章复数与复变函数

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1、第1章 复数与复变函数1 复数1.1.1 复数的基本概念n设 ，为两个任意实数，称形如 的数为复数，记为 ，其中 满足 ，称为虚数单位.实数 和 分别称为复数 的实部和虚部，记为n ，.n各数集之间的关系可表示为 xyiyxiyxzi12izxyRexzzyIm非纯虚数纯虚数虚数无理数有理数实数复数222zxiyn设 与 是两个复数.如果 ，则称 与 相等.由定义可得：.n设 是一个复数，称 为 的共轭复数，记作 .显然，.112zxx1212,xxyy1z2z00zxyzxiyxiyzz()zz如：11,2525iiii 1.1.2 复数的四则运算n设复数 ，定义 与 的四则运算如下：n加法

2、：n减法：n乘法：n除法：如：111iyxz222iyxz1z2z)()(212121yyixxzz)()(212121yyixxzz1212121221()()zzx xy yi x yx y)0(22222211222222121221121zyxyxyxiyxyyxxiyxiyxzz221232323115232323231313iiiiiiii 复数满足四则运算规律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对于加法的分配律.n共轭复数的运算性质：n（1）n（2）n（3）n（4）n（5）1212zzzz1212zzzz11222(),0zzzzz2222Re Im zzxyz

3、z11Re(),Im()22zzzzzzi n（6）n（7）为实数.zz zzzn例例1 化简 .解：解：.2(23)2ii2(23)49 1222(5 12)(2)(2)(2)10 1229229 4 15iiiiiiiiii n例例2 设 ，求 及 .解：解：所以)52(4321iiiizzzIm,Rez ziiiiiiiiiiz52)43)(43()43)(21(5243212510525211)5(5)5)(2(25211iiiiiiii2582516258Im,2516Rezz12564)2582516)(2582516(iiz zn例例3 设 是任意两个复数，求证：证证：利用公式

4、可得 12,z z12121 22Re()z zz zz z1Re()2zzz1 21 21 21 21 21 21 22Re()().z zz zz zz zz zz zz z1.1.3 复平面n一个复数 可唯一地对应一个有序实数对 ，而有序实数对与坐标平面上的点是一一对应的.所以，复数 全体与坐标平面上的点的全体形成一一对应.即n我们把坐标平面上的横坐标记为实轴，纵坐标记为虚轴，这样整个平面可称为复（数）平面.今后将复数与复平面的点不加区分.xiy(,)x yz(,)zxiyx yoz 复数点向量图1.1 图1.2 由图示：复数 在复平面上即是点，而点 可由向量 来表示（如图1.1）,与

5、分别是 在 轴与 轴上的投影.复数 与 关于实轴对称（如图1.2）.(,)Px yOP xyzzz x iy(,)Px yOP xy 1.2 复数的三角表示1.2.1 复数的模与辐角n复数复数 的模的模 如图1.1中的向量 的长度称为复数 的模，记作 或 ，即n复数复数 的辐角的辐角 设复数 对应的向量为 （如图1.1）,与实轴正方向所夹的角 ，称为复数 的辐角,记作 ，即 .z x iy OP zxiy|zr22|zrxyArgzzxiy0z OP OP zArgz n并规定 按逆时针方向取值为正，顺时针方向取值为负.n用记号 表示 的所有辐角中介于 与 之间（包括 ）的那一个角，并称它为

6、的主辐角，即 .从而n我们可以用反正切函数来刻画 .由定义我们有：.n复数的三角表示式复数的三角表示式称 为复数 的三角表示式.)sin(cosirzzarg zzzarg zarg2()ArgzzkkZargarg,zz ArgzArgzarg zn例例1 求 和 .n解解 n)22Arg(i)43Arg(ikii2)22arg()22Arg(k222arctan),2,1,0(24kkkii2)43arg()43Arg(k234arctan),2,1,0(34arctan)12(kkn例例2 求 的三角表示式.n解解 n 因为 ,所以n n设n则n又因为 位于第II象限，n所以 ,n于是

7、31izRe1xz Im3yz22(1)(3)2rz,arg z3tan31 31iz32argz31iz222(cossin)33i1.1.4.复数的幂与根n1.复数的乘幂n设 为正整数，个非零相同复数 的乘积，称为 的 次幂，记为 ，即n若 ，则有n当 时，得到著名的棣莫弗 （De Moivre）公式nnzznnz 个nnzzzz)sincosirz（cossin)nnzrnin（1rnininsincos)sin(cosn例例7 求 .n解解 n因为 n n所以 n例例8 已知 ，求 .n解解 n因为 n 4)1(i12cos()sin()44ii 4)sin()cos(4)1(4iii

