矩阵的初等变换与线性方程组的求解精品

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1、 矩阵的初等变换与线性方程组的求解矩阵的初等变换与线性方程组的求解理论内容理论内容应用举例应用举例1.矩阵的初等变换解线性方程组矩阵的初等变换解线性方程组1.利用初等变换求整数的最大公因数利用初等变换求整数的最大公因数2.利用初等变换解线性不定方程利用初等变换解线性不定方程2.矩阵的初等变换解矩阵方程矩阵的初等变换解矩阵方程3.矩阵的初等变换在求特征值与特征向量的应用矩阵的初等变换在求特征值与特征向量的应用若阶梯形矩阵若阶梯形矩阵Bmn还满足：还满足：（1 1）B的任一非零行的第一个非零元（每一的任一非零行的第一个非零元（每一行的首非零元或主元）均为行的首非零元或主元）均为1 1；（2 2）B

2、的首非零元所在的列的其它元素均的首非零元所在的列的其它元素均为为0.0.则称则称Bmn为为行最简形矩阵行最简形矩阵。结论：结论：任何矩阵都可以通过行初等变换化任何矩阵都可以通过行初等变换化为阶梯形，并进而化为行最简形（行最简为阶梯形，并进而化为行最简形（行最简形唯一）。形唯一）。理论内容理论内容1.矩阵的初等变换解线性方程组矩阵的初等变换解线性方程组 给出单位填充矩阵的概念之后，通过对给出单位填充矩阵的概念之后，通过对线性方程组的系数矩阵（或增广矩阵）进行线性方程组的系数矩阵（或增广矩阵）进行初等变换，初等变换，直接得出直接得出其基础解系或一般解。其基础解系或一般解。定义定义1：对于对于mn阶

3、行最简形矩阵阶行最简形矩阵B，按以，按以下方法构造下方法构造sn矩阵矩阵C：对任一对任一 i:1is(1sn)，若，若B的某个首非零元位于第的某个首非零元位于第i列，则列，则将其所在的行称为将其所在的行称为C的第的第i行，否则以行，否则以n维单位维单位向量向量ei=(0,0,1,0,0)作为作为C 的第的第i行，称行，称C为为B的的sn单位填充矩阵单位填充矩阵。显然，单位填充矩阵的主对角线上的元素是显然，单位填充矩阵的主对角线上的元素是“1”或或“1”，若主对角线上某一元素为，若主对角线上某一元素为“1”，则该，则该元素所在的列之列向量称为元素所在的列之列向量称为C的的“J列向量列向量”。定义

4、定义2 2：设设B为最简形矩阵，若为最简形矩阵，若B的单位填充的单位填充矩阵矩阵C的任一的任一“J列向量列向量”均为以均为以B为系数为系数矩阵的齐次线性方程组矩阵的齐次线性方程组b11 x1+b12x2+b1nxn=0b21x1+b22x2+b2nxn=0 bm1x1+bm2x2+bmnxn=0(1)的解向量，则称的解向量，则称C与与B是匹配的（亦称是匹配的（亦称B与与C是匹配的）是匹配的）引理引理1 1 设设B为为mn行最简形矩阵，若将行最简形矩阵，若将B的第的第i列与第列与第j列交换位置所得矩阵列交换位置所得矩阵B仍为行仍为行最简形，则最简形，则 （1）将）将B的的sn单位填充矩阵单位填充

5、矩阵C的第的第i行与行与第第j行交换位置所得矩阵行交换位置所得矩阵C即为即为B的的sn单位填充矩阵，其中单位填充矩阵，其中maxi,j s。（2）若）若C与与B是匹配的，则是匹配的，则C与与B也是也是匹配的。匹配的。证明：证明：结论结论(1)(1)显然，下证显然，下证(2)(2)，因为，因为C与与B是匹配的，故是匹配的，故C只能是只能是nn矩阵，矩阵，从而从而C也是也是nn 矩阵，设以矩阵，设以B为系数矩阵的方程组为系数矩阵的方程组为为(1)(1)，以，以B为系数矩阵的方程组为为系数矩阵的方程组为b11 y1 1+b12y2+b1nyn=0b21y1+b22y2+b2nyn=0 bm1y1+b

