拉格朗日中值定理说课

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1、拉格朗日中值定理几何直观b1 2 xoy)(xfy ABCDa教材分析教材分析教法分析教法分析教学目标教学目标教学过程教学过程评价反思评价反思一一.教材分析教材分析一一.教材分析教材分析 微积分学是人类思维的伟大成果之一，是人类经历了微积分学是人类思维的伟大成果之一，是人类经历了25002500多年震撼人心的智力奋斗的结果，它开创了向近代数学多年震撼人心的智力奋斗的结果，它开创了向近代数学过渡的新时期过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法。，为研究变量和函数提供了重要的方法。微分微分中值定理是微分学理论的重要组成部分，在导数应用中起着中值定理是微分学理论的重要组成部分，在导数应用中起着

2、桥梁作用，也是研究函数变化形态的纽带，在微分学中占有桥梁作用，也是研究函数变化形态的纽带，在微分学中占有很重要的地位很重要的地位.拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态，如单联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态，如单调性、变化快慢和极值等性态，这是本章的关键内容。调性、变化快慢和极值等性态，这是本章的关键内容。一一.教材分析教材分析教学重点：教学重点：探求和理解拉格朗日中值定理。探求和理解拉格朗日中值定理。教学难点：教学难点：探求拉格朗日中值定理的条件；探求拉格朗日中值定理的条件；

3、运用定理研究函数单调性。运用定理研究函数单调性。一一.教材分析教材分析 拉格朗日中值定理和函数的单调性可安排拉格朗日中值定理和函数的单调性可安排两课时。本节作为第一课时，重在探求拉格朗两课时。本节作为第一课时，重在探求拉格朗日中值定理，理解拉格朗日中值定理的几何意日中值定理，理解拉格朗日中值定理的几何意义和定理的条件，体会该定理在研究函数性态义和定理的条件，体会该定理在研究函数性态应用中的作用。应用中的作用。二二.教法分析教法分析二二.教法分析教法分析（一）（一）学情分析学情分析 学生已经学习了导数的概念和导数的运算，对微分的定学生已经学习了导数的概念和导数的运算，对微分的定义及运算有了直观的

4、认识和理解。通过体会导数的思想和实义及运算有了直观的认识和理解。通过体会导数的思想和实际背景，已经具备一定的微分思想，但是发现函数与其导数际背景，已经具备一定的微分思想，但是发现函数与其导数是两个不同的概念；而导数只是反映函数在一点的局部特征；是两个不同的概念；而导数只是反映函数在一点的局部特征；而函数反映在其定义域上的整体性态，如何建立两者之间的而函数反映在其定义域上的整体性态，如何建立两者之间的联系呢？多数同学对此有相当的兴趣和积极性。学生在学习联系呢？多数同学对此有相当的兴趣和积极性。学生在学习时可能会遇到以下困难，发现连接曲线两端点的直线段有时时可能会遇到以下困难，发现连接曲线两端点的

5、直线段有时与曲线上某点的切线是平行的，但是又不知是否对所有曲线与曲线上某点的切线是平行的，但是又不知是否对所有曲线都满足都满足?二二.教法分析教法分析（二）教学方法（二）教学方法 1、多媒体辅助教学、多媒体辅助教学 借助多媒体教学手段引导学生发现存在某点借助多媒体教学手段引导学生发现存在某点的切线与连接两端点的线段是平行的，使问题变的切线与连接两端点的线段是平行的，使问题变得直观，易于突破难点；利用多媒体向学生展示得直观，易于突破难点；利用多媒体向学生展示这一过程，体会逼近的思想方法。这一过程，体会逼近的思想方法。2、探究发现法教学、探究发现法教学 让学生通过动手操作课件，经历让学生通过动手操

