线性代数复习资料

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1、线性代数复习提纲 1行列式的定义第一部分：基本要求（计算方面）用 n2 个元素aij组成的记号称为n阶行列四阶行列式的计算；式。N阶特殊行列 式的计算（如有行和、列和相（1）它表示所有可能的取自不同行不同等）；列 的 n 个元素乘积的代数和；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转 （2） 展开式共有n项，其中符号正负各置、逆等的混合运算）；半；求矩阵的秩、 逆（两种方法）；解矩阵方程； 2行列式的计算含参数的线性方程组解的情况 的讨论；一阶a a行列式，二、三阶行列式有对角线法则；齐次、非齐次线 性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；N阶（ngt3）行列式的计算：降阶 法讨论一个向量能否用和向

2、量组线性表示；定理：n阶行列式的值等于它的任 意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积讨论或证明向量组的相关性； 的和。求向量组的极大无关组，并将多余向量用极 方法：选取比较简单的一行 （列），保保大无关组线性表示；留一个非零元素，其余元素化为0，利用定 理 展开降阶。将无关组正交化、单位化；特殊情况求方阵的特征值和特征向量；上、 下三角形行列式、对角形行列式的值等讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相 似 于主对角线上元素的乘积；变换的矩阵及对角阵； （2）行列式值为0的几 种情况：通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；I行列式某行（列） 元素全为0写出二次型的矩阵，并将二次型标准

3、化，写II行列式某行（列） 的对应元素相同；出变换矩阵；III行列式某行（列）的元素对应成比例；判定 二次型或对称矩阵的正定性。W奇数阶的反对称行列式。第二部分：基本知识 二矩阵一、行列式 1矩阵的基本概念（表示符号、一些特 （注意顺序）殊 矩阵一一如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；（3）可逆的条件：2.矩阵的运 算AHO；rAnA-gtl （1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（4） 逆的求解（2）关于乘法的几个结论： 伴随矩阵法 A-11/AA；A A 的伴 随矩阵 矩阵乘法一般不满足交换律（若AB = BA，称A、B是可交换矩阵）；初 等变换 法（A:I） -gt施行初 等 变换（I:A

4、-1）矩阵乘法一般不满足消去律、 零因式不存在；5.用逆矩阵求解矩阵方程：若A、B为同阶方阵，则ABAB； AXB，贝U X （A-1） B；kAknAXBA,贝U XBA-1；3.矩阵的秩 AXBC,贝U XA-1CB-1三、线性方程组（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩； 1.线性方程组 解的判定（2）秩的求法 一般不用定义求，而用下面结论： 定理：矩阵的初等 变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩lrAbHrA无解；阵的秩等于非零行的个数（每 行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵 2 rAbrAn 有唯一解； 称为行阶梯阵）。 3rAbrAltn 有无穷多组解；求秩：利用初等变换

5、将矩阵化为 阶梯阵得秩。特别地：对齐次线性方程组AX0 4.逆矩阵1rAn只有零解；（1） 定义：A、B为n阶方阵，若AB= 2rAltn有非零解；BA=I,称A可逆，B是 A 的逆矩阵（满足 ；半边也成立）再特别，若为方阵，（2）性质： AB-1B-1A-1， 1AH0只有零解A-1A-1； A B的逆矩阵，你懂的2A0有非零解 有克莱姆法则、 逆矩阵法、消元法（初等变换法）。2.齐次线性方程组四、向量组（1）解的 情况：1. N维向量的定义rAn，（或系数行列式DHO）只有零解；注：向量 实际上就是特殊的矩阵（行矩阵和（或系数行列式D = 0）有无穷多组rAltn, 列矩阵）。非零解。 2

6、.向量的运算：（2）解的结构：（1）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）；Xc1a 1c2a 2Cn-ra n-r。 （ 2 ）向 量内积（3） 求解的方法和步骤：a p a1b1a2b2anbn；将增广矩阵通过行初等变换化为 最简（3）向量长度阶梯阵；a Va a Va12a22-an2 V写出对应同解方程 组；根号移项，利用自由未知数表示所有未知数；（4）向量单位化1/a a ； 表示出基础解系；（5）向量组的正交化（施密特方法）写出通解。设a 1, a 2,，a n线性无关，则3.非齐次线性方程组0 1a 1,（1）解的情况： p 2a 2- （a 2 0 1/0 1 0 ） 0 1,利用判

