Simulink中连续与离散模型的区别

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1、Simulink中连续与离散模型的区别matlab/simulink/simpowersystem 中连续 vs 离散！本文中的一些具体数学推导见下面链接：计算机仿真技术1. 连续系统vs离散系统连续系统是指系统状态的改变在时间上是连续的，从数学建模的角度来看，可以分为连 续时间模型、离散时间模型、混合时间模型。其实在simpowersystem的库中基本所有模型 都属于连续系统，因为其对应的物理世界一般是电机、电源、电力电子器件等等。离散系统是指系统状态的改变只发生在某些时间点上，而且往往是随机的，比如说某一 路口一天的人流量，对离散模型的计算机仿真没有实际意义，只有统计学上的意义，所以在

2、simpowersystem中是没有模型属于离散系统的。但是在选取模型，以及仿真算法的选择时， 常常提到的discrete model、discrete solver、discrete simulate type等等中的离散到底是指什么 呢？其实它是指时间上的离散，也就是指离散时间模型。下文中提到的连续就是指时间上的连续，连续模型就是指连续时间模型。离散就是指时 间上的离散，离散模型就是指离散时间模型，而在物理世界中他们都同属于连续系统。为什 么要将一个连续模型离散化呢？主要是是从系统的数学模型来考虑的，前者是用微分方程来 建模的，而后者是用差分方程来建模的，并且差分方程更适合计算机计算，并且

3、前者的仿真 算法(simulationsolver)用的是数值积分的方法，而后者则是采用差分方程的状态更新离散 算法。在simpowersystem库中，对某些物理器件，既给出的它的连续模型，也给出了它的离散 模型，例如：离散模型一个很重要的参数就是采样时间sampletime，如何从数学建模的角度将一个连续模 型离散化，后面会有介绍。在simpowersystem中常用powergui这个工具来将系统中的连续 模型离散以便采用discrete算法便于计算机计算。7 - Extra Library j I Control BIdcIcs Discrete Control BIdcks.| Me

4、asurements Phasor LibraryImRMSOic匚 reteRMS valuftFunction Bl,（）=匚瑚）+说!.捉QQ 截图 20130914191127.png （2.94 KB,下载次数：1）下载附件保存到相册2013-9-14 19:11 上传（7-2）式（7-1）由n个一阶微分方程组成，称为状态方程；式（7-2）由l个线性代方程组称为输 出方程因此获得如下的状态方程与输出方程（令a0=1）:QQ 截图 20130914191222.png （27.38 KB,下载次数:2）下载附件保存到相册2013-9-14 19:12 上传离散模型假定一个系统的输入量、

5、输出量及其内部状态量是时间的离散函数，即为一个时间序列：捕获.JPG （9.81 KB,下载次数:6）下载附件保存到相册2013-9-14 17:50 上传，其中T为离散时间间隔，其实T也就是上文中的sample time。Note：再强调一次，这里的离散模型是指离散时间模型，与现实世界中的离散事件模型没有 任何关系，在simpowersystem中所讲的离散都是指时间上的离散，与我们在信号中学的那 个离散概念没有关系。离散时间模型有差分方程、离散传递函数、权序列、离散状态空间模型等形式。差分方程差分方程的一般表达式为：y（拎 +B） + 队。可 + 火一 1） + + #剥（*） = h声

6、1） !打萨（把）QQ 截图 20130914191256.png （5.31 KB,下载次数：1）下载附件保存到相册2013-9-14 19:13 上传同样差分方程可以转换成后面那些表达形式。3. 连续模型的离散化正如7.1.连续系统vs离散系统中截图所示的那样，如何由一个连续模型得到它的离散模型， （RMSdiscrete RMS value），以及powergui是通过什么方法将连续模型离散化的，即simulator是如何将微分方程转换成差分方程的。假设连续系统的状态方程为x = Ax-*捕获JPG (8.54 KB,下载次数:6)下载附件保存到相册2013-9-14 17:52 上传现