6、作课件，经历“实验、探实验、探索、论证、应用索、论证、应用”的过程，体验从特殊到一般的的过程，体验从特殊到一般的认识规律，通过学生认识规律，通过学生“动手、动脑、讨论、演练动手、动脑、讨论、演练”增加学生的参与机会，增强参与意识，教给学生增加学生的参与机会，增强参与意识，教给学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为教学主体。成为教学主体。二二.教法分析教法分析（三）学法分析（三）学法分析自主、合作、探究自主、合作、探究借助多媒体技术创设丰富的教学情境，激发学生的学习动机，培养学习借助多媒体技术创设丰富的教学情境，激发学生的学习动机，培养学习兴

7、趣，充分调动学生的学习积极性，倡导学生采用自主、合作、探究的兴趣，充分调动学生的学习积极性，倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。引导学生动手操作课件，指导学生讨论交流从而发现规律，方式学习。引导学生动手操作课件，指导学生讨论交流从而发现规律，培养学生探究问题的习惯和意识以及勇于探索、勤于思考的精神，提高培养学生探究问题的习惯和意识以及勇于探索、勤于思考的精神，提高学生合作学习和数学交流的能力。学生合作学习和数学交流的能力。二二.教法分析教法分析（四）具体措施（四）具体措施 根据以上的分析，本节课采用教师引导与学生根据以上的分析，本节课采用教师引导与学生自主探究相结合，交流与练习相穿插的活动

8、课自主探究相结合，交流与练习相穿插的活动课形式，以学生为主体，教师创设和谐、愉快的形式，以学生为主体，教师创设和谐、愉快的环境及辅以适当的引导。同时，利用多媒体形环境及辅以适当的引导。同时，利用多媒体形象动态的演示功能提高教学的直观性和趣味性，象动态的演示功能提高教学的直观性和趣味性，以提高课堂效率。教学中注重数形结合，从形以提高课堂效率。教学中注重数形结合，从形的角度对概念理解和运用。在这个过程中培养的角度对概念理解和运用。在这个过程中培养学生分析解决问题的能力，培养学生讨论交流学生分析解决问题的能力，培养学生讨论交流的合作意识。的合作意识。三三.教学目标教学目标通过实验探求拉格朗日中值定理

9、条件，通过实验探求拉格朗日中值定理条件，理解拉格朗日中值定理在研究函数性态理解拉格朗日中值定理在研究函数性态中的作用，培养学生分析、抽象、概括中的作用，培养学生分析、抽象、概括等思维能力。等思维能力。掌握知识与技能掌握知识与技能三三.教学目标教学目标体会过程与方法体会过程与方法 在寻找存在某直线与连接曲线两端点的线段平行的过在寻找存在某直线与连接曲线两端点的线段平行的过程中，使学生通过认识用导数来研究函数形态，发现程中，使学生通过认识用导数来研究函数形态，发现数学的美，数学知识的融会贯通；数学的美，数学知识的融会贯通；通过数形结合的思想的具体运用来探讨定理的条件，通过数形结合的思想的具体运用来

10、探讨定理的条件，使学生思维达到严谨，了解科学的思维方法。使学生思维达到严谨，了解科学的思维方法。三三.教学目标教学目标培养情感态度与价值观培养情感态度与价值观在拉格朗日中值定理的探讨过程中，渗透逼近和数形结在拉格朗日中值定理的探讨过程中，渗透逼近和数形结合的思想，使学生了解近似与精确间的辨证关系，激发合的思想，使学生了解近似与精确间的辨证关系，激发学生勇于探索、勤于思考的精神；学生勇于探索、勤于思考的精神；通过讨论、交流、合作、实验操作等活动激发学生学习通过讨论、交流、合作、实验操作等活动激发学生学习数学的兴趣；培养学生合作学习和数学交流的能力。数学的兴趣；培养学生合作学习和数学交流的能力。四

11、四.教学过程教学过程 （一）教学流程图类似类似“卡通形象卡通形象”的教学流程图以的教学流程图以“模块模块”为基本单为基本单元，元，从新课引入从新课引入到到概念建构概念建构，从，从技能技能演练演练到到小结作业小结作业。层层展开，逐层突层层展开，逐层突破。破。情景情景引入引入复习复习引入引入几何几何意义意义具体具体应用应用小结小结概念概念建构建构作业作业演演练练教学程序及设计意图（一）创设情景（一）创设情景 引入新课引入新课提出问题：提出问题：1 1、将、将连接曲线两端点的线连接曲线两端点的线段平行的移动是否发现有某段平行的移动是否发现有某点处的切线与其平行？点处的切线与其平行？提出问题，由学生发

