第01章 球面和球面系统

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1、第一篇 几何光学在工农业、国防、科学技术以及人类生活的各个领域，使用着种类繁多的光学仪器，尽 管其中的光学系统千差万别，但其基本功能是共同的，即传输光或对所研究的目标成像。因 此，研究光的传播和光学成像的规律对于设计光学仪器具有实际的意义。从本质上讲，光是电磁波，它按波动理论传播，这已为光的干涉、衍射、偏振等诸多现 象所证实。按着这种理论，光的传播就是波面的传播，但用波面的观点来讨论光经过透镜或 者光学系统时的传播规律和成像问题将会造成计算和处理上的很大困难，在解决实际的光学 技术问题时应用不方便。按照近代物理的观点，光具有波粒二象性。如果只考虑光的粒子性，把光源或物体看成 是由许多几何点组成

2、，并把由这种点发出的光抽象为象几何线一样的光线，那么，只要按照 光线的传播来研究这种点经过光学系统的成像，问题就会变得非常方便和实用。这种撇开光 的波动本性，仅以光的粒子性为基础来研究光的传播和成像问题的光学学科分支称为几何光 学。因此，几何光学所研究的只是一种对真实情况的近似处理方法。尽管如此，按此方法所 解决的有关光学系统的成像、计算和设计等方面的光学技术问题，在大多数场合下与实际情 况相符。所以，几何光学有很大的实用意义，是研究光学仪器理论必不可少的基础。光学工程，或称光学设计，就是以几何光学为基础，研究光学仪器的设计和优化。第一章 球面和球面系统1、基本概念和符号规则用于光学成像或收集

3、和传递光能的光学系统，绝大部分都由折射球面组成。由于反射面 只是折射面在n/ = -n时的特殊情况，平面是半径为无穷大的球面，故首先讨论球面系统是 最具有普遍意义的。基本概念：光轴：构成透镜的球面或非球面的球心的连线，叫光轴。共轴光学系统:构成光学系统的各个透镜，如果球心均在一条公共直线上，或者说，各个透 镜的光轴重合，那么这类光学系统就叫共轴光学系统。非共轴光学系统:构成透镜的球面或非球面的球心不完全在一条直线上，则这类光学系统叫 非共轴球面系统。子午光线：与光学系统的光轴共面的光线叫做子午光线。子午面:子午光线与光轴所成的面叫做子午面。顶点：光轴与球面的交点。物距：子午光线（入射光线）或其

4、延长线与光轴的交点到顶点的距离。像距：折射光线或其延长线与光轴的交点到顶点的距离。入射角：入射光线与入射到球面点处的法线之间的夹角。折射角：折射光线与折射点处球面法线之间的夹角。物方孔径角（倾斜角）:入射光线或其延长线与光轴之间的夹角。像方孔径角：折射光线或其延长线与光轴之间的夹角。物高：入射光线与球面的交点到光轴的距离。因为各种线段和角度都有正负之分，因此，本课程规定如下的符号规则：1、光线：光线自左至右传播规定为正方向；自右至左传播规定为负方向。2、曲率半径：表面的曲率中心处在该表面的顶点之右，则其半径R为正值；反之为负值。3、物、像距：以顶点为坐标原点，在右边的值为正，在左边的值为负。4

5、、入射角、折射角：对于入射角（I ）和折射角（I/），如果光线顺时针旋转到达法线，则I或I/为正；反之为负。5、孔径角：对于孔径角U和U /，如果光线反时针旋转到达光轴，则为正值；反之为负。6、物高：如果光线入射球面点Q在光轴的上方，则Q点与光轴的距离（物高）Y为正值, 反之为负值。2 光线在单个球面上的折射当光线通过光学系统时，可以用折射定律和反射定律来追迹光线的走势。InrP卩0LDLRL X ot fo , U U图 1 1 光线在单球面上的折射 (入射角为正)如图1 1所示，由C点引入射线和折射线的垂线CA、CA /，由直角三角形PAC、 QAC 得：CA = (L R) - sin

6、U = R - sin I(1) 得入射角计算公式：L R sin I = sin UR(2) 由折射定律，可求得折射角 I /nsin I / = - sin In/(3) 根据三角形的内外角关系，得Z QCO = U + I = U / + I /由此，得像方孔径角 U / :U / = U + I I /(4) 在直角三角形CA /Q和CA /P/中CA / = R - sin I / CA / = (L / R) - sin U /故： R - sin I/ = (L/ 一 R) - sin U /可得像距：sin I /n sin In sin UL/ = R + R -= R +

7、R -= R + (L R) -sin U /n / sin U /n / sin U /上述还有第二种算法，如图 12 所示C A = (L R ) sin U = R sin I1 1 1 1 1 1 1故： sin I =11) sin I =1L R sin UR11L R11 - sin U1L= sin U 一 sinR1 1E=i 一 sin UR1 1故：E = R - (sin U + sin I )112)求 sin I /sin I /1nin/1 sin I1(3) 求U /1U/1(4) 求 L/1图12 光线在单球面上的折射的第二种算法在直角三角形C A /P /和