7、在人为地在系统的输入及输出端加上采样开关，同时为了使输入信号复员为原来的信 号，在输入端还要加一个保持器，如图所示。现假定它为零阶保持器，即假定输入向量的所 有分量在任意两个依次相连的采样瞬时为常值，比如，对第n个采样周期u(t)=u(nt)，其中T 为采样间隔。_1QQ 截图 20130914191337.png （21.82 KB,下载次数：1） 下载附件保存到相册2013-9-14 19:13 上传由采样定理可知，当采样频率ws和信号最大频率wmax满足ws2wmax的条件时，可由 采样后的信号唯一地确定原始信号。把采样后的离散信号通过一个低通滤波器，即可实现信 号的重构。值得注意的是，

8、图所示的采样器和保持器实际上是不存在的，而是为了将式离 散化而虚构的。下面对上式进行求解，对方程式两边进行拉普拉斯变换，得忒(时-X()=AX(s) + B U(S) /即QQ 截图 20130914175433.png (1.54 KB,下载次数:6)下载附件保存到相册2013-9-14 17:55 上传通过一系列的拉斯反变换和卷积，最终得到其差分方程(具体过程不用关心)= .7*1TwnT -T uirtT iQQ 截图 20130914175543.png （43.82 KB,下载次数:6） 下载附件保存到相册2013-9-14 17:56 上传QQ 截图 20130914191427.

9、png （2.97 KB,下载次数：1）下载附件保存到相册2013-9-14 19:15 上传统称为系统的离散系数矩阵。在转换过程中引入了一个重要参数T,即采样间隔，也就是采样时间，不管是powergui还 是其他离散模型，只要涉及到离散，都必然会涉及到s ample time，如下图QQ 截图 20130914191439.png （34.78 KB,下载次数：1）下载附件保存到相册2013-9-14 19:15 上传那么sample time 一般取多大呢，一直满足采样定理即可，即信号的采样频率大于信号本身 最大频率的2倍即可。4. simulator连续模型的仿真算法（simulates

10、olver，也可译成仿真解算器）和步长的概念。I-Ku EMg 11E4 :3LSteiKtlltLvifeli-a4k:antetslMrine-i-! iut4个QQ 截图 20130914191629.png （28.07 KB,下载次数：1）下载附件保存到相册2013-9-14 19:16 上传连续系统的计算机仿真算法是数值积分法，即计算机用数值积分来解微分方程，从而得到其近似解。具体方法如下欧拉法和改进的欧拉法：现有微分方程如下：dy=VW二山QQ 截图 20130914191456.png （7.06 KB,下载次数：1）下载附件保存到相册2013-9-14 19:15 上传上式右

11、端的积分，计算机是无法求出的，其几何意义为曲线f （t,y）在区间（ti ,ti+1）上的面积。当（ti ,ti+1）充分小时，可用矩形面积来近似代替：QQ 截图 20130914191712.png （3.1 KB,下载次数：1） 下载附件保存到相册 2013-9-14 19:17 上传其中h即为积分步长。Note:在 simulator仿真计算时，h实际为仿真时间间隔。因此可得下式：丁妃）=匝）+财怎Mi）*QQ 截图 20130914191718.png （2.86 KB,下载次数：1） 下载附件保存到相册2013-9-14 19:17 上传 因此只要知道当前状态和步长，便可得到下一状态

12、。其几何意义如下:QQ 截图 20130914175806.png （2.41 KB,下载次数:6）下载附件保存到相册2013-9-14 17:58 上传 分析其误差特性:由泰勒展式可得:试乂独 + 五）=v（L） +（/（/= vf |麦 +.QQ 截图 20130914175830.png （1.91 KB,下载次数:6）下载附件保存到相册2013-9-14 17:58 上传玷/（/.刊几+.可知其截断误差QQ 截图 20130914175906.png （1003 Bytes,下载次数:6）下载附件保存到相册2013-9-14 17:59 上传是和步长h2成正比的，因此计算机在计算时，若

13、要使近似积分精度更高，就要减小步长， 但会增加截断误差。改进的欧拉法（预测一校正法）对积分公式（3.1.2）式利用梯形面积公式计算其右端积分，得到ftM晶）二苴弓）+亍六S p（很）+ S=）QQ 截图 20130914175957.png （1.4 KB,下载次数:6）下载附件保存到相册2013-9-14 18:00 上传将上式写成递推差分格式为：=十%QQ 截图 20130914180026.png （992 Bytes,下载次数：6）下载附件保存到相册2013-9-14 18:01 上传从上式可以看出，在计算yn+1中，需要知道fn+1，而fn+1=f（tn+1,fn+1）又依赖于yn+