12、现函数提出问题，由学生发现函数与导数之间的联系，那么如与导数之间的联系，那么如何在两者之间架起桥梁呢？何在两者之间架起桥梁呢？让学生感受到进一步探究学让学生感受到进一步探究学习的重要性。习的重要性。教学过程教学过程设计意图设计意图2 2、可从特殊来引导一般，可从特殊来引导一般，假如曲线两端点的函数值相假如曲线两端点的函数值相等，将会有什么结果？等，将会有什么结果？设问引起学生的好奇心，激发学设问引起学生的好奇心，激发学生的求知欲，教学中让学生就此生的求知欲，教学中让学生就此探究进行思考展开讨论。探究进行思考展开讨论。利用认知迁移规律，从学生的利用认知迁移规律，从学生的“最近发展区最近发展区”出

13、发，引导学生出发，引导学生利用已有的知识尝试解决问题，利用已有的知识尝试解决问题，在学生已有的认知结构基础上进在学生已有的认知结构基础上进行新概念的建构。行新概念的建构。教学过程教学过程设计意图设计意图（二）动手操作（二）动手操作 探索求知探索求知1 1、课件操作：、课件操作：学生动手拖动点，观察过曲学生动手拖动点，观察过曲线端点的直线是否能成为某线端点的直线是否能成为某点处的切线，引导给出特殊点处的切线，引导给出特殊情况下定理的内容。情况下定理的内容。2 2、学生自主合作学习：、学生自主合作学习：学生分组讨论交流，计算过学生分组讨论交流，计算过曲线两端点的直线的斜率和曲线两端点的直线的斜率和

14、函数的导函数，自主合作探函数的导函数，自主合作探求直线的斜率和某点处导数求直线的斜率和某点处导数的关系，教师在自主合作之的关系，教师在自主合作之后看学生得出的结论。后看学生得出的结论。通过逼近方法，知道在曲线上存在通过逼近方法，知道在曲线上存在某点处的切线平行与过曲线端点的某点处的切线平行与过曲线端点的直线适用于处处有不垂直于直线适用于处处有不垂直于x x轴的切轴的切线的曲线，这一定理将函数与其导线的曲线，这一定理将函数与其导数建立起联系。数建立起联系。借助多媒体教学手段引导学生发现借助多媒体教学手段引导学生发现定理的几何意义，使问题变得直观，定理的几何意义，使问题变得直观，易于突破难点；学生

15、在过程中，可易于突破难点；学生在过程中，可以体会逼近的思想方法。最后的证以体会逼近的思想方法。最后的证明环节，能够同时从数与形两个角明环节，能够同时从数与形两个角度强化学生对拉格朗日中值定理的度强化学生对拉格朗日中值定理的理解。理解。教学过程教学过程设计意图设计意图（三）灵活运用（三）灵活运用 透析内涵透析内涵求函数求函数 在在0,20,2上满足拉上满足拉格朗日中值定理条件的格朗日中值定理条件的？解：解：，由拉格朗日中值定理得：由拉格朗日中值定理得：这是学生思维上升的这是学生思维上升的又一个层次，设计该又一个层次，设计该题目的在于加深学生题目的在于加深学生对导数刻画函数单调对导数刻画函数单调性

16、的理解，通过它及性的理解，通过它及时发现学生的问题，时发现学生的问题，及时纠正，能对学生及时纠正，能对学生情况给予及时评价。情况给予及时评价。教学过程教学过程设计意图设计意图2()f xx()2fxx22202(20)1.（四）巩固知识，提升思维（四）巩固知识，提升思维 已知导函数已知导函数 的下列信息：的下列信息：设函数设函数 在在 上连续，上连续，在在 内可导，则有：内可导，则有：（1 1）如果在）如果在 内内 ，则则 在在 上单调增加；上单调增加；（2 2）如果在）如果在 内内 ，则则 在在 上单调减少；上单调减少；设计这个问题的目的有设计这个问题的目的有三个：三个：第一，让学生描述在一

