8.1向量及其线性运算

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1、高等数学（下）高等数学（下）8.18.1节节 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数主主 要要 内内 容容1 向量的概念2 向量的线性运算3 空间直角坐标系4 利用坐标作向量的线性运算5 向量的模、方向角、投影向向 量量 的的 概概 念念.a或表示法表示法:向量的模向量的模:向量的大小向量的大小,21MM记作向量向量:(又称又称矢量矢量).1M2M既有既有大小大小,又有又有方向方向的量称为向量的量称为向量向径向径(矢径矢径):自由向量自由向量:与起点无关的向量与起点无关的向量.起点为原点的向量起点为原点的向量.单位向量单位向量:模为模为 1 的向量的向量,.a或记作 a零向量零向量:模为

2、模为 0 的向量的向量,.00或，记作有向线段有向线段 M1 M2,或或 a,a或.a或向向 量量 的的 概概 念念规定规定:零向量与任何向量平行零向量与任何向量平行;若向量若向量 a 与与 b大小相等大小相等,方向相同方向相同,则称则称 a 与与 b 相等相等,记作记作 ab;若向量若向量 a 与与 b 方向相同或相反方向相同或相反,则称则称 a 与与 b 平行平行,ab;与与 a 的模相同的模相同,但方向相反的向量称为但方向相反的向量称为 a 的的负向量负向量,记作记作因平行向量可平移到同一直线上因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称故两向量平行又称 两向量两向量共线共线.若若 k

3、(3)个向量经平移可移到同一平面上个向量经平移可移到同一平面上,则称此则称此 k 个向量个向量共面共面.记作记作a;主主 要要 内内 容容1 向量的概念2 向量的线性运算3 空间直角坐标系4 利用坐标作向量的线性运算5 向量的模、方向角、投影向向 量量 的的 计计 算算1.向量的加法向量的加法三角形法则三角形法则:平行四边形法则平行四边形法则:运算规律运算规律:交换律交换律结合律结合律三角形法则可推广到多个向量相加三角形法则可推广到多个向量相加.bbabbacba)()(cbacbaabcba cb)(cbacba)(aaba ba 向向 量量 的的 计计 算算s3a4a5a2a1a54321

4、aaaaas向向 量量 的的 计计 算算2.向量的减法向量的减法三角不等式三角不等式ab)(ab有时特别当,ab aa)(aababaabababa0baba向向 量量 的的 计计 算算aa3.向量与数的乘法向量与数的乘法 是一个数是一个数,.a规定规定:时，0，同向与aa,0时,0时.0a;aa;1aa可见可见;1aa;aa 与与 a 的乘积是一个新向量的乘积是一个新向量,记作记作，反向与aa总之总之:运算律运算律:结合律结合律)(a)(aa分配律分配律a)(aa)(baba,0a若a则有单位向量.1aa因此因此aaa 向向 量量 的的 计计 算算定理定理1.设设 a 为非零向量为非零向量,

5、则则(为唯一实数为唯一实数)证证:“”.,取取 且且再证数再证数 的唯一性的唯一性.则则,0故.即abab设设 abba取正号取正号,反向时取负号反向时取负号,a,b 同向时同向时则则 b 与与 a 同向同向,设又有设又有 b a,0)(aaa baab.ab故,0a而向向 量量 的的 计计 算算“”则则,0 时当,0 时当,0 时当已知已知 b a,b0a,b 同向同向a,b 反向反向ab 定理定理1.设设 a 为非零向量为非零向量,则则(为唯一实数为唯一实数)abab向向 量量 的的 计计 算算例例1.设设 M 为为MBACD解解:ABCD 对角线的交点对角线的交点,ba,aAB,bDAA

6、CMC2MA2BDMD2MB2.,MDMCMBMAba表示与试用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD主主 要要 内内 容容1 向量的概念2 向量的线性运算3 空间直角坐标系4 利用坐标作向量的线性运算5 向量的模、方向角、投影空间直角坐标系空间直角坐标系xyz由三条互相垂直的数轴按右手规则由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系组成一个空间直角坐标系.坐标原点坐标原点 坐标轴坐标轴x轴轴(横轴横轴)y轴轴(纵轴纵轴)z 轴轴(竖轴竖轴)过空间一定点过空间一定点 o,o 坐标面坐标面 卦限卦限(八个八个)面xoy面yozzox面面1.空间直角坐标系

