第2章-单缝和圆孔衍射3N

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1、夫夫 琅琅 禾禾 费费 单单 缝缝 衍衍 射射衍射角衍射角（衍射角（衍射角 ：向上为正，向下为负：向上为正，向下为负 .）bofLPRABsinbPCxx1.1.实验装置实验装置衍射屏狭缝缝宽为衍射屏狭缝缝宽为b b，缝长为缝长为 a，且，且.ba2.2.光强公式光强公式a a）把单缝处的波面分割成许多小窄条，面积）把单缝处的波面分割成许多小窄条，面积 ds=adx,ds=adx,它们是振幅相等，初相位相等的子波它们是振幅相等，初相位相等的子波源，向各个方向（源，向各个方向（立体角）发出次级子波立体角）发出次级子波.b b）来自不同面元，具有相同衍射角）来自不同面元，具有相同衍射角 的光的光波

2、，会聚在屏幕上同一点波，会聚在屏幕上同一点 P.P.处理方法步骤：处理方法步骤：在在 衍射方向上，单缝边缘光束的光程差为衍射方向上，单缝边缘光束的光程差为sin,b 设：设：距中心距中心为为x x的面元的面元dsds到到P P点的光程为点的光程为r r，缝，缝中心处的面元到中心处的面元到P P点的光程为点的光程为r r0 0，则这两光程，则这两光程之差为之差为,sin0 xrrr由惠更斯由惠更斯-菲涅耳原理，菲涅耳原理，P P点光振动的复振幅为点光振动的复振幅为i()()()edkrtSA QECKSr夫琅和费衍射中，考虑傍轴近似（夫琅和费衍射中，考虑傍轴近似（cos1）：）：1cosK()1

3、.2.11100rrrr.sinxr 0i()i0()eedkrtk rSKAECSrr0()bikrbEPC E aedx22将积分号中常数提到积分号外，解得：将积分号中常数提到积分号外，解得：sin0bik xbC E aed x22sin0sinbik xbeCE aik220sinsin2sin2kbCE ak0sinsin2().sinbCE abkb令令sin,bu物理意义：边缘光束在物理意义：边缘光束在 衍射衍射方向上相位差之半方向上相位差之半.因此因此sin().uE PEu或写为或写为()sin.E PEucP P 点的光强为点的光强为（）：（）：.)()(PEPEIP式中：

4、式中：22002sinsin.PuIIIc uu20,IEsin.bu3.3.光强分布特征光强分布特征当当 时，时，22sin uu为不定式为不定式求极值求极值220sinlim1.uu.00II在在屏幕中央屏幕中央，各光束同相位，相干叠各光束同相位，相干叠加后产生加后产生极大光强极大光强.(1)(1)中央衍射极大中央衍射极大(2)各级衍射极小各级衍射极小当当uk 时，时，(1,2,)k.0)(sin220kkII即当即当sin,bk sinbk 时时为衍射极小为衍射极小.衍射极小对应的衍射角为衍射极小对应的衍射角为112sin(),sin(),bb夫琅和费衍射中，衍射角很小，则有：夫琅和费衍

5、射中，衍射角很小，则有：因此各极小近似等间距，因此各极小近似等间距，(3)(3)各级衍射次极大各级衍射次极大对光强求极值，令对光强求极值，令0,dIdu得得.tguu为超越方程为超越方程,2,bb作图求解作图求解2243.143.1ytguyu光强曲线光强曲线00.15.02230IIu0uy解得解得各次极大能量很小，且越往外越小各次极大能量很小，且越往外越小.绝大部分绝大部分（85%85%以上）能量集中在中央衍射极大中以上）能量集中在中央衍射极大中.近似满足：近似满足：sin(21)(1,2,.)2bkk:u,46.2,47.3:I,%)7.4(0I,I%)7.1(000.8%),(I1.4

6、3,sinIob2b3bb2b3b（4 4）光强分布图光强分布图sin22bkk 干涉相消（干涉相消（）sin(21)2bk 干涉加强（干涉加强（）sinIobb2b3bb2b31L2LfbSRPOxxsinfx当当 较小时，较小时，xfbfbfb2fb2fb3fb3RPLobf,sin,fxfxbbsinkkb22sin干涉相消（干涉相消（）2)12(sinkb干涉加强（干涉加强（）4.讨讨 论论（1）第一暗纹距中心的距离第一暗纹距中心的距离fbfx1第一暗纹的衍射角第一暗纹的衍射角barcsin1x 一定，一定，越大，越大，越大，衍射效应越明显越大，衍射效应越明显.b1光直线传播光直线传播