6、m2y2+bmnyn=0(2)则由则由B与与B的关系可知对方程组的关系可知对方程组(1)(1)进行变量代换：进行变量代换：x1=y1,xj=yj,xn=yn就得到方程组就得到方程组(2)(2)，于是方程组于是方程组(1)的任一解向量交的任一解向量交换换i,j两个分量的位置就是方程组两个分量的位置就是方程组(2)的一个解向量。的一个解向量。又从又从C与与C的关系可知，的关系可知，C的任一的任一“J列向量列向量 ”均可由均可由C的某一的某一“J列向量列向量”交换交换i,j 两个分量的位两个分量的位置后得到，又由置后得到，又由C与与B是匹配的知，是匹配的知，C与与B也是匹配也是匹配的的.引理引理1

7、1 任一任一nn行最简形矩阵行最简形矩阵B与其与其nn 单单位填充矩阵位填充矩阵C是匹配的。是匹配的。证明：证明：1.设设1,11,212,12,22,1,21 000 10(3)001000000000000rrnrrnr rr rrnn nbbbbbbBbbb 则以则以B为系数矩阵的其次线性方程组为：为系数矩阵的其次线性方程组为：11,111,22122,112,222,11,2200(4)0rrrrnnrrrrnnrr rrr rrrnnxbxbxb xxbxbxb xxbxbxb x 而而B的填充矩阵为：的填充矩阵为：1,11,212,12,22,1,2100010(5)0010001

8、00000001rrnrrnr rr rrnn nbbbbbbCbbb 其所有其所有J列向量为：列向量为：r+1=(b1,r+1,br,r+1,1,0,0)r+2=(b1,r+1,br,r+1,0,1,0)n=(b1,n,br,n,0,0,1)显然它们都是方程组显然它们都是方程组(4)的解，即的解，即B与与C是是匹配的。匹配的。2.2.一般形式的行最简形矩阵一般形式的行最简形矩阵B显然总是可显然总是可以通过一系列的第二类初等列变换（变换两列以通过一系列的第二类初等列变换（变换两列的位置）化为的位置）化为(3)(3)的形式，从而的形式，从而B的单位填充矩的单位填充矩阵阵C通过相应的初等行、列变换

9、就变成矩阵通过相应的初等行、列变换就变成矩阵(5),(5),由于这种变换是可逆的，据引理由于这种变换是可逆的，据引理2 2及引理及引理1(2)1(2)知知B与与C是匹配的。是匹配的。定理定理1 1 设齐次线性方程组设齐次线性方程组11112212112222112200(6)0nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xaxaxax 的系数矩阵的系数矩阵A经一系列初等行变换化为最简经一系列初等行变换化为最简形矩阵形矩阵B,则则B的的nn的单位填充矩阵的单位填充矩阵C的所的所有有“J列向量列向量”构成方程组构成方程组(6)的一个基础的一个基础解解系系.证明证明 设以设以B为系数矩阵的齐

10、次线性方程组为系数矩阵的齐次线性方程组为为(1)(1)，则，则(1)(1)与与(6)(6)同解，据引理同解，据引理2 2知知C的所有的所有“J列向量列向量”构成方程组的解，且是构成方程组的解，且是nr个线性无关的解向量个线性无关的解向量(其中其中r=R(A)=)=R(B)，从而构成方程组从而构成方程组(1)的一个基础解系，的一个基础解系，也也就是方程组就是方程组(6)的一个基础解系。的一个基础解系。有解，其增广矩阵有解，其增广矩阵A经一系列初等行变换化经一系列初等行变换化为行最简形矩阵为行最简形矩阵B，则，则B的的n(n+1)单位填充单位填充矩阵的所有矩阵的所有“J列向量列向量”构成方程组构成

11、方程组(7)的导的导出组的一个基础解系，而出组的一个基础解系，而C的最后一列为方的最后一列为方程组程组(7)的一个特解。的一个特解。定理定理2 2 设非齐次线性方程组设非齐次线性方程组11112211211222221122(7)nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xbaxaxaxb 证明证明 由定理由定理1，前一结论显然。下证的最，前一结论显然。下证的最后一列为方程组的一个特解。后一列为方程组的一个特解。作齐次线性方程组作齐次线性方程组 1111221112112222211122100(8)0nnnnnnmmmnnmna xa xa xb xa xa xa xb xa