7、的基本概念空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系空间直角坐标系xyzo向径向径在直角坐标系下在直角坐标系下 11坐标轴上的点坐标轴上的点 P,Q,R;坐标面上的点坐标面上的点 A,B,C点点 M特殊点的坐标特殊点的坐标:有序数组有序数组),(zyx 11)0,0,(xP)0,0(yQ),0,0(zR)0,(yxA),0(zyB),(zoxC(称为点称为点 M 的的坐标坐标)原点原点 O(0,0,0);rrM空间直角坐标系空间直角坐标系坐标轴坐标轴:轴x00zy00 xz轴y轴z00yx坐标面坐标面:面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzo空间直角坐标系空间直角坐标系2.向量的坐标表示

8、向量的坐标表示在空间直角坐标系下在空间直角坐标系下,设点设点 M,),(zyxM则则沿三个坐标轴方向的沿三个坐标轴方向的分向量分向量.kzjyixr),(zyxxoyzMNBCijkA,轴上的单位向量分别表示以zyxkji的坐标为的坐标为此式称为向量此式称为向量 r 的的坐标分解式坐标分解式,rkzjyix称为向量,r任意向量任意向量 r 可用向径可用向径 OM 表示表示.NMONOMOCOBOA,ixOA,jyOBkzOC主主 要要 内内 容容1 向量的概念2 向量的线性运算3 空间直角坐标系4 利用坐标作向量的线性运算5 向量的模、方向角、投影利用坐标作向量的线性运算利用坐标作向量的线性运

9、算设设),(zyxaaaa,),(zyxbbbb 则则ba),(zzyyxxbababaa),(zyxaaaab,0 时当aabxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量对应坐标成比例平行向量对应坐标成比例:，为实数利用坐标作向量的线性运算利用坐标作向量的线性运算例例2.求解以向量为未知元的线性方程组求解以向量为未知元的线性方程组ayx35byx23.211,212），（），（其中ba解解:2 3,得得bax32)10,1,7(代入得代入得)3(21bxy)16,2,11(利用坐标作向量的线性运算利用坐标作向量的线性运算例例3.已知两点已知两点在在AB直线上求一点直线上求一点 M

10、,使使解解:设设 M 的坐标为的坐标为,),(zyx如图所示如图所示ABMo11MAB,),(111zyxA),(222zyxB及实数及实数,1得得),(zyx11),(212121zzyyxx即即.MBAMAMMBAMOAOM MBOMOB AOOM)(OMOB OMOBOA(利用坐标作向量的线性运算利用坐标作向量的线性运算说明说明:由由得得定比分点公式定比分点公式:,121xx,121yy121zz,1时当点点 M 为为 AB 的中点的中点,于是得于是得x,221xx y,221yy z221zz ABMoMAB),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中点公式中点公式:主主 要

11、要 内内 容容1 向量的概念2 向量的线性运算3 空间直角坐标系4 利用坐标作向量的线性运算5 向量的模、方向角、投影向量的模、方向角、投影向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式222zyx),(zyxr 设则有则有OMr 222OROQOPxoyzMNQRP由勾股定理得由勾股定理得),(111zyxA因因AB得两点间的距离公式得两点间的距离公式:),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx对两点对两点与与,),(222zyxB,rOM作OMr OROQOPBABAOAOBBA向量的模、方向角、投影向量的模、方向角、投影例例4

12、.求证以求证以)3,2,5(,)2,1,7(,)1,3,4(321MMM证证:1M2M3M21MM 2)47(2)31(2)12(1432MM 2)75(2)12(2)23(631MM 2)45(2)32(2)13(63132MMMM即即321MMM为等腰三角形为等腰三角形.的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形.为顶点为顶点向量的模、方向角、投影向量的模、方向角、投影例例5.在在 z 轴上求与两点轴上求与两点)7,1,4(A等距等距解解:设该点为设该点为,),0,0(zM,BMAM因为 2)4(212)7(z 23252)2(z解得解得,914z故所求点为故所求点为及及)2,5,3(B.)

13、,0,0(914M离的点离的点.向量的模、方向角、投影向量的模、方向角、投影例例6.已知两点已知两点)5,0,4(A和和,)3,1,7(B解解:求求141)2,1,3(142,141,143.BABABABA向量的模、方向角、投影向量的模、方向角、投影oyzx2.方向角与方向余弦方向角与方向余弦设有两非零向量设有两非零向量,ba任取空间一点任取空间一点 O,aOA作,bOBOAB称称 =AOB(0 )为向量为向量 ba,的夹角的夹角.),(ab或类似可定义向量与轴类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角轴与轴的夹角.,0),(zyxr给定与三坐标轴的夹角与三坐标轴的夹角 ,rr称为其为其方向角方向角.