7、0,01b 增增大大，减减小小1b 一定一定减减小小，增增大大1b2,1b衍射最大衍射最大barcsin1第一暗纹的衍射角第一暗纹的衍射角线宽度线宽度fbxl2210（2）中央明纹的角宽度和线宽度中央明纹的角宽度和线宽度两第一衍射极小之间的角距离就是中央极大的两第一衍射极小之间的角距离就是中央极大的角宽度角宽度:角宽度角宽度0122b 单缝宽度变化，中央明纹宽度如何变化？单缝宽度变化，中央明纹宽度如何变化？越大，越大，越大，衍射效应越明显越大，衍射效应越明显.1 入射波长变化，衍射效应如何变化入射波长变化，衍射效应如何变化?oRf（4 4）单缝衍射的动态变化单缝衍射的动态变化单缝上移，零级明单

8、缝上移，零级明纹仍在透镜光轴上纹仍在透镜光轴上.单缝单缝上下上下移动，根据透镜成像原理衍射图移动，根据透镜成像原理衍射图不不变变 .（3）其他条纹宽度（相邻条纹间距）其他条纹宽度（相邻条纹间距）kkb22sin干涉相消（干涉相消（）2)12(sinkb干涉加强（干涉加强（）bffflkk 1除了中央明纹外的其除了中央明纹外的其它明纹、暗纹的宽度它明纹、暗纹的宽度bABbAB（5 5）入射光非垂直入射时光程差的计算入射光非垂直入射时光程差的计算(sinsin)bBCDB（中央明纹（中央明纹向下向下移动）移动）DABC(sinsin)b（中央明纹（中央明纹向上向上移动）移动）DCDC例例1：用波长

9、为：用波长为632.8nm的平行光垂直照射宽为的平行光垂直照射宽为0.02cm的狭缝，缝后放置一焦距为的狭缝，缝后放置一焦距为f=60cm的透镜，光屏放在的透镜，光屏放在透镜焦平面。求：衍射图样中心至第二暗纹的距离。透镜焦平面。求：衍射图样中心至第二暗纹的距离。解：第二级暗纹解：第二级暗纹sin2b2sinbsinxtgf又如图：又如图：93632.8 102 2 603.8 10()0.02xfmb f x两个同方向、同频率的振动的合成：两个同方向、同频率的振动的合成：111cos()xAt222cos()xAt质点同时参与两个振动质点同时参与两个振动:该质点的振动为这两个振动的合成该质点的

10、振动为这两个振动的合成,12cos().xxxAt合成振动还是简谐振动合成振动还是简谐振动.5.5.振幅矢量法求光强振幅矢量法求光强11A1xxOAx21xxx2x2A2合振动的振幅和相位为合振动的振幅和相位为:2221212212cos().AAAA A111221122sinsin.coscosAAtgAA上面的振幅矢量图解法还可以表示为上面的振幅矢量图解法还可以表示为11A2AA0X1A振幅矢量法求夫琅和费单缝衍射光强公式振幅矢量法求夫琅和费单缝衍射光强公式将狭缝处波面沿缝长方向划出将狭缝处波面沿缝长方向划出N N条小窄条条小窄条,这些小这些小窄条是振辐相等、初相位相同的次级子波源窄条是

11、振辐相等、初相位相同的次级子波源,发出次级发出次级子波，相同衍射角的平行光会聚于同一点子波，相同衍射角的平行光会聚于同一点P P.P.P点的合振点的合振动用旋转矢量法表示。动用旋转矢量法表示。对于屏幕的中心对于屏幕的中心,是等光程点是等光程点,因此各子波源在此因此各子波源在此 的振动同相位的振动同相位,各振幅矢量首位相接各振幅矢量首位相接,连成一条直线连成一条直线.2ANAiA0A.210NiAAAAA因此因此,在屏幕中心处在屏幕中心处,振幅最大振幅最大,因而光强也最大因而光强也最大,令为令为I I0 0 .1A2A而而对应对应 衍射方向的衍射光衍射方向的衍射光,该方向缝边缘光束该方向缝边缘光

12、束)1(NAR202 sin22sin22sin2ARCDA0sin.uAAu202sin.uIIu2sin2sinbb 光程差：光程差：相位差：相位差：合振辐：合振辐：即：即：CDPHL（二）（二）圆孔衍射圆孔衍射艾艾里里斑斑dDfd22.12：艾里斑直径：艾里斑直径ddfDLP 设圆孔的半径为设圆孔的半径为R,R,屏幕上屏幕上P P点对应的衍射角为点对应的衍射角为,令令,sin2R为圆孔中心和边缘次级子波源在为圆孔中心和边缘次级子波源在P P点的光振动的点的光振动的相位差相位差.由夫琅和费衍射积分公式求得由夫琅和费衍射积分公式求得P点的衍射点的衍射光强光强.1.1.光强分布公式光强分布公式

13、.)(2210JIIP一一 圆孔衍射特点分析圆孔衍射特点分析.)(2210JIIP式中式中I I0 0为屏幕中心的光强，为屏幕中心的光强，J J1 1是一级是一级贝塞耳贝塞耳函数，函数，它是一它是一个个特殊函数，可以展开为级数特殊函数，可以展开为级数.642422)(225231J以以 sinsin 为横坐标，以为横坐标，以 I IP P/I/I0 0 为纵坐标，可以为纵坐标，可以将（将（4-3-14-3-1）式用曲线表示）式用曲线表示.0II0.10sinR61.0R12.1夫琅和费圆孔衍射光强分布曲线夫琅和费圆孔衍射光强分布曲线sin0I I中央主极大中央主极大第一极小第一极小第一次极大第