12、xa xa xb x 则方程组则方程组(8)的系数矩阵即为方程组的系数矩阵即为方程组(7)的增广的增广矩阵矩阵A.*CC 由定理由定理1知知C的最后一个列向量是方程组的最后一个列向量是方程组(8)的一个解，从而易知的一个解，从而易知C的最后一个列向的最后一个列向量即为方程组量即为方程组(7)的一个特解。的一个特解。于是于是B的的n(n+1)单位填充矩阵为：单位填充矩阵为：例例1 求线性方程组求线性方程组123451234513451345333245424234232xxxxxxxxxxxxxxxxxx 的一般解。的一般解。解解 方程组的增广矩阵为：方程组的增广矩阵为：113113324514

13、204234102112A 用初等行变换将用初等行变换将A化为行最简形矩阵化为行最简形矩阵B:102002011001000100000010B 写出写出B的的56单位填充矩阵单位填充矩阵C：102002011001001000000100000010C 于是方程组的导出组的基础解系为：于是方程组的导出组的基础解系为：1(2,1,1,0,0)T 而方程组的一个特解为：而方程组的一个特解为：0(2,1,0,0,0),T 从而原方程组的一般解为：从而原方程组的一般解为：011,k 其中其中k1为任意常数。为任意常数。2.2.矩阵的初等变换解矩阵方程矩阵的初等变换解矩阵方程设矩阵方程为设矩阵方程为(

14、1)mnnsmsAXB其中其中Xns为所求，对方程为所求，对方程(1)有下面的结论：有下面的结论：结果结果1 方程方程(1)有解的充要条件为：有解的充要条件为：()(,),0min,R AR A Brrm n 且且(i)(i)若若r=n，则，则(1)(1)有唯一解；有唯一解；(ii)(ii)若若rn，则，则(1)(1)有无穷多解。有无穷多解。结果结果2 设方程设方程(1)中中R(Amn)=r，且，且Amn的前的前r个个列向量线性无关，则矩阵列向量线性无关，则矩阵(Amn,Bms)可经过一系可经过一系列初等行变换化为如下形式列初等行变换化为如下形式()()(,)rrn rr smnmsm rsE

15、CDABOOE 此时，此时，(i)(i)方程方程(1)有解的充要条件是有解的充要条件是E(mr)s是是零矩阵；零矩阵；(ii)(ii)若若r=n，则，则Xns=Dns为为(1)(1)的唯一解；的唯一解；为为(1)的导出方程的解的基础阵；的导出方程的解的基础阵；(iii)(iii)若若rn，则矩阵，则矩阵()()rn rnn rn rCFE 为为(1)的一个特解，从而的一个特解，从而(1)的一般解为的一般解为rsnsDGO ()()(2)nsn n rn rsnsXFHG 其中其中H(nr)s为所论域的任意矩阵；为所论域的任意矩阵；Er为为r阶阶单位矩阵；单位矩阵；O为相应阶的零矩阵。为相应阶的

16、零矩阵。若若s=1，则方程，则方程(1)为一般非齐次线性方程组为一般非齐次线性方程组11(3)mnnmA XB 此时基础阵此时基础阵F 的的(nr)个列向量即为导出个列向量即为导出方程组的基础解系，方程组的基础解系，G为其一个特解。为其一个特解。例例2 解矩阵方程解矩阵方程1 1 1 111123 2 1 13017(4)0 1 2 263415 4 3 3121 11X解解 45431 1 1 1 11123 2 1 13017(,)0 1 2 2 63415 4 3 31 21 11A B 22323231 01152 33012263410 00000000 0 000000ECDOOE