14、cosrx222zyxx方向角的余弦称为其方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦.记作记作),(ba向量的模、方向角、投影向量的模、方向角、投影oyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的性质方向余弦的性质:的单位向量向量 rrrr)cos,cos,(cos向量的模、方向角、投影向量的模、方向角、投影例例7.已知两点已知两点)2,2,2(1M和和,)0,3,1(2M的模的模、方向余弦和方向角、方向余弦和方向角.解解:,21,23)20计算向量计算向量)2,1,1(222)2(1)1(2,21cos,21cos22cos,32

15、,34321MM(21MM21MM向量的模、方向角、投影向量的模、方向角、投影例例8.设点设点 A 位于第一卦限位于第一卦限,解解:已知已知角依次为角依次为,43求点求点 A 的坐标的坐标.,43则则222coscos1cos41因点因点 A 在第一卦限在第一卦限,故故,cos21于是于是(6,21,22)21)3,23,3(.)3,23,3(向径向径 OA 与与 x 轴轴 y 轴的夹轴的夹,6AO且OAOAAO向量的模、方向角、投影向量的模、方向角、投影2.向量在轴上的投影向量在轴上的投影空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影u过点过点A作轴作轴u的垂直平面的垂直平面,即为点即为点A在轴在

16、轴u上上A 交交点点的的投影投影.AA 空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影轴轴u称为投影轴称为投影轴.已知向量的起点已知向量的起点A和终点和终点B在轴在轴u上的投影分别为上的投影分别为BA ,那么轴那么轴u上的有向线段上的有向线段BA 的值的值,称为向量在轴称为向量在轴u上的上的投影投影.B A uAB向量的模、方向角、投影向量的模、方向角、投影BA ABjuPr cos|AB Projection在轴在轴u上的上的向量向量AB轴与向量的夹角的余弦：轴与向量的夹角的余弦：向量向量AB在轴在轴u上的上的 投影投影 记为记为投影性质投影性质1 1投影等于向量的模乘以投影等于向量的模乘以A

17、BjuPr()uAB或投影有正、投影有正、注注负之分负之分;模只为正值模只为正值.cos|)(ABABu B A ABuu B 向量的模、方向角、投影向量的模、方向角、投影 )(Pr21aaju（可推广到有限多个）（可推广到有限多个）)(Praju 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和在该轴上的投影之和.1Praju2PrajuajuPr 投影性质投影性质2 2投影性质投影性质3 3小小 结结向量的概念向量的概念向量的线性运算向量的线性运算（注意（注意:与数量的区别与记法）与数量的区别与记法）(平行四边形法则平行四边形法则,三角形法则三角形

18、法则,注意数乘后的方向注意数乘后的方向)空间直角坐标系空间直角坐标系 空间两点间距离公式空间两点间距离公式(注意它与平面直角坐标系的注意它与平面直角坐标系的区别区别)(点、坐标轴、坐标面、卦限点、坐标轴、坐标面、卦限)21221221221zzyyxxMM 小小 结结向量在轴上的投影与投影性质向量在轴上的投影与投影性质.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.向量的模与方向角向量的模与方向角.(注意分向量与坐标的注意分向量与坐标的区别区别)利用坐标作向量的利用坐标作向量的线性运算线性运算.思思 考考1.设设求以向量求以向量行四边形的对角线的长度行四边形的对角线的长

19、度.该平行四边形的对角线的长度各为该平行四边形的对角线的长度各为11,3 对角线的长为对角线的长为解：解：为边的平为边的平mnnm,|,|nm|nm)1,1,1(nm)1,3,1(nm3|nm11|nm,2kjn,jim思思 考考解解:因因pnma34)853(4kji)742(3kji)45(kjikji157132.设设,853kjim,742kjin求向量求向量pnma34在在 x 轴上的投影及在轴上的投影及在 y轴上的分向量轴上的分向量.13xa在在 y 轴上的分向量为轴上的分向量为jjay7故在故在 x 轴上的投影为轴上的投影为jip 5,4k作作 业业P 12 4，13，15，18