参数，即 那么，我们称区间为的置信区间，为该区间的置信度（置信水平、置信概率）。2、枢轴量满足以下三个条件的样本函数称为统计量，记为Q。 是待估参数与样本的函数； 不含其它未知参数； 服从与未知参数无关的已知分布。我们前面讲到的8大枢轴量在本章和下一章都会用到，因为这是

8、考点的系统内容。3、单正态总体的期望和方差的区间估计陈氏第12技 区间估计及及假设检验掌握下列8大估计方式，无往而不胜。3.1均值的区间估计 已知，求的区间估计选择枢轴量：，由正态分布图形曲线所围面积可知 置信度为的置信区间为： 评 注 未知，求的区间估计 选择枢轴量 则的置信区间为 评 注 3.2 方差的区间估计 已知，求的区间估计 选择枢轴量 或 。 未知，求的区间估计 取枢轴量 4、两个正态总体均值差的区间估计X和Y独立同。 4.1 区间估计已知，区间估计 ， 故取枢轴量 置信度为的置信区间为 未知但，估计 其中 ，则置信度为的置信区间 4.2 的区间估计 已知，估计方差比的置信区间 选

9、择统计量 未知，估计方差比的置信区间 选择枢轴量 或 ，评 注 ；对一般分布函数还有。注意，考研范围仅限于上述8个正态整体的双侧置信区间，其它不做要求，读者不要作无用功。5、单侧置信区间 定义：或，则为的单侧置信区间。 确定技巧：利用前述的双侧区间的上下限，把改为，就可以了。如均未知，估计（单侧） 均未知，单侧估计 的置信度为的单侧置信区间为 注意，考研范围仅限于4个单正态整体的单侧置信区间。三、题型题法【例5】设是总体的一个简单随机样本，则下列哪个估计量最有效。； ； 。解：讨论估计量的有效性，首先检查他们是否都是无偏的，否则，不能比较。设 【例6】 试证明：统计量 都是总体期望值的无偏估计

10、量，并比较哪一个更有效。解： 可见 ，更有效。【例7】设总体相互独立，从中分别取容量为的简单随机样本，是的无偏估计量，求的最小值。 解： 【例8】设总体，是抽自于该总体的一个简单机样本，要使为的无偏估计量，求的值。解：依题意，【例9】设总体，是抽自于该总体的一个样本，试证明：和是的相合估计量。证：对于均匀分布，一般我们规定 而的分布函数为的分布函数为，的分布函数为根据切比雪夫不等式：对任意，当时有所以，和都是相合估计量。【例10】已知，求的矩估计和极大自然估计值。解：（1）令，所以 （2） 可见二项分布的两种估计结果是相同的，请读者记住这个结论。【例11】 （泊松分布），证明和S2都是参数的无

11、偏估计，并且对任一值 证明：也是的的无偏估计量。解： ， （ ） 故，都是参数的无偏估计。又因为 故也是的无偏估计量。【例12】 设总体是从总体中取出的一个简单随机样本，若已知的估计量 ，试确定使之成为的无偏估计量。解：因为 【例13】设，是参数的二个相互独立的无偏估计量，且，找出使也是的无偏估计量，并且使方差最小。解： 要使 则必有： 又因为： 可知 ， 为所求。【例14】设为取自对数正态总体的一个简单随机样本，即，其中 ，试求及的极大似然法估计量。解： 利用公式可求得X的密度函数为 则似然函数为 【例15】 设为总体的一个简单样本，总体X概率密度函数为 是未知参数试用矩法和极大自然法求的估

12、计量。解： （1） 令 （2） 似然（联合）函数 【例16】， 试证是的无偏、一致、最有效估计。证 明：由于 ，故为无偏估计。又因为 而 则 故为最有效估计量（公式参见相关教材）又由切贝雪夫不等式得 故为一致估计量。【例17】设，求的矩估计和极大自然法估计量。解：矩估计 为的矩估计量。的极大自然法估计 上述方程不可能解得的最大似然估计量。对于这类分布函数不连续的题型，不能通过求导得出结论，需要按照极大自然法的原理来求解因为，所以随的减少而增大，而，即 当取，则达到最大值。故的最大似然估计值为【例18】设总体有概率分布，123已知观察3个样本的数值为，求的最大似然估计值。解：似然函数为的最大似然

13、估计值为 【例19】假设0.5，1.25，0.80，2.00是来自总体的简单随机样本值，已知。求；求的置信度为0.95的置信区间；求的置信度为0.95的置信区间。解：由于的严格递增，有求的置信度为0.95的置信区间为 。【例20】某自动包装机包装洗衣粉，其重量符合正态分布，随机抽查12袋（克），分别为：1001，1004，1003，1000，997，999，1004，1000，996，1002，998，999。求平均每袋重的点估计；求的点估计；求的95%的置信区间；求的95%的置信区间；求时，的95%的置信区间。解： 未知，关于的置信区间使用枢轴量 ，有 未知，关于的置信区间选用枢轴量 ，有

14、已知，关于的置信区间使用枢轴量 ，有 【例21】设两个总体相互独立，从中分别抽取容量为的样本，且已知，求的95%的置信区间。解：已知，但， 关于的置信区间为 【例22】为提高某一化学生产的得率，试图采用一种新的催化剂。已知原催化剂进行次试验，得率的平均值；新催化剂进行次试验，得率的平均值。假设两总体都服从正态分布，且方差相等。求的95%的单侧置信下限；的95%的置信区间。解： 。注意：第七章 参数估计模拟题一 填空题1. 设总体X的密度函数为是来自X的简单随机样本，则未知参数2. 设是来自总体X的一个样本，且E(X)是样本均值和样本方差，则当_时，统计量的无偏估计。二 选择题1. 设是来自总体

15、XN(的矩法估计量为（A） （B）（C） （D） 2. 设下列估计量中不是的无偏估计的为（A） （B） （C） （D） 3. 设（A）无偏估计 （B）一致估计（C）有效估计 （D）有偏估计 4. 设总体X的数学期望为0，是总体X的标准差，是来自总体X的简单随机样本，则总体方差的无偏估计是（A） （B）（C） （D） 5. 设是来自正态总体XN( 是样本方差，则（A） （B）（C） （D） 三解答题1. 设总体X具有分布律X1 2 3 其中。试求参数 的矩估计值和最大似然估计值。2. 设是来自总体X的简单随机样本，其中总体X的概率分布为X1 0 2 其中，试求未知参数的最大似然估计量。3. 假设

16、总体X在区间，+1上均匀分布，其中未知，是来自总体X的简单随机样本，是样本均值，是最小观测值。 （1）求参数的矩估计量和最大似然估计量； （2）若所得估计是有偏的，试将其修正为无偏的。4. 设是来自总体X的简单随机样本，其中X的密度函数为（拉普拉斯分布） 试求未知参数（0）的最大似然估计量。5. 假设总体X服从参数为的泊松分布，是来自总体X的简单随机样本，试求： （1）的最大似然估计量； （2）的无偏估计量。6. 设正态总体X的方差，问抽取样本容量n最少应为多大，才能使的置信度为95%的置信区间长度不超过1.第七章 参数估计模拟题答案一 填空题1. 的矩估计量为：。2. 二选择题1.（D） 2.（B） 3.（D） 4.（D） 5.（C）三解答题1. 的矩估计值和最大似然估计值均为：2. 3.（1）的矩估计量和最大似然估计量分别为 （2）4. 5.（1） （2）6. 样本容量n最少应取1537.684