7、定定理。0 3a 3- 0 1-（a 3 0 1/0 1 0 1）（a 3 0 2/0 2 0 2） 0 2, 。（2）解的结构:3.线性组合Xuc1a 1c2a 2Cn-ra n-r。（1）定义若0 k1a 1k2a 2kna n,（3）无穷多组解的求解方法和步骤：则称0是向量组a 1, a 2，a n的 一个线 性组合，或称0可以用向量组a 1, a 2,，与齐次线性方程组相 同。a n的一个线性表示。（4）唯一解的解法：（2）判别方法 将向量组合 成矩阵，记A=a 1, a 2,，a n, Ba 1, a 2,，a n0 五、矩阵的特征 值和特征向量若r Ar B，贝U 0可以用向量组a

8、 1, a 1.定义 对方阵A,若 存在非零向量X和2,，a n的一个线性表示；数入 使AX=A X,则称入 是矩阵A的特征值，向量X称为矩阵A的对应于特征值入的特征若r AHr B，贝U 0不可以用向量组a 1,向量。a 2,，a n的一个线性表示。 2.特征值和特征向量的求解：（3）求线性表示表达式的方法： 求出特征方程 入I-A0的根即为特征值，将矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯将特征值 入代入对应齐次线性方程组阵，则最后一列元素就是表示的系数。入I-AX=O 中求出方程组的所有非零解即为 特征向量。4.向量组的线性相关性 3.重要结 论：（1）线性相关与线性无关的定义（1） A可逆的充

9、要条件是A的特征值不 等设k1a 1k2a 2-kna n0,于0；若klk2，kn不全为0,称线性相关；A（2）与A的转置矩阵A有相同的特征值；若klk2，kn全为0,称线性无 关。 （3）不同特征值对应的特征向量线性无关。 （2）判别方法：六、矩阵的 相似ra 1, a 2,，a nltn,线性相关；1定义对同阶方阵A、B,若 存在可逆矩阵P,使P-1APB，则称A与B相似。ra 1, a 2,，a nn,线 性无关。2. A与对角矩阵A相似的方法与步骤 求（求若有n个n维向 量，可用行列式判别：P和A）： n阶行列式aij = 0,线性相关（H0无关） 求出所有特征值；行列式太不好打了

10、求出所有特征向量；5.极大无关组与向量 组的秩 若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数（1）定义 极大无关组所含向 量个数称为 相同,则 A 可对角化（否则不能对角化）,向量组的秩 将这 n 个 线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵P,依次将对应特征值构成（2） 求法设A=a 1, a 2,，a n,将对角阵即为A。A化为阶梯阵，则A的 秩即为向量组的秩,而每行的第一个非零元所在列的向量就构 3.求通过正交变 换Q与实对称矩阵A相似成了极大无关组。的对角阵：置、逆等的混合运算）； 方法与步骤和一般矩阵相同,只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化。求 矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；

11、七、二次型 含参数的线性方程组解 的情况的讨论；n齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；1.定 义n元二次多项式fxlx2，xn工aijxixj称为二次型若aijOiHj,则称为 二 讨论一个向量能否用和向量组线性表示；交型的标准型。讨论或证明向量组 的相关性；ij1求向量组的极大无关组，并将多余向量用极2二次型标准化： 大无关组线性表示；配方法和正交变换法。正交变换法步骤与 将无关组正交化、 单位化；上面对角化完全相同，这是由于对正交矩阵Q, Q-1Q，即正交变换既是 相似变换又 求方阵的特征值和特征向量；是合同变换。 讨论方阵能否对角化, 如能,要能写出相似3.二次型或对称矩

12、阵的正定性： 变换的矩阵及对角阵；（1）定义（略）； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵 对角化；（2） 正定的充要条件：写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写A为正定的充 要条件是 A 的所有特征值都 出变换矩阵；大于0； 判定二次型或对称矩阵的 正定性。A为正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于0；第二部分： 基本知识线性代数复习提纲第一部分：基本要求（计算方面） 一、行列式 四阶行列式的计算；1.行列式的定义N阶特殊行列式的计算（如有行和、列 和相用n2个元素aij组成的记号称为n阶行列等）；式。矩阵的运算（包 括加、减、数乘、乘法、转 （1）它表示所有可能的取自不同行不同列的 n

13、 个 元素乘积的代数和；（2）关于乘法的几个结论：（2）展开式共有n项，其 中符号正负各半；矩阵乘法一般不满足交换律（若AB = BA,称A、B是可 交换矩阵）；2.行列式的计算矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存一阶 a a行列式，二、三阶行列式有对角在；线法则；若A、B为同阶方阵， 则ABAB； N阶（ngt3）行列式的计算：降阶法 kAknA定理：n阶行列式的值 等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积 3.矩阵的秩的和。（1）定义 非零子式的最大阶数称为矩阵 方法：选取比较简单的一行（列）， 保保 的秩；留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 （2）秩 的求法