8、C A/Q中:1 1 1 1 1 1sinI/1C A/ = (L/ R ) sinU / = R1 1 1 1 1即：L / sin U / R sin U / = Rsm故：E / =1(sin U / + sin I/)11I/1因此：仔E1sin U / + sin I/2 cosU / I / cos 11sin U+ sin I1U2 cos iU I cos 11又由于 U /1I/1+1 ,故由上式得:1E/iE12ccosc o sU / + c o sI/11U + I U2 c o s1 c o s1122cosc o sU + c o si11由直角三角形 P/E/Q

9、,得11E/L / =11 s i nU /1如图1 3所示：由直角三角形PAC和QAC 得:CA = (LR)sinU = Rsin I(1) 入射角I的计算公式：L Rsin I = sin UR(2) 由折射定律，可求得折射角厂nsin I/ = sin In/3) 根据三角形的内外角关系，得：Z QCO = U + I = U / + I /由此，得像方孔径角U /:U / = U + I I /(4)在直角三角形CA /Q和CA /P/中：CA / = R - sin I / CA / = (L / R) - sin U / 故：R - sin I / = (L / R) - sin

10、 U / 可得像距：sin I /n sin In sin UL/ = R + R -= R + R -= R + (L R)-sin U /n / sin U /n / sin U /如图 14 所示的凹球面情况：CA = (L R) - sin U = R - sin I图 1 4 光线在单L U， W l0, To t L*0, U10球面上的折射（曲率半径为负）(1) 入射角 I 的计算公式：L - Rsin I = sin UR(2) 由折射定律，可求得折射角I /nsin I / = - sin In/(3) 根据三角形的内外角关系，得：Z QCO = U + I = U / +

11、I /由此，得像方孔径角U /:U / = U + I I /在直角三角形CA /Q和CA /P/中：CA / = R - sin I / CA / = (L / R) - sin U / 故：R - sin I/ = (L/ R) - sin U / 可得像距：sin I /n sin In sin UL/ = R + R -= R + R -= R + (L R)-sin U /n / sin U /n / sin U /3 单球面近轴区域光学系统的近轴区域是指光轴附近很窄小的区域。该区域是如此之小，以至于在该区域内，光线所构成的角度值本身(如孔径角、入射角、折射角等)等于相应的正弦和正切

12、值。为了区别起见，全部符号用小写字母代替，并且可以用角度的弧度值来代替正弦值和 正切值，即：sin I = i, tan I = i, sin U = u, cos U = 1 sin I/ = i/, tan I/ = i/, sin U / = u/, cos U / = 1L = l, R = r因此有关光线通过单球面后的计算公式简化为：ca = (l r) u = r ica (l r)i = = urrni/ = - in/ n）， r 0，则光焦度甲 0 ;对于凹球面（n/ n）， r 0，则光 焦度9 0。4 理想光学系统我们把一个像差校正得完好的光学系统称为理想光学系统，这样的

13、光学系统可以简化成 一个“黑匣子”。它的主要特征可用若干对关键点和面来表示。一焦点和焦平面来自无限远目标的、与光轴平行的光束，经过光学系统后会聚于光轴上的一点，该点就称为光学系统的焦点。通过该点作光轴的垂面，该垂面就成为光学系统的焦平面。如果平行光束来自光学系统的左边，所形成的焦点和焦平面称为第二焦点和焦平面（后 焦点和后焦面或物方焦点和物方焦平面）;如果平行光束来自光学系统的右边，所形成的焦 点和焦平面称为第一焦点和焦平面（前焦点和前焦面，像方焦点和像方焦平面），如图 15从光学系统的最后表面的顶点到第二焦点的距离称为光学系统的后焦距，用 f 表示;BFL从光学系统的前表面的顶点到第一焦点的

14、距离叫做光学系统的前焦距（f ）。使平行光束 FFL会聚的诱镜焦距为正，使平行光束发散的诱镜焦距为负。由物方无限远处射来的任何方向的平行光束，经光学系统后必会聚于像方焦平面上一点；自物方焦平面上任一点发出的光束经过光学系统之后，均以平行光出射，如图 16 所/示oJ,7图1 6非平行光轴光线的成像二主点和主平面平行于光轴的入射光线与通过光学系统后的出射光线（或反向延长线）相交于一点，这些点的集合所构成的平面叫做光学系统的主面，该主面与光轴的交点叫做光学系统的主点。如果平行于光轴的入射光线来自光学系统的左边，那么所形成的主点和主面称为第二主 点和主面（后主点和后主面，或像方主点和主面）；如果平行

15、于光轴的入射光线来自光学系 统的右边，那么所形成的主点和主面称为第二主点和主面（前主点和主面，或物方主点和主 面）。从光学系统的第一主点到第一焦点的距离叫做光学系统的第一有效焦距。从光学系统的 第二主点到第二焦点的距离叫做光学系统的第二有效焦距。如图15所示，P、P /分别为前后主点；P / F /为第二有效焦距，用f /表示；PF为 第一有效焦距，用 f 表示。三节点 光学系统的节点处于光轴上，光线进入第一节点（物方节点）的方向与光线从第二节点 （像方节点）出来的方向相同，亦即角放大率等于 1，这是节点的最基本的意义，如图 17 所示。当透镜的两边的介质相同时，则节点和主点重合；但当透镜的两