17、 因为因为E23为零矩阵，由结论为零矩阵，由结论2知知(4)有解。又有解。又R(A45)=2a20,由辗转相除法知：由辗转相除法知：证明：证明：a1=q1a2+r1,0r1a2,a2=q2r1+r2,0r2r1,rm-2=qmrm-1+rm,0rmrm-1,rm-1=qm+1rm（m1,rm=d）于是，令于是，令 112010101011111mmAqqqq 则则 命题成立。命题成立。12,0,a aAd (2)假设当假设当 时时，命题成立。命题成立。(2)nk k则当则当 时，由假定知，存在时，由假定知，存在k阶可阶可逆方阵逆方阵Akk，1n k 使得使得 ，2311,0,0kk ka aa

18、Ad 其中其中 ，1231(,)kda aa从而有从而有112311111,0,0kkkk kOa a aaa dOA又由又由(1)知，存在二阶可逆方阵知，存在二阶可逆方阵 A22,使得使得 112 2,0a d Ad 其中其中 ，111231(,)(,)kda da a aa于是于是,令令 2 22(1)11(1)211kkkk kkkAOOAOAOE 则则 .1231,0,0ka a aaAd 即当即当n=k时，命题成立，时，命题成立，由归纳法知，由归纳法知，当当n2时，命题成立。时，命题成立。由命题由命题1的证明过程可以得出如下的证明过程可以得出如下两个推论两个推论：推论推论1 设设a1

19、,a2,an为不全为为不全为0的整数，则存在的整数，则存在 Z上的上的n阶可逆矩阵阶可逆矩阵B，使得，使得 12(,)(,0,0)(1)na aa Bd 且且d是是a1,a2,an的最大公因数，的最大公因数，B是一些初等是一些初等矩阵的乘积。矩阵的乘积。B的求法如下：将将a1,a2,an下面写一个单位下面写一个单位矩阵，构成一个矩阵，构成一个(n+1)n矩阵，再对矩阵，再对A施行列施行列初等变换，当初等变换，当A的第一行变成的第一行变成(d,0,0)时，则时，则下面的单位阵便成了下面的单位阵便成了B。即：即：12100010001naaaA11121212221200nnnnnndbbbbbb

20、bbb1112211(2)nnda ba ba b 推论推论2 设设 最大公因数最大公因数d 可表示可表示成它们的线性组合：成它们的线性组合：12,na aa例例3 求求115，570，935的最大公因数，并表的最大公因数，并表示其线性组合。示其线性组合。解：解：作矩阵作矩阵A，并对，并对A的列作初等变换：的列作初等变换：115 570 935100010001A1151101514801000150052164471327227 50052101818775114 所以所以(115,570,935)5d 且且 115 52570 1 935(7).d 2.利用初等变换解线性不定方程利用初等变

21、换解线性不定方程命题命题2 设设n元一次不定方程元一次不定方程112212,(3)nnna xa xa xc a aaZ若若 ,dc12(,)na aad,则方程则方程(3)有整数解，其解为有整数解，其解为11112 11122122 12112112 11(,)(4)n nn nnnnnnn ncxbb tb tdcxbb tb tt ttZdcxbb tb td而而bij是是(1)中矩阵中矩阵B的元素。的元素。证明：证明：若若 ,d c则由则由(2)得得 1112211,nnccccabababddd1112211,nncccxbxbxbddd是方程是方程(3)的一组整数解。的一组整数解。

22、由由(4)得：得：121,ntttZ,111121221222111211nnnnnnnnnccxbbbddxbbbttBxbbbtt由由(1)得得12112212(,)nnnnxxa xa xa xa aax111211(,)(,0,0)nnnccddtta aaBdctt故故(4)(4)是方程是方程(3)(3)的解。的解。设设 是方程是方程(3)的任一整数解，则的任一整数解，则 1122,nnxkxkxk1122(5)nna ka ka kc由由 得得 1B 1,BBBBB再由再由(1)得得112(,)(,0,0)(,0,0)na aadBB dB111212122212(,0,0)nnn