14、1本 身。因此要首先利用欧拉法计算每一个预估的ypn+1，以此值代入原方程式计算fpn+1，最 后利用下式求修正后的ypn+1。所以改进的欧拉法可描述为校正点1二八十十产必）image098.jpg （5.1 KB,下载次数:6）下载附件保存到相册2013-9-14 17:39 上传 龙格一库塔法（rung-kuta）欧拉法是将=在点附近的热+加image099.jpg （14.94 KB,下载次数:6）下载附件保存到相册2013-9-14 17:39 上传经泰勒级数展开并截去h2以后各项得到的一阶一步法，所以精度较低。如果将展开式多取 几项以后截断，就得到精度较高的高阶数值解，但直接使用泰勒

15、级数展开式要计算函数的高 阶导数较难。龙格一库塔法是采用间接利用泰勒级数展开式的思路，即用在n个点上的函数 值f的线性组合来代替f的导数，然后按泰勒级数展开式确定其中的系数，以提高算法的 阶数。这样既能避免计算函数的导数，同时又保证了计算精度。由于龙格一库塔法具有许 多优点，故在许多仿真程序包中，它是一个最基本的算法之一。 线性多步法以上所述的数值解法均为单步法。在计算中只要知道X-人（3的值可显推算出V，QQ 截图 20130914180638.png （3.05 KB,下载次数:6）下载附件保存到相册2013-9-14 18:07 上传。也就是说，根据初始条件可以递推计算出相继各时刻的y值

16、，所以这种方法都可以自启动。 下面要介绍的是另一类算法，即多步法。用这类算法求解时，可能需要y茂广3在如 心 心image101.jpg （13.92 KB,下载次数:6）下载附件保存到相册2013-9-14 17:39 上传各时刻的值。显然多步法计算公式不能自启动，并且在计算过程中占用的内存较大，但可以 提高计算精度和速度。例如：亚当斯一贝希霍斯显式多步法刚性（stiff）系统解法所谓刚性系统，就是用来描叙这类系统的微分方程的解，往往是由多个时间常数共同作用的， 其中某些小时间常数对解的影响往往是微乎其微但的确不可或缺的。例如下式是一个简单刚 性系统微分方程的解：广一广 0%QQ 截图 20

17、130914180727.png （629 Bytes,下载次数：6） 下载附件保存到相册2013-9-14 18:07 上传僵a-12,。.浏1.淄L998& 011. 9SOO51.9SQ09960,11.8096751.80S675image105.jpg （10.19 KB,下载次数:6）下载附件保存到相册2013-9-14 17:39 上传当时间较大时特征解-1000几乎对方程不起任何作用，但开始时有不能忽略e-1000t的影响， 因此若前面介绍的计算机数值解法，为了保证解的稳定性在选取步长h时，必须保证1000h 较小，也就是说步长h必须十分的小，这必然会增大计算次数，增大计算时间

18、，而又因为在 t 一定大时，e-1000t几乎不起作用，因此这种增大次数又不会对计算精度有多大改善，就 是说常规解法计算刚性系统是在做无用功。到目前为止，已提出不少解刚性方程的数值方法，基本上分为：显式公式，隐式公式和预 测校正型。显示公式常用雷纳尔法隐式方程都是稳定的，故都适合于解描述刚性系统的方程组，如隐式的龙格一库塔法。但这 种方法每计算一步都需要进行迭代，故计算量大，在工程上使用有一定困难。因此在解刚性 方程时，常采用Rosenbrock提出的半隐式龙一库塔法。预测一校正型中常用的解刚性方程的方法是Gear算法5. simulator离散模型的仿真算法和步长的概念。离散模型的数学建模一

19、般采用差分方程的方式，在matlab中其仿真算法是采用discrete算法，就是根据simulation step定时对离散模块进行更新（就是定时计算差分方程的意思）Pypt:Vriah-laBLi（Qt SdKtAf: Diacratt （oo coati duduet3（43 HID fill：QQ 截图 20130914191827.png （21.05 KB,下载次数：1）下载附件保存到相册2013-9-14 19:18 上传至于其步长的概念和连续模型中h的概念差不多，但是它的大小选择和sample time有着密 切关系，下面会给予说明。6.simulink 中仿真参数（simula