16、边的介质不同时，节点 与主点不重合。5. 理想光学系统的物像关系理想光学系统可以简化为几对关键点和面，其中，P、P/为第一、二主点，F、F /为 第一、二焦点。根据这些关键点的性质，可以确定光学系统的物像关系。可以用作图法，也 可以用公式法：一 作图法如图1 8所示，使用作图法确定目标AB经过光学系统所成的像A / B /的位置和尺寸, 常用下面的三条特征光线：图 1 8 作图法确定理想光学系统的物像关系(1) 从光轴外B点发出的平行于光轴的光线，经过光学系统后通过该系统的第二焦点F / ;(2) 从B点发出的经过系统第一焦点F的光线，从光学系统出来后平行于光轴；(3) 由B点发出的、交于第一

17、节点(当系统处在真空中时，节点与主点重合)的光线，从 第二节点出来后，其传播方向与原来方向相同。二 公式法如图 1 9 所示，由于A A / B / F/ AP/CF /，P/C同样 AABFA PDF 则xxPDh/由于P /C =h ， , PD故：，即xx /=ff/x由图 1 9 可见：l = x + f = x + f / l/ = x/ + f /故：x = l + f /， x/ = l/ 一 f /则：（l + f/）（l/ 一 f/） = f/2得：一-= ，这是著名的咼斯公式。l / l f /三 放大率光学系统的放大率有横向放大率、纵向放大率和角放大率之分。我们通常所说的

18、放大率是指横向放大率，即像的咼度与物的咼度之比h/由牛顿公式和咼斯公式得：h/l/l/)=l/即：纵向放大率是沿光轴方向的放大率，有时也称为轴向放大率。如图 110 所示， S S 是沿光轴方向的物，而SS是其像，则光学系统的纵向放大率为:2l/ l/222All/l/2l/l/当A l彳艮小时,即m =2。m沁mm21图 1 10 理想光学系统的放大率6. 双球面折射近轴系统对于双球面的折射，可以连续使用单球面折射，得到最终结果。图 1 11 光线在双球面系统的折射如图 111所示，在第 1 面折射后：l/而其中：(l )( u ) = l u(l / )( u / ) = l / u代入上

19、式得：nnu即： n / u /n同理，光线在第二折射面折射后：nl/而其中：( l )( u ) = l u(l / )( u / ) = l / u代入上式得：n/unnu即：n/u/再由转面公式：n/,u,ldu/ - d u ，( 近轴 )得：n/u(n/）nu如果整个双球面系统由同一种玻璃材料组成，并且放在空气中，则：n/ n n，n n/ 11 2 1 2则：1u / (1 n) -_2r2(y d u /) + nu /1 1 1 11nd u/+ (n 1) i i r2+ nu /1nu (n 1)因此：y+d (n1)f+ u +(n1) -1 +ur1nr1r1r1221

20、11 一 n(n1)2yn 一 1dy+d +1 u + (n -1)r1nrr1nr1212211(n 1)2dn1：y - (n- D (一 )+ y +1rr1nr rn12121n1n2y!+ ur1dr2当目标处在无穷远处时，l08 , u T11得：u/2y - (n 1)-(1)dr-rr12u /2y111(n 1)2(n 1) - () +r rn12d1rr12这实际上就是透镜的光焦度：d1rr1211(n 1)2(n 1) - () +r rn127.透镜一、 厚透镜透镜的有效焦距（主面到焦点的距离）为：f/透镜的后焦距(透镜后表面顶点到第二焦点的距离)为：u/2对于厚透

21、镜，其有效焦距和有效光焦度：9=e111(n - 1)d=(n 1)() +/r re 1 2nr r12后焦距为：f - d ( n - 1)、 薄透镜对于薄透镜，u/2nr1可以认为d = 0 ,则有效光焦度和有效焦距：19=e=(n - 1)(-)/r re 1 28.球面反射镜对于球面反射系统，可以认为n / = -n来处理，同时，还要遵守如下的符号规则:111)反射后，折射率符号改变；两次反射后符号不变；2)反射后，间隔符号改变；3)反射镜的半径的正负遵守折射时 的规定。如图 112 所示，在近轴区域：l/其中：n/ = n , ( n/ = -1, n = 1 )-1 - 2 1=

22、+ _故： l /r l2故光焦度9 =-一焦距f / =丄=-9对于凹面反射镜，r 0, f / 0 ,图 1 12 光线在单球面上的反射对于凸面反射镜，r 0,则9 0，f / 0l 0u 0 u / 0 n / n由图 1 13 所示得：，即 =l/ -r-ln/n/n/n/ (r -l/)n(r - l)l/l/l/rlrr - l/nl /，故有：nl /。这实际上就是横向放大率。r-ln/ln/l另外，由轴上物点 A 成像：由近轴条件得：/，即：l/u/y/n u故有 =-，得 y/ n/ u / = ynuyn/ u /定义 J = ynu 为拉格朗日不变量，可见 J 经球面折射后为不变量