14、 一般不用定义求，而用 下面结论：特殊情况 矩阵的初等变换不改变矩 阵的秩；阶梯形矩上、下三角形行列式、对角形行列式的值等 阵的秩等于非零 行的个数（每行的第一个非于主对角线上元素的乘积； 零元所在列，从此元开 始往下全为0的矩阵 称为行阶梯阵）。（2）行列式值为0的几种情况：求秩： 利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得I行列式某行（列）元素全为0；秩。II行 列式某行（列）的对应元素相同；4.逆矩阵III行列式某行（列）的元素对应 成比例；（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB= BA=I，称A可逆，B是A 的逆矩阵（满足W奇数阶的反对称行列式。；半边也成立）二.矩阵（2） 性质： AB-1B-1A

15、-1，A-1A-1；AB 的逆矩阵，你懂的 1.矩阵的基本概念（表示符号、一些特（注意顺序）殊矩阵一一如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；（3） 可逆的条件：2矩阵的运算AHO；rAnA-gtl （1）加减、数乘、乘 法运算的条件、结果； （4）逆的求解伴随矩阵法 A-11/AA；A A 的伴 （或系 数行列式D = 0）有无穷多组rAltn,随矩阵 非零解。 初等变换法（A:I） -gt 施行初等 变换（2）解的结构：（I:A-1） Xcla 1c2a 2Cn-ra n-r。5用逆 矩阵求解矩阵方程：（3）求解的方法和步骤：AXB，则X （A-1） B；将增广 矩阵通过行初等变换化为最简XBA，

16、则XBA-1；阶梯阵；AXBC，则XA-1CB-1 写出对应同解方程组；三、线性方程组 移项，利用自由未知数表示所有未知 数; 1.线性方程组解的判定表示出基础解系；定理：写出通解。1 rAb#rA 无解；3.非齐次线性方程组2 rAbrAn有唯一解；（1）解的情况：3rAbrAltn 有无穷多组解； 利用判定定理。特别地：对齐次线性方程组 AX0 （2）解的结 构：1 rAn只有零解；Xuc1a 1c2a 2Cn-ra n-r。2 rAltn有非零解；（3）无穷多组解的求解方法和步骤：再特别，若为方阵， 与齐次线性方程组相同。 1AH0只有零解（4）唯一解的解法：2A0有非零解 有克莱姆法则

17、、逆矩阵法、 消元法（初等 变换法） 。 2.齐次线性方程组 四、向量组（1）解的情况： 1.N 维向量的定义rAn，（或系数行列式DH0）只有零解；注：向量实际上就是特 殊的矩阵（行矩阵和a 2,，a n的一个线性表示。列矩阵）。（3）求线 性表示表达式的方法：2.向量的运算： 将矩阵 B 施行行初等变换化为最简阶 梯（1）加减、数乘运算（与矩阵运算相同） ； 阵，则最后一列元素就是表示 的系数。（2 ）向量内积4 向量组的线性相关性a p a1b1a2b2-anbn；（1）线性相关与线性无关的定义（3）向量长度设k1a 1k2a 2-kna n0，a Va a Val2a22an2 丁根号

18、 若klk2，kn不全为0,称线性相关；（4） 向量单位化1/a a ；若klk2，kn全为0,称线性无关。（5）向量组的正 交化（施密特方法）（2）判别方法：设a 1, a 2,，a n线性无关，则 ra 1， a 2，a nltn，线性相关；p 1a 1， ra 1， a 2，a nn，线性 无关。p 2a 2-（a 2 p 1/p 1 p）p 1，若有n个n维向量，可用行列 式判别： p 3a 3-p 1- （a 3 p 1/p 1 p 1）（a 3 p 2/p 2 p 2） n 阶 行列式aij = 0，线性相关（工0无关）p 2，。行列式太不好打了 3线性组合5.极大无关组与向量组的

19、秩（1）定义 若p k1a 1k2a 2kna n，（1）定义 极大无关组所含向量个数称为则称p是向量组a 1，a 2，a n的 一个线向量组的秩性组合，或称p可以用向量组a 1，a 2，a n的一 个线性表示。（2）求法设A=a 1，a 2，a n，将A化为阶梯阵，则A 的秩即为向量组的秩，（2）判别方法 将向量组合成矩阵，记 而每行的第一个 非零元所在列的向量就构成了极大无关组。A=a 1，a 2，a n，Ba 1， a 2，a np五、矩阵的特征值和特征向量若r Ar B，则p可以用向量组 a 1，a 1.定义 对方阵A，若存在非零向量X和2，a n的一个线性表 示；数入 使AX=A X，则称入 是矩阵A的特征值，向量X称为矩阵A的 对应于特征值入 的特征若rAHrB,贝U p不可以用向量组a 1，向量。2.特 征值和特征向量的求解：1.定义n元二次多项式fxlx2，xnE .