空间解析几何-第2章空间的平面与直线

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1、2023-1-22解析几何解析几何第第2章章 空间的平面与直线空间的平面与直线xyzo0MM 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做于一平面，这向量就叫做该平面的该平面的法线向量法线向量法线向量的法线向量的特征特征：垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量已知已知,CBAn ),(0000zyxM设平面上的任一点为设平面上的任一点为),(zyxMnMM 0必有必有00 nMMn 一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程2.1.1 2.1.1 平面的方程平面的方程,0000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA平面的点法式方程平面的点法式方程 平面上的

2、点都满足上方程，不在平面上的平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形平面称为方程的图形其中法向量其中法向量,CBAn 已知点已知点).,(000zyx例例 1 1 求求过过三三点点)4,1,2(A、)2,3,1(B和和)3,2,0(C的的平平面面方方程程.解解6,4,3 AB1,3,2 AC取取ACABn ,1,9,14 所求平面方程为所求平面方程为,0)4()1(9)2(14 zyx化简得化简得.015914 zyx例例 2 2 求求过过点点)1,1,1(，且且垂垂直直于于平平面面7 zyx和和05

3、1223 zyx的的平平面面方方程程.,1,1,11 n12,2,32 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10,0)1(5)1(15)1(10 zyx化简得化简得.0632 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解l例例3 已知两点已知两点M(1,-2,3)与与N(3,0,-1)，求线段，求线段MN的垂直平分面方程。的垂直平分面方程。由平面的点法式方程由平面的点法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量.,CBAn 二、平面的一般式方程二、平面的一般式方程？即即 任一平面任一平面表示

4、表示0 DCzByAx（A,B,C不同时为零）不同时为零）不妨设不妨设0 A，则，则 000 zCyBADxA，为一平面，为一平面.平面一般式方程的几种特殊情况：平面一般式方程的几种特殊情况：,0)1(D平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；,0)2(A ,0,0DD平面通过平面通过 轴；轴；x平面平行于平面平行于 轴；轴；x,0)3(BA平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；xoy类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0,0 CBCA0,0 CB类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程,0)4(DBA.,0面面即即有有xoyz 设平面为设平面为,0 DC

5、zByAx由平面过原点知由平面过原点知,0 D由由平平面面过过点点)2,3,6(知知0236 CBA,2,1,4 n024 CBA,32CBA .0322 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解例例 4 4 设平面过原点及点设平面过原点及点)2,3,6(，且与平面，且与平面824 zyx垂直，求此平面方程垂直，求此平面方程.l例例5 求通过点求通过点M(2,-1,1)与与N(3,-2,1)，且平行于，且平行于z轴的平面的方程轴的平面的方程设平面为设平面为,0 DCzByAx将三点坐标代入得将三点坐标代入得 ,0,0,0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解例例 6 6 设平面与设

6、平面与zyx,三轴分别交于三轴分别交于)0,0,(aP、)0,0(bQ、),0,0(cR（其中（其中0 a，0 b，0 c），），求此平面方程求此平面方程.,aDA ,bDB ,cDC 将将代入所设方程得代入所设方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x轴轴上上截截距距y轴轴上上截截距距z轴轴上上截截距距xyzoabc设平面为设平面为,1 czbyaxxyzo,1 V,12131 abc由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得,611161cba （向量平行的充要条件）（向量平行的充要条件）解解例例 7 7 求平行于平面求平行于平面0566 zyx而与三个坐而与三个坐

7、标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.,61161cba 化简得化简得令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入体积式代入体积式,61 t,1,6,1 cba.666 zyx所求平面方程为所求平面方程为或或.666 zyx2023-1-22已知平面上一点和不共线两个向量已知平面上一点和不共线两个向量,求通过该点与两向量平行的平面求通过该点与两向量平行的平面点位式点位式/坐标式参数方程坐标式参数方程点位式（或）点位式（或）坐标式参数方程坐标式参数方程(2.1.2)2023-1-22已知不共线的三点已知不共

8、线的三点,求通过三点的平面求通过三点的平面三点式方程三点式方程(2.1.6)向量式法式方程向量式法式方程(2.1.10)坐标式法式方程坐标式法式方程(2.1.11)以上共介绍了多少种方法以上共介绍了多少种方法?哪些方法适用于仿射坐标系哪些方法适用于仿射坐标系?哪些方法适用于直角坐标系哪些方法适用于直角坐标系?练习练习1l1.通过点通过点M(3,1,-1)和和N(1,-1,0)且平行于矢量且平行于矢量 -1,0,2的平面的平面.l2.通过点通过点M(1,-5,1)和和N(3,2,-2)且垂直于且垂直于xOy坐坐标面的平面标面的平面.l3.已知四点已知四点(5,1,3),B(1,6,2),C(5,

