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1、最大流问题的标号法Ford-Fulkerson增广路径算法一、标号法的基本思路 从一个可行流出发（若网络中没有给定F，则可以设F是零流），经过标号过程和调整过程。1、标号过程 在这个过程中，网络中的顶点或者是标号点（分为已检查和未检查两种），或者是未标号点。每个标号点的标号包含两个部分。第一个标号指明它的标号是从哪一个顶点得到的（前驱指针），以便找出可改进路；第二个标号是为确定可改进量a用的。标号过程开始，总先给Vs标上（0，+），这时Vs是标号而未检查的顶点，其余都是未标号点。一般地，取一个标号而未检查的顶点Vi，对于一切未标号点Vj：（1）若在弧（vi,vj）上，fij0,则给vj标号（-
2、vi,L(vj)）,L(vj)=minL(vi),fji。这时顶点vj成为标号而未检查的顶点。在vi的全部相邻顶点都已标号后，vi成为标号而已检查过的顶点。重复上述步骤，一旦vt被标上号，表明得到一条从vs到vt的可改进路P，转入调整过程；若所有标号都已检查过致使标号过程无法继续时，则算法结束。这时的可行流即最大流。2、调整过程 采用“倒向追踪”的方法，从vt开始，利用标号点的第一个标号逐条弧地找出可改进路P，并以vt的第二个标号L(vt)作为改进量a，改进P路上的流量。例如设vt的第一个标号为vk（或-vk）,则弧(vk,vt)（或相应的弧（vt,vk）是P上的弧。接下来检查vk的第一标号，
3、直到查到vs为止。这时被找出的弧就构成了可改进路P。令a=L（vt）。调整改进P路上的流量：PvjvifPvjviafPvjviaffijijijij),(),(),(并去掉所有的标号，得到新的可行流F=fij,重新进入标号过程，直至检查完所有标号为止。s2143t(5,1)(3,3)(4,3)(2,2)(2,1)(5,3)(1,1)(1,1)(3,0)弧旁的数字是（cij,fij）二、标号法的算法流程 1、数据结构：采用邻接表D存储。Const maxn=xxx;Type link=dtype;dtype=record k:integer;顶点序号 f,c:integer;流量，容量 nex
4、t,pre:link;后向弧指针，前向弧指针 end;Var d:array1.maxn of link;可改进路的数据类型：将当前已标号点的可改进路存储在数组path中，数据元素为可改进路上的结点，结点信息包括标号（前驱结点指针p，当前可改进量d）和弧指针w:Ptype=record p,d:integer w:link;end;Var path:array1.maxn of ptype;队列：采用宽度优先搜索的方法求最大流。Var q:array1.maxn of integer;op,cl:integer;队列指针 2、构造网络D的邻接表。每读入一条弧（u,v）的两个端点u,v及其容量c
5、后，则在Du的邻接表中插入流量为0，容量为c的前向弧（u，v）；在Dv对应的邻接表中插入流量为0，容量为0的后向弧（v,u）。这个过程可以用子过程insert(u,v,c)完成。构造过程：读定点数n，源点序号s和汇点序号t；For i:=1 to n do di:=nil;While D网未读完 do begin 读入当前弧的两个端点u,v及其容量c；insert(u,v,c)；end;Procedure insert(u,v,c:integer);Var x:link;Begin x:=du;While(xnil)and(x.kv)do x:=x.next;If xnil then x.c:
6、=cElse begin new(x);x.k:=v;x.c:=c;x.f:=0;x.next:=du;du:=x;new(x.g);x.g.k:=u;x.g.c:=0;x.g.f:=0;x.g.g:=x;x.g.next:=dv;dv:=x.g;end;3、采用宽度优先搜索求最大流。Procedure ford;Var u,a:integer;x:link;Begin repeat fillchar(path,sizeof(path),0);paths.d:=maxint;paths.p=s;cl:=0;op:=1;qop:=s;while(clop)and(patht.p=0)do beg
7、in inc(cl);u:=qcl;x:=du;while xnil do begin a:=x.c-x.f;if(pathx.k.p=0)and(a0)then begin inc(op);qop:=x.k;pathx.k.p:=u;pathx.k.w:=x;if pathu.da then pathx.k.d:=pathu.d else pathx.k.d:=a;end;x:=x.next;end;end;If patht.p0 thenBegin u:=t;a:=pathu.d;repeat pathu.w.f:=pathu.w.f+a;pathu.w.g.f:=-pathu.w.f;u:=pathu.p;until u=s;EndUntil patht.p=0;End;4、输出最大流的流量Procedure answer;Var I,tot:integer;x:link;Begin tot:=0;for i:=1 to n do begin x:=di;while xnil do begin if x.f0 then 输出弧(i,x.k)及其流量x.f；if(i=s)and(x.f0)then tot:=tot+x.f;x:=x.next;end;end;输出最大流量tot；End;
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