8、z31iz324281zziz312 cos()sin()66iiz32552 cos()sin()66i)620sin()620cos(2)68sin()68cos(2484281iizz所以)628sin()628cos(24i)31(8i2.复数的方根n 称满足方程 的复数 为 的 次方根，记作 ，或记作 .且且n例例1 解方程 .n解解 因为n所以 )2,0(nwzwnwzn1arg2arg2|cos()sin(),0,1,2,1.nzkzkwziknnnnzw1016zsincos16iz)5,4,3,2,1,0(62sin62cos16kkiknwz0123131,2222wiwi

9、wi 3453131,2222wiwiwi 可求出6个根，它们是 例2133arg(8)2arg(8)28|8|cossin3322 2 cossin,0,1,233kkikkik 特别的，当 时，1k 3182 n例例3 计算n解解 因为n 所以 n即 i11 i )43sin()43cos(2i1 i )1,0(2243sin2243cos24kkik40332(cossin)88wi41552(cossin)88wi第1章 复数与复变函数1.2 区域 1.2.1.复平面上的点集与区域n扩充复平面扩充复平面 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.n有限复平面有限复平面 不包括无穷远点的复

10、平面称为有限复平面，或复平面.n邻域邻域 平面上以 为心，为半径的圆：n 内部所有点 的集合称为点的 邻域，记为 ，即称集合 为 的去心 邻域，记作 .0z00zx0z),(0zN),(00zzzzN00zzz0z0(,)N zn开集开集 如果点集 的每一个点都是 的内点，则称 为开集.n闭集闭集如果点集 的余集为开集，则称 为闭集.n连通集连通集 设是 开集，如果对于 内任意两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于 ，则称开集 是连通集.n区域（或开区域）区域（或开区域）连通的开集称为区域或开区域.n闭区域闭区域 开区域 连同它的边界一起，称为闭区域，记为 .DDDDDDDDDDD1.

11、2.2 单连通域与多（复）连通域n1.简单曲线、简单闭曲线n 若存在满足 ，且 的 ，使 ,则称此曲线C有重点，无重点的连续曲线称为简单曲线或约当（Jordan）曲线；除 外无其它重点的连续曲线称为简单闭曲线，例如，是一条简单闭曲线（如图1.9）.1t2t21tt 21tt 与)()(21tztz)()(zz)20(sincosttitz图1.9n在几何直观上，简单曲线是平面上没有“打结”情形的连续曲线，即简单曲线自身是不会相交的；简单闭曲线除了没有“打结”情形之外，还必须是封闭的，例如，图1.10中的 是简单曲线，是简单闭区域，图1.11中的 ，不是简单曲线，但 是闭曲线.1C2C3C4C3

12、C图1.10 图1.11 n2.光滑曲线、分段光滑曲线n设曲线 的方程为 n 若 ，在 上可导且 ，连续不全为零，则称曲线 为光滑曲线，由若干段光滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线.n3.单连通域、多连通域n设 是复平面上一区域，如果在 内任作一条简单闭曲线 ，其内部的所有点都在 中，则称区域 为单连通区域；否则称 为多连通区域或复连通区域.C)()()(tiytxtz)(t)(tx)(ty,)(tx)(tyCDDCDDDn在几何直观上，单连通区域是一个没有“空洞（点洞）和缝隙”的区域，而多连通区域是有“洞或缝隙”的区域，它可以是由曲线 所围成的区域中挖掉几个洞，除去几个点或一条线段而形成的

13、区域（如图1.12）.C图1.12第1章 复数与复变函数1.3 复变函数n1.3.1 复变函数的概念n定义定义1 设 为给定的平面点集，若对于 中每一个复数 ，按着某一确定的法则 ，总有确定的一个或几个复数 与之对应，则称 是定义在 上的复变函数（复变数 是复变数 的函数），简称复变函数，记作 .其中 称为自变量，称为因变量，点集 称为函数的定义域.DDiyxzfivuwfDwz)(zfw zwDn例例1 将定义在全平面上的复变函数 化为一对二元实变函数.n解解 设 ，代入 得 n比较实部与虚部得 ，12 zwiyxzivuw12zwivuw1)(2iyx2212xyixy 122yxuxyv

14、2n例例2 将定义在全平面除原点区域上的一对二元实变函数 ，（）n化为一个复变函数.n解解 设 ，则将 ，以及代入上式，经整理后，得 222yxxu22yxyv022 yxiyxzivuw222yxiyxivuw)(21zzx)(21zziyz zyx22)0(2123zzzwn1.3.2 映射的概念n 如果复数 和 分别用 平面和 平面上的点表示，则函数 在几何上，可以看成是将 平面上的定义域 变到 平面上的函数值域 的一个变换或映射，它将 内的一点 变为 内的一点 （如图1.13）.zwZW)(zfw ZDWGDzG)(zfw 图1.13n1.3.3 反函数与复合函数n1.反函数n定义定义