17、第一，让学生描述在一点附近曲线的变化情况，点附近曲线的变化情况，体会以直代曲的思想方体会以直代曲的思想方法；法；第二，让学生深刻理解第二，让学生深刻理解拉格朗日中值定理架起拉格朗日中值定理架起函数和导数之间的桥梁；函数和导数之间的桥梁；第三，让学生观察、探第三，让学生观察、探讨函数的单调性与其导讨函数的单调性与其导函数正负的关系。函数正负的关系。教学过程教学过程设计意图设计意图()fx0)(xf),(ba)(xf,ba)(xf,ba0)(xf，)(xf),(ba,ba),(ba（五）自主小结（五）自主小结 整体把握整体把握（六）布置作业（六）布置作业 拓展提高拓展提高(1)(1)阅读作业：收集

18、有关微积分创立的时代背景阅读作业：收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料和有关人物的资料(2)(2)书面作业：书面作业：1 1 2.(3)(3)拓展作业：拓展作业：3.3.启发学生自主小结，知识性内启发学生自主小结，知识性内容的小结，可把课堂所学知识容的小结，可把课堂所学知识尽快化为学生的素质；数学思尽快化为学生的素质；数学思想方法的小结，可使学生更清想方法的小结，可使学生更清晰地梳理数学思想方法，并且晰地梳理数学思想方法，并且逐渐养成科学的思维习惯。逐渐养成科学的思维习惯。针对学生素质的差异进行分层针对学生素质的差异进行分层训练，既注重训练，既注重“双基双基”，又兼，又兼顾提高，为学生

19、指明课后继续顾提高，为学生指明课后继续学习的方向，同时为以后的学学习的方向，同时为以后的学习留下悬念，激发学生探索的习留下悬念，激发学生探索的兴趣。兴趣。教学过程教学过程设计意图设计意图1、知识技能小结、知识技能小结2、思想方法小结、思想方法小结小结提高小结提高拉格朗日拉格朗日中值定理中值定理直观直观理解理解内涵内涵理解理解知识知识运用运用核心概念核心概念数学数学思想思想知识技能知识技能思想方法思想方法五五.评价与反思评价与反思 1、板书设计：板书设计：课题 概念 理解 运用例题小结投影屏幕五五.说明和反思说明和反思2 2、时间安排：、时间安排：新课引入约新课引入约10分钟，分钟，探索求知探索

20、求知约约1010分钟，分钟，灵活运用约灵活运用约2020分钟，分钟，小结提高约小结提高约5 5分钟分钟。五五.说明和反思说明和反思情景情景引入引入复习复习引入引入几何几何意义意义具体具体运用运用小结小结概念概念建构建构作业作业演演练练本节课设计为一节本节课设计为一节“科学探究科学探究合作学习合作学习”的活的活动课，在整个教学过程中学生以探索者的身份学动课，在整个教学过程中学生以探索者的身份学习，在问题解决过程中，通过自身的体验对知识习，在问题解决过程中，通过自身的体验对知识的认识从模糊到清晰，从直观感悟到精确掌握。的认识从模糊到清晰，从直观感悟到精确掌握。力求使学生体会微积分的基本思想，感受力求使学生体会微积分的基本思想，感受近似与精近似与精确的统一，运动和静止的统一，感受量变到质变的确的统一，运动和静止的统一，感受量变到质变的转化。希望利用这节课渗透辨证法的思想精髓。转化。希望利用这节课渗透辨证法的思想精髓。教师在这个过程中始终扮演学生学习的协作者和教师在这个过程中始终扮演学生学习的协作者和指导者。学生通过自身的情感体验，能够很快的指导者。学生通过自身的情感体验，能够很快的形成知识结构，并将其转化为数学能力。形成知识结构，并将其转化为数学能力。过程反思过程反思