20、tion/configurationparameters）有了上面知识的铺垫，可以介绍simulink仿真参数的设置Op a!. = a-DK|pcx:*-E-i.HEBapLv SZeip 7?-EdiWWlrL 母k=r-p*llbi SLtf加3 L J比Hrr fltfHtntajiii!U-iFSiKt；esdaialEffHileuAui1口 If UUtJJW 口皿nrCKlC； odHt & m?力Mm仕t Lm心 i&r EhrmlfRiitlY4 iQlnwmKin lEie- L： = iauUjLJMAlul-i BliB-liEEi=atnitliiil! riw i

21、Ieb:AwtLmikimh*x cf -:-c.i *cuLLir!i h= -Elarpa -QQ 截图 20130914191901.png （75.84 KB,下载次数：1）下载附件保存到相册2013-9-14 19:19 上传上图中solver （仿真解算器）就是上面介绍的各种算法用计算机语言编程的实现。continuous solver就是数值积分法，discrete solver就是离散解法。SolVBT OPSlOflfiIniiial ee籍 fA1Lt*AlLtO ISolrt?lativ tiuiItTHiii：*E7-Iut t中的中步长有variable step （

22、变步长）和fixed step （固定步长之分）。continuous solver中的步长就 是h，就是积分时间间隔，对于discrete solver的步长是和要仿真的模型中的sample time有 密切关系的，是不可以随便取的。!网*43 LDc-iaiaJiilFiifleti25 (BeeackaiSHisslmfiod心如(fitiff.XKF)(ptiff/Sfed-. Sw叩brgk odiiiSt ,C4. et if Tz-Bpza-idiaj : d*康仕“H典广m-SCTg)QQ 截图 20130914191911.png (56.93 KB,下载次数：1)下载附件保

23、存到相册2013-9-14 19:19 上传variable step (变步长)临渝蛆step solars vary the step size tfun闻 旅 si mulation. redircrngtheep sFZjStrmea srarcuraty wtiers a imtteTffj 瞩普他 商酬需丽and配i区昵step昌屈15鼠知疝曲向帔熊5珂1哪s而i巾前南宿囿溶阿dianjinytv/GompLJhng the step siz adds to the Mpulalional overhead al ach step M can redisee ttie total

24、nujibef of 煎祈而ten simulation tim required tomainina siwdfied level of accuracy Tor motels wiih rapidly changing or piecewise contirmfi stai.,QQ 截图 20130914192025.png （75.22 KB,下载次数：1）下载附件保存到相册2013-9-14 19:20 上传就是说变步长会根据模型状态的变化的快慢适当调节步长，也就是相邻仿真计算的时间间隔，这样在保证了一定精度的同时又减少了仿真的次数，从而减小了仿真时间。对于continuous sol

25、ver而言，可以人为设定 max step size 和 min step size，然后计算机自动 选择积分步长h进行数值积分。以下是它的仿真solver（ODE表示常微分方法）, w河315 la泊f e驴浏印Fk宰011a.4,5加ma恤而启咿qnwpa.tisfl sw洒er W. & 冏cmvuipg y住nJ Ttwsvoh赣 sMionmN irmed绸pgangtjmepoinJjMj tigcnpal皿的 版妇50心10皿日霁 旧切tafiriK（泗yj印购朋呵皿叫 睥de心妆 侦用甜 mds mi g rue Si皓 W诡咛掺1幅泪 m辑可叩I标牌.心a供习尸i国p唾CM

26、网iMirpm? tl can握叫炸点轲冲1用弦也皿牌1岫皿5网 m暗prsenc? p EMSim幅S用席* IS 3血国吁或* cat*：13 isaranatfe-wrlw flftams. Hdrfom MolIwi PECE goheran be moteEtTiDf is：iei dei 5司 旬环rt Hfeanc es cdaiisa m迥娜srirer *rtncffliHneHS； l独 湖州耻妙Malpw心gMieiH*竹 fwnMfj恨 ointilgJDn-ida： s 15 a wan aDte-ortlef awei Iwsefl on ite rtuxua i