14、一次极大第二极小第二极小00.61 /R0.81 /R1.12 /R10.0175002.光强分布曲线光强分布曲线夫琅和费圆孔衍射图样中央是一很亮的圆斑夫琅和费圆孔衍射图样中央是一很亮的圆斑,集中集中了衍射光能量的了衍射光能量的83.8%,83.8%,通常称为爱里斑通常称为爱里斑 .它的它的中心是点光源的几何光学像中心是点光源的几何光学像 ,半角宽半角宽 0 0决定于决定于第一极小的衍射角第一极小的衍射角.22.161.00DR式中式中D=2R,D=2R,为圆孔的直径为圆孔的直径 .爱里斑的半径为爱里斑的半径为0221.22.ffD（4-3-2）（4-3-3）为透镜为透镜L L2 2的焦距的焦

15、距.2f 3.衍射图样特点衍射图样特点二二瑞利判据瑞利判据任何透镜任何透镜,反射镜都有通光孔径反射镜都有通光孔径,即使不加即使不加光阑光阑,入射光波也会受到限制入射光波也会受到限制.因此因此,任何光学任何光学仪器仪器,即使像差得到了很好的校正或消除即使像差得到了很好的校正或消除,点物点物也不会成点像也不会成点像 ,而是形成衍射光斑而是形成衍射光斑,这直接影响这直接影响了成像质量了成像质量.若物面上的两物点的衍射斑重叠的厉害若物面上的两物点的衍射斑重叠的厉害,就就不能分辨出是两物点不能分辨出是两物点,这就有了光学仪器的分这就有了光学仪器的分辨本领辨本领.1.1.瑞利判据瑞利判据 对于两个强度相等

16、的不相干的点光源（物点），对于两个强度相等的不相干的点光源（物点），一个点光源的衍射图样的一个点光源的衍射图样的主极大主极大刚好和另一点光源刚好和另一点光源衍射图样的衍射图样的第一极小第一极小相相重合重合，这时两个点光源（或，这时两个点光源（或物点）恰为这一光学仪器所分辨物点）恰为这一光学仪器所分辨.08.0 I应用瑞利判据的条件：应用瑞利判据的条件：（2 2）被成像的两光源点须是不相干的）被成像的两光源点须是不相干的.（3 3）两光源的频率，强度相差不大）两光源的频率，强度相差不大.系统的像差得到充分校正，达到了许可范围系统的像差得到充分校正，达到了许可范围.(1)（像差较大的爱里斑（像差较

17、大的爱里斑,外围次极大的光强外围次极大的光强远远超过了远远超过了16%16%，它们大大影响分辨本领），它们大大影响分辨本领）*1s2sf02.2.光学仪器的分辨本领光学仪器的分辨本领2dDfd22.120D22.10最小分辨角最小分辨角（两光点刚好能分辨）（两光点刚好能分辨）光学仪器分辨率光学仪器分辨率22.110D1,DDfd22.12光学仪器的通光孔径光学仪器的通光孔径D 例例1 设人眼在正常照度下的瞳孔直径约为设人眼在正常照度下的瞳孔直径约为3mm，而在可见光中，人眼最敏感的波长为而在可见光中，人眼最敏感的波长为550nm，问问（1）人眼的最小分辨角有多大？人眼的最小分辨角有多大？（2）

18、若物体放在距人眼若物体放在距人眼25cm（明视距离）（明视距离）处，则两物点间距为多大时才能被分辨？处，则两物点间距为多大时才能被分辨？解（解（1）D22.10rad102.24（2）m103m105.522.13740102.2cm25ld0.055mmcm0055.0德国陶登堡天文台的施密特望远镜德国陶登堡天文台的施密特望远镜小结小结一、夫琅和费单缝衍射一、夫琅和费单缝衍射当当 时，时，(1)(1)中央衍射极大中央衍射极大220sinlim1.uu.00II202sin.bIIb光强公式光强公式sin,bu其中：(2)各级衍射极小各级衍射极小sinbk 各极小近似等间距，各极小近似等间距，(3)(3)各级衍射次极大各级衍射次极大sin(21)(1,2,.)2bkk(4)(4)中央明条纹的角宽度和线宽度中央明条纹的角宽度和线宽度 （是其它明条纹宽度的两倍）（是其它明条纹宽度的两倍）:10122sin2.bb02.xfbD22.10最小分辨角最小分辨角光学仪器分辨率光学仪器分辨率22.110D1,D二圆孔衍射二圆孔衍射光学仪器的分辨本领光学仪器的分辨本领作业：nP148n7，8，9