9、0,4),D(4,0,6),求通过直线求通过直线AB且平行于直线且平行于直线CD的平面，并求的平面，并求通过直线通过直线AB且与三角形且与三角形ABC所在平面垂直的所在平面垂直的平面平面.l4.过点过点M(3,2,-4)且在且在x轴和轴和y轴上截距分别为轴上截距分别为-2和和-3的平面的平面l5.已知两点已知两点M1(3,-1,2)和和M2(4,-2,-1)，通过，通过M1且垂直于且垂直于M1M2的平面的平面l6.已知平面上三点已知平面上三点A(3,-1,2)B(4,-2,-1)C(3,2,-4)，求平面方程。，求平面方程。l求通过直线求通过直线 ，且在，且在y轴与轴与z轴上轴上截距相等的平面

10、方程截距相等的平面方程xyzo1 2 定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程空间直线的一般方程L（注：两平面不平行）（注：两平面不平行）一一、空间直线的一般方程、空间直线的一般方程2.1.2 2.1.2 空间直线的方程空间直线的方程xyzo方向向量的定义：方向向量的定义：如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量sL),(0000zyxM0M M,LM ),(z

11、yxMsMM0/),(pnms ,0000zzyyxxMM 二、空间直线的对称式方程二、空间直线的对称式方程pzznyymxx000 直线的对称式方程直线的对称式方程（标准方程、点向式（标准方程、点向式方程）方程）,:pzznyyxx,p,nm0000000 时时，方方程程仍仍然然写写为为为为零零时时，比比如如当当方方向向向向量量的的某某个个坐坐标标注注,时时，方方程程也也仍仍然然写写为为标标为为零零时时，比比如如当当方方向向向向量量的的某某两两个个坐坐pzzyyxx,p,nm00000000 pzznyyxx0000线线此此时时理理解解为为二二平平面面的的交交(考考虑虑其其几几何何意意义义)

12、理理解解为为交交线线 0000yyxx因此因此,所求直线方程为所求直线方程为 22121 zyx例例1 1 求过点求过点(1,0,-2)且与平面且与平面3x+4y-z+6=0平行平行,又与直线又与直线 垂直的直线方程垂直的直线方程.14213zyx解解:设所求线的方向向量为设所求线的方向向量为,s已知平面的法向量已知平面的法向量),1,4,3(n已知直线的方向向量已知直线的方向向量 ,1,4,11 s取取1sns 1411431kjisns 2,1,248,4,8 三、空间直线的参数式方程三、空间直线的参数式方程直线的一组直线的一组方向数方向数tpzznyymxx 000令令 ptzzntyy

13、mtxx000方向向量的余弦称为直方向向量的余弦称为直线的线的方向余弦方向余弦.直线的参数方程直线的参数方程pzznyymxx000 由由直线的对称式方程直线的对称式方程例例2 2 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线.043201 zyxzyx解解在直线上任取一点在直线上任取一点),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2,000 zy点坐标点坐标),2,0,1(因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取21nns ),3,1,4(对称式方程对称式方程,321041 zyx得参数方程得参数方程.3241 tztytx

14、,321041tzyx 令令解解因因为为直直线线和和y轴轴垂垂直直相相交交,所以交点为所以交点为),0,3,0(B取取BAs ),4,0,2(所求直线方程所求直线方程.440322 zyx.44223 zxy或或例例 3 3 一直线过点一直线过点)4,3,2(A，且和，且和y轴垂直轴垂直 相相交，求其方程交，求其方程.2023-1-22四、空间直线的两点式方程四、空间直线的两点式方程(2.1.15)另另,直角坐标系下的参数式和对称式直角坐标系下的参数式和对称式,即直即直线线l的方向向量可取成单位向量的方向向量可取成单位向量(方向余弦方向余弦),2023-1-222.2.1 2.2.1 空间两平

15、面的相关位置空间两平面的相关位置 相交相交 平行平行 重合重合定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 （所成（所成锐角锐角）称为直线与平面）称为直线与平面的夹角的夹角,:000pzznyymxxL ,0:DCzByAx),(pnms ),(CBAn 2),(ns,2),(ns 0.2 2.2.2 2.2.2 直线与平面的相关位置直线与平面的相关位置222222|sinpnmCBACpBnAm 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系：L)1(.pCnBmA L)2(/.0 CpBnAm.2cos 2cossin解解),