27、uefftauon tofjnias jliOF? ; Tlvse 8!p reialEd to W aw nw? effi tefl （ri ine backward m国洒祯村nmruaw白奇，信tsokngn王蛔估nihcdi 口胳忒苴”.xc饵了性包 心巾哪 maEdsh函n 忡si鸟冲 隔i apr或岫噌湖 （Mil 临ae 也祯 耐 岖弓 啷|偲血曲.时 姓1郭，:;如四jisM珀doommdihMl朝娅（心 miacfBMT 盼笛用3*础，员第M!倒 ii 顷1 艇 nx胆营kottranodein HmjMkX营aiEtcan 心辛 sonw lands pf 弟 probfe

28、cns 独 wh 击 &dk3 哼 Kt eftag odtZH i 5 an 皿（烦of 邯 He牌网i挈mie 监ng a Tfcttf ute伽sit U%吟 dkf Ovt 网烦 i$ 岫 ikm枷岫and 明 need a soUicn intwrvnmi 国囱png-de5 ixb is an fpSyii 的 的 d IH-BDR2.切 iiurtat Ru-Kja ?yw6a *ih a f-slse- INjIisb 时 pwcidal nJe dep vd 3 secsd sJjqc IhaHm 宙 badwaitf （i*enstabonronrda DfcrxiefMO

29、.EmBmrbcnltsanisifcf#wiiiMlFiLWdT3aluaMglMfli51agB LiteMfeJSj.ihisctwcjMtwinaecagrtliiar cJbM工 al bude lolfaF心image117.jpg （25.74 KB,下载次数:6）下载附件保存到相册2013-9-14 17:39 上传fixed step （固定步长）卜顺罚伸 钮蜘 5。腕 此 model眦r翎ula r而顽补als gnu【瞻 耽邹nrmg I口 I he end pi ih&mnnul而h j M 阪 N朕i 曲i wd is hurnn 明 Us % 厩teIehtiYom

30、 ca 什硒ci” 血 st即 size or lei the solrer choose the slep s 诂e_ Generaly, decreasing 施 step sii iiKfeasesiheflccufacy oPhe 顽格 while increasng liebme feared lo sinfiulaie the systemQQ 截图 20130914192109.png （36.38 KB,下载次数：1）下载附件保存到相册2013-9-14 19:21 上传就是仿真从头到尾用同一个步长。Note：对于continuous solver而言固定步长可以认为任 取；而

31、对于dicretesolver而言固定步长可以auto （即仿真帮你取），若人为取必选要遵守和 sample time之间的一定关系，下面会有介绍。Note:关于simulink中搭建一些DSP，fpga等外设模块，仿真通过后自动生成代码，可在 实际器件上运行时，此时simulation step 一定要用fixed step（固定步长）。具体说明见下图： ;ig r m s I，1坦冲 血 g 腭平 lilt： 1UI0image123.jpg （5.62 KB,下载次数:6）下载附件保存到相册2013-9-14 17:39 上传Sd1t*= 1QE1-ETtd*: Selvae: DiEc

32、ratQ 血 contiTiuciuE：image124.png （13.19 KB,下载次数:6）下载附件保存到相册2013-9-14 17:39 上传solver就是discrete算法，就是不断更新discrete block在各离散点的状态，步长的大小是与 模型中的sampletime有密切关系的，由上面阐述的差分方程可知，差分方程中T采样时间是固定的，对于discrete solver而言不 管是 variable step 还是 fixed step，simulation step （仿真步）必须要有出现在 sample time 所 有的整数倍上，即simulation step

33、的设置必须使simulator在1T、2T、3T要对模型进行计算 仿真，以免错过主要状态的转化。若一个离散仿真模型中具有多个sample time，那么要保证每个模型在其采用时间的1T、 2T、3T都能进行仿真，那么最小步长只能取各个仿真时间的公约数，其中最大公约数又称 为 fundamental sample time， 例子如下假设仿真的离散模型中有两个采样时间T1=2e-6, T2=4e-6那么其公约数为1e-6和2e-6，而 fundamental sample time=2e-6image126.png （14.72 KB,下载次数：7）下载附件保存到相册2013-9-14 17:3