15、2 设 定义在 平面的点集 上，函数值集合 在 平面上.若对任意 ，在 内有确定的 与之对应.反过来，若对任意一点 ，通过法则 ，总有确定的 与之对应，按照函数的定义，在 中确定了 为 的函数，记作 ，称为函数 的反函数，也称为映射 的逆映射.)(zfw ZDGWDzGwGwwzf)(DzGzw)(1wfz)(zfw)(zfw n2.复合函数n定义定义3 设函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，值域 .若对任一 ，通过 有确定的n与之对应，从而通过 有确定的 值与 对应，按照函数的定义，在 中确定了 是 的函数，记作 ，称其为 与 的复合函数.)(hfw 1D)(zh2D1DG 2Dz)(z

16、h1DGh)(hfw wzDwz)(zfw)(hfw)(zh第1章 复数与复变函数1.4 复变函数的极限与连续性n1.4.1复变函数的极限n定义定义4 设函数 在 的某去心邻域内有定义，若对任意给定的正数 （无论它多么小）总存在正数 ，使得适合不等式 的所有 ，对应的函数值 都满足不等式则称复常数 为函数 当时 的极限，记作 或)(zf0z)()(00zzz)(zf Azf)(A)(zf0zz Azfzz)(lim0)()(0zzAzfn定理定理1 设 ，则 的充分必要条件为:且 ),(),()(yxivyxuzf000iyxz00)(lim0ivuAzfzz000lim(,)xxyyu x

17、yu000lim(,)yyxxv x yvn复变函数的极限四则运算法则：n设 ，则(1)(2)(3)Azfzz)(lim0Bzgzz)(lim0BAzgzfzgzfzzzzzz)(lim)(lim)()(lim000ABzgzfzgzfzzzzzz)(lim)(lim)()(lim000)0()(lim)(lim)()(lim000BBAzgzfzgzfzzzzzzn例例1 试求下列函数的极限.（1）（2）解解（1）法法1 设 ，则 ，且 得 zziz1lim11lim1zzzz zziyxziyxzzziyxiyx2222222xyxyixyxy1limzizz iyxxyiyxyxyyxx

18、221222212limlim11法法2 （2）设 ，则 ，得 1limzizz iiizziziz11limlim11iyxziyxz11lim1zzzzzz 1)1)(1(lim1zzzz1lim(1)2zzn例例2 证明函数 在 时极限不存在.n证证 设 ，n而 ，.n考虑二元实函数 当 沿着 （为任意实数）趋向于 ，即n ()zf zz0z iyxz()zf zz2222222xyxyixyxy2222(,)xyu x yxy222(,)xyv x yxy(,)u x y(,)x yykxk022(,)(0,0)0()1lim(,)lim(,)1x yxy kxku x yu x yk

19、n 显然，极限值随 值的不同而不同，所以根据二元实变函数极限的定义知，在 趋向于 时的极限不存在，即得结论.k(,)u x y(,)x y0n1.4.2 复变函数的连续n定义定义5 设 在点 的某邻域内有定义，若 ，则称函数 在点 处连续.n 若 在区域 内每一个点都连续，则称函数 在区域 内连续.n定理定理2 函数 ，在 处连续的充要条件是 和 都在点 处连续.n定理定理3 在 处连续的两个函数的和、差、积、商（分母在 处不等于零）在 处仍连续.)(zf0z)()(lim00zfzfzz)(zf0z)(zfD)(zfD),(),()(yxivyxuzf000iyxz),(yxu),(yxv)

20、,(00yx0z0z0zn例例3 求n解解 n因为 在点 处连续，故n 21limzziz21zziz 1lim2zizz55321iiin例例4 讨论函数 的连续性.n解解 设 为复平面上任意一点，则n当 时，在 无定义，故 在 处不连续.n当 落在负实轴上时，由于 ，在 从实轴上方趋于 时，趋于 ，在 从实轴下方趋于 时，趋于 ，所以 不连续.当 为其它情况时，由于 所以 连续.zarg0z00zzarg0zzarg00z0zzargz0zzargz0zzargzarg0z0argarglim0zzzzzargn定理定理4 若函数 在点 处连续，函数 在 连续，则复合函数 在 处连续（证略

21、）.最值性质最值性质当 在有界闭区域 上连续时，则 也在 上连续，且可以取得最大值和最小值；有界性有界性 在 上有界，即存在一正数 ，使对于 上所有点，都有 .)(zgh 0z)(hfw)(00zgh)(zgfw 0z)(zfD),(),(22yxvyxu()f z D)(zfDMDM)(zfn例例5 讨论 在闭圆域 ：上的连续性，并求 在 上的最大值与最小值.n解解 n 因为 和 在 上连续，故 及 在 上都连续.n又因为 ，故它在 上的最大值与最小值分别就是 的最大值与最小值.n在 内，当 时，取到最大值 ；yieyezfxxsincos)(D1z)(zfDyeyxuxcos),(yeyxvxsin),(D)(zf)(zfDxxeyye)sin(cos222)(zfDxeD1xxee当 时，取到最小值 ，即对任意 都有n特别指出，在曲线 上点 处连续的意义是 1xxe1eDzezfe)(1)(zfC0z)(lim0zfzz)(0zfCz