16、2,1,1(n),2,1,2(s222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21|.637 637arcsin 为所求夹角为所求夹角直线与平面的交点直线与平面的交点0000 xxyyzzLmnpAxByCzDLL设设直直线线：,平平面面：与与不不平平行行，求求 与与的的交交点点.：解解题题步步骤骤点点坐坐标标。的的参参数数方方程程，即即可可得得交交入入.代代Lt03,的的值值的的方方程程，求求得得.代代入入平平面面02tt的的参参数数方方程程：.写写出出L1ptzznt,yymt,xx 000分析分析:关键是求得直线上另外关键是求得直线上另外一个点一个点 M M1 1.

17、M.M1 1在过在过M M且平行且平行于于 平面平面 P P 的一个平面的一个平面P P1 1上上,待求直线又与已知直线相交待求直线又与已知直线相交,交点既在交点既在P P1 1上上,又在又在 L L上上,因此是因此是L L与与P P1 1的交点的交点.例例2 2 求过点求过点 M(-1,2,-3),且平行于平面且平行于平面 ,532131:zyxL,01326:zyxP又与直线又与直线相交的直线方程相交的直线方程.解解 过过M作平行于作平行于 平面平面 P 的一个平的一个平P1 PMLP1M1 求平面求平面 P1与已知直线与已知直线 L的交点的交点 tzyxzyx53213101326),(

18、，31101,Mt 解解得得),6,3,2(1 MMs633221 zyxP1:0)3(3)2(2)1(6 zyx01326 zyx即即P1:定理定理3.7.1 3.7.1 判定空间两直线判定空间两直线 的相关位置的充要条件为：的相关位置的充要条件为：异面异面 相交相交 平行平行 重合重合11122212111222:,:xxyyzzxxyyzzllXYZXYZ2121211112220 xxyyzzXYZXYZ 1112220,:XYZXYZ 111222212121:XYZXYZxxyyzz 111222212121:XYZXYZxxyyzz一、空间两直线的相关位置一、空间两直线的相关位置

19、2.2.3 2.2.3 空间两直线的相关位置空间两直线的相关位置例例 求通过点求通过点 且与两直线且与两直线都相交的直线的方程都相交的直线的方程.1,1,1P12123:,:123214xyzxyzll解解：设直线方程为：111xyzXYZ1122(,)020(,)020M P vvXYZMP vvXYZ :0:1:2XYZ 求得111012xyz0:1:21:2:30:1:22:1:4所以直线方程为：定义定义直线直线:1L,111111pzznyymxx 直线直线:2L,222222pzznyymxx ),(cos)(cos2121vvLL，两直线的方向向量的两直线的方向向量的夹角或其补角夹

20、角或其补角称之称之为该两直线的夹角为该两直线的夹角.两直线的夹角公式两直线的夹角公式222222212121212121pnmpnmppnnmm)(cos21LL，空间两直线的夹角空间两直线的夹角两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(LL ,0212121 ppnnmm21/)2(LL,212121ppnnmm 直线直线:1L直线直线:2L),0,4,1(1 s),1,0,0(2 s,021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即解解设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为),(pnms 根据题意知根据题意知,1ns,2ns 取取21nns=),1,3,4(.153243 z

21、yx所求直线的方程所求直线的方程解解先作一过点先作一过点M且与已知且与已知直线垂直的平面直线垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N,令令tzyx 12131.1213 tztytx MNL 代入平面方程得代入平面方程得 ,73 t交点交点)73,713,72(N取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为MNMN)373,1713,272(),724,76,712(所求直线方程为所求直线方程为.431122 zyx2023-1-222.3 2.3 平面束平面束 共轴平面束共轴平面束 平行平面束平行平面束 求平面方程的另一种方法求平面方

22、程的另一种方法平面束法平面束法2023-1-22如果直线L用一般式方程表示 设 ，为不同时为零的任意实数，则就表示以L为轴的平面束方程平面束方程.2023-1-222023-1-222023-1-2211cos4n nn nxyzoL 0000,zyxP dsP1 ,pnms 0000,zyxP是是L外一点外一点,设直线设直线L,求求P0到到L的距离的距离d.设设 为为L上上任一点，如图任一点，如图 1111,zyxPS,ds S又又,01sPP 于是于是sPP 01ds.01ssPPd 点到直线的距离公式点到直线的距离公式2.4.1 2.4.1 空间直线与点的相关位置空间直线与点的相关位置例