34、9 上传若采用fixed step步长，为了不错过模型在每个采样时刻状态的变化，要求simulator的仿真 时间必须要包含每一个采样时刻的整数倍，因此其固定步长必须取各个sampletime的公约 数，可以是1e-6或2e-6，若写auto则为fundamental sample time=2e-6，若写出其他步长， 则simulation会提示错误。Tfm; f加 NF理.iDfiKrtt.il （m ctimww image129.jpg （6.48 KB,下载次数:6） 下载附件保存到相册2013-9-14 17:39 上传上述仿真过程如下：6 I e I （I） I .洗 29-6

35、M 4e-6 W 6e4 +jQQ 截图 20130914180941.png （10.64 KB,下载次数:6） 下载附件保存到相册 2013-9-14 18:10 上传 箭头表示simulation step，就是simulator在每一个箭头处都会仿真计算一次；圆圈处表示模 型采样时刻（sample time）处，其实只有在这一刻离散模型的状态才有可能发生改变，即差 分方程的解才有可能发生改变；由上图可见这样设置步长保证了在每个 sample time处 simulator都进行了仿真。若采用variable step步长，simulator会根据模型中的各个sample time自动调

36、整步长，以使得 仿真时间时刻等于sample time。Sdlva?- QChtl&nSimage132.png （12.77 KB,下载次数：6）下载附件保存到相册2013-9-14 17:39 上传此时又有一个max step size的限制，若如上图写的是auto，那么上述仿真过程如下:QQ 截图 20130914181017.png （10.21 KB,下载次数:6）下载附件保存到相册2013-9-14 18:10 上传可见simulator只在sample time处才进行仿真计算，这样减少了仿真次数，节约了时间。若max step size=0.7e-6，那么仿真过程又该如何？如下

37、图：QQ 截图 20130914181025.png （10.72 KB,下载次数:6）下载附件保存到相册2013-9-14 18:10 上传 可见variable step时，即使有人为maxstep size的限制，simulator总会跟踪sampletimeo 般选择auto即可。关于powergui的作用pov/erg u iimage138.png （1.27 KB,下载次数：6）下载附件保存到相册2013-9-14 17:39 上传hbckilowsyotiCjtfttKeMe 0（如淮聊呼11比隹10雌阪1成【 CortiruaismMd 德ithus的* 局 im昨 即 gn

38、* 或&:炽心丸厂切-混/炊土土*!斯的他迎小时Bh花街间铜ynlw斗泌何曲I上用薄sT否疝顽两诂宥城函顽季面砧前Sii丽I而3近丽同首神而百匐湎或无is iBtitlQ-做e雁ecjuvilat 丽u! t cmi- tta r repfsentsimage141.jpg （11.47 KB,下载次数:6）下载附件保存到相册2013-9-14 17:39 上传5九由剧 ur menace tooiThe IWgu Hoc启 l 耐5 恻 access 小哗 liou?尸仇蚀 晞 d&ia （GU） toot ard ftrdicfis k the 鬼卸湖 w anahra s d SmPt怫

39、郴邮 幽隹既 tieinaMis ohiinul知（i 伯sits 的 Wihe 蛔i ti acbancKl瞄 paiai施 image143.jpg （7.4 KB,下载次数:6）下载附件保存到相册2013-9-14 17:39 上传powergui基本上在simpowersystem的仿真中有两个作用：i：离散化系统中的一些连续模型，以便simulator采用discrete算法计算，注意：对本来就 已经存在的离散模型不起任何作用，如下图：image144.jpg （6.86 KB,下载次数:7）下载附件保存到相册2013-9-14 17:39 上传powergui的离散sample t

40、ime为2e-6,而系统中还有离散模块的sample time为4e-6, powergui 的离散作用对它没有影响。ii：提供各种graphical userinterface tools用于分析仿真过程中的信号以及数据（尤其是FFT 分析）。powo/powonitoo的Simulation nnd configuration options：ConllgiLire parameter sAnalysis lootsSleazy-State Voltoos and CkJrrerrtInrtlal States SettingLoaoi Flow and Mochine InitieihzationUse LTI ViewerlEgdonco vs Fyquonoy Mos-uromentFFT AcolygOncrcte ReportHycstorosl Dsigr* ToolCompute RLC Lin Pwomeders。一 HW