23、例1010 求点求点(5,4,2)到直线到直线113321 zyx的距离的距离d.解解 ,1,3,2,1,3,1,2,4,510 sPP取取 ,1,1,601 PP则则 ,14132222 s 16,8,413211601 kjisPP则则 .6214168422201 ssPPd 设设),(0000zyxP是平面是平面ByAx 0 DCz 外一点，求外一点，求0P到平面的距离到平面的距离.),(1111zyxP|Pr|01PPjdn 1PNn0P nnePPPPj 0101Pr,10101001zzyyxxPP 解解2.4.2 2.4.2 平面与点的相关位置平面与点的相关位置 2222222

24、22,CBACCBABCBAAen222102221022210)()()(CBAzzCCBAyyBCBAxxA ,)(222111000CBACzByAxCzByAx nnePPPPj 0101Pr0111 DCzByAx)(1 P 01PrPPjn,222000CBADCzByAx .|222000CBADCzByAxd 点到平面距离公式点到平面距离公式间间的的距距离离.求求两两平平面面4363,121zyxyxz 例例,解解)363),121(21 ,n,n(.先先判判断断两两平平面面是是否否平平行行./31623121nn 在第一个平面内任取一点，比如（在第一个平面内任取一点，比如（0

25、，0，1），），.6373634130603222 )(d平面划分空间问题平面划分空间问题l空间上任何一点空间上任何一点M对平面的离差对平面的离差l例题例题 已知平面：已知平面：x+2y-3z+4=0，点，点O(0,0,0),A(1,1,4),B(1,0,-2),C(2,0,2),D(0,0,4),E(1,3,0),F(-1,0,1)，试区分上述各点哪些在平面的某一，试区分上述各点哪些在平面的某一侧，哪些在平面的另一侧，哪些点在平面上。侧，哪些在平面的另一侧，哪些点在平面上。练习练习2l已知四面体的四个顶点为已知四面体的四个顶点为S(0,6,4),A(3,5,3),B(-2,11,-5),C(

26、1,-1,4).计算从顶点计算从顶点S向底面向底面ABC所引的高所引的高.l求中心在求中心在C(3,-5,-2)且与平面且与平面2x-y-3z+11=0相相切的球面方程。切的球面方程。l求与下列两平面距离相等的点的轨迹求与下列两平面距离相等的点的轨迹l3x+6y-2z-7=0和和4x-3y-5=0两异面直线间的距离与公垂线方程（直角坐标系）两异面直线间的距离与公垂线方程（直角坐标系）2.4.3 2.4.3 两直线的距离两直线的距离11122212111222:,:xxyyzzxxyyzzllXYZXYZ121212,M Mv vdvv 1212,M Mv v 12,l l12,v v 1111

27、1122222200 x xy yz zXYZX Y Zx xy yz zXYZX Y Z 两个异面直线的公垂线方程为：两个异面直线的公垂线方程为：例例3 3 已知两直线已知两直线 ，试证明两，试证明两直线直线 与与 为异面直线，并求为异面直线，并求 与与 间的距离与它们的公垂线方程间的距离与它们的公垂线方程.121121:,:110110 xyzxyzll1l2l1l2l2.4.4 2.4.4 角度角度两相交平面夹角两相交平面夹角直线与平面夹角直线与平面夹角两直线之间夹角两直线之间夹角定义定义（通常取锐角）（通常取锐角）1 1n2 2n 两平面法向量之间的夹角称为两平面的两平面法向量之间的夹

28、角称为两平面的夹角夹角.,0:11111 DzCyBxA,0:22222 DzCyBxA,1111CBAn ,2222CBAn 2.4.4 2.4.4 两平面的夹角两平面的夹角按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：21)1(;0212121 CCBBAA21)2(/.212121CCBBAA 例例1 1 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：013,012)1(zyzyx01224,012)2(zyxzyx02224,012)3(zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 两平面相交，夹角两平面相交，夹角.601arccos )2(,1,1,21 n2,2,42 n,212142 两平面平行两平面平行21)0,1,1()0,1,1(MM两平面平行但不重合两平面平行但不重合)3(,212142 21)0,1,1()0,1,1(MM两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合.2023-1-22小结 平面方程平面方程 直线方程直线方程 几何关系几何关系 位置关系位置关系 距离距离 角度角度公垂线方程和长度公垂线方程和长度投影点投影点