23、nnnBBBBBBB dBBB11211(,)nB dBdBdB所以所以 ，故再由故再由(5)得得 1112211,nnaB dBaB dBaB dB1112211()nncBk Bk Bk Bd令 11112211(),nntB k Bk Bk B11122()nnnnnntB k Bk Bk B则则1112112122221121nnnnnnnncBBBkdBBBktBBBBkt 121.nkkBk 所以所以 1211nnckdktBkt 故故(4)代表了方程代表了方程(3)的任一整数解。的任一整数解。12nkkB Bk 例例4 求四元一次不定方程求四元一次不定方程 的所有整数解。的所有整

24、数解。123430636063027036xxxx解：作矩阵解：作矩阵A，并对的列作初等变换：，并对的列作初等变换：306360 630 2701000010000100001A142127090 630 3060001010000101100cccc 314122709090360001010000101121 cccc142123618902701200010000101121 cccc()3141112721183618182127100000101108 ccccccc2131412180002505121100101317 cccccc于是：于是：d=18=18且且18|3618|3

25、6，,2505121100101317Q故原不定方程有整数解，且其所有解为：故原不定方程有整数解，且其所有解为：11321231233241234 552 2(,)2 37xttxtttt t tZxtxttt 3.矩阵的初等变换在求特征值与特矩阵的初等变换在求特征值与特 征向量的应用征向量的应用 物理、力学、工程技术中的许多问物理、力学、工程技术中的许多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值与题在数学上都归结为求矩阵的特征值与特征向量问题由特征方程求特征值是特征向量问题由特征方程求特征值是比较困难的。比较困难的。而在现有的教材和参考资料由特征方程求而在现有的教材和参考资料由特征方程求特征值总要解

26、带参数的行列式，且只有先求特征值总要解带参数的行列式，且只有先求出特征值方可由方程组求特征向量有些文出特征值方可由方程组求特征向量有些文献给出了只需通过行变换即可同步求出特征献给出了只需通过行变换即可同步求出特征值及特征向量的新方法，但仍未摆脱带参数值及特征向量的新方法，但仍未摆脱带参数行列式的计算问题行列式的计算问题 下面给出一种只需对原矩阵进行行列互逆下面给出一种只需对原矩阵进行行列互逆变换就可同时求出特征值与特征向量的结论，变换就可同时求出特征值与特征向量的结论，进而讨论反问题进而讨论反问题.定义：定义：设设A是是n阶方阵，如果存在数阶方阵，如果存在数 和和n维非维非零向量零向量x，使得

27、，使得Ax=x成立，则称成立，则称 为为A的特征的特征值，值，x是是A的对应特征值的对应特征值 的特征向量。的特征向量。性质：性质：（1 1）若）若 i是是A的的ri重特征值，重特征值，A对应特征值对应特征值 i有有si个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量(siri)（2 2）若）若x1,x2都是矩阵都是矩阵A的属于特征值的属于特征值 0的特征的特征量，则当量，则当k1,k2不全为零时，不全为零时，k1x1+k2x2仍是仍是A的的属于特征值属于特征值 0的特征向量的特征向量.（3）若）若 1,2,n是矩阵是矩阵A的互不相同的特的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是征值，其对应的特征向量

28、分别是x1,x2,xn,则则 x1,x2,xn线性无关线性无关（4）若）若A=(aij)nn的特征值为的特征值为 1,2,n,则则12nA 121122,nnnaaa （5）实对称矩阵）实对称矩阵A的特征值都是实数，属于的特征值都是实数，属于不同特征值的特征向量正交不同特征值的特征向量正交（6）若）若 i是实对称矩阵是实对称矩阵A的的ri重特征值，则对重特征值，则对应特征值应特征值 i恰有恰有ri个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量（7）设）设 为矩阵为矩阵A的特征值，的特征值，P(x)为多项式函为多项式函数，则数，则P()为矩阵多项式为矩阵多项式P(A)的特征值的特征值 众所周知，求特征

29、值与特征向量是比较繁众所周知，求特征值与特征向量是比较繁琐的由特征方程求特征值总要解带参数的行琐的由特征方程求特征值总要解带参数的行列式，且只有先求出特征值方可由方程组求特列式，且只有先求出特征值方可由方程组求特征向量这里将给出一个新的有效方法，只需征向量这里将给出一个新的有效方法，只需对原矩阵作行列互逆变换就可同时求出特征值对原矩阵作行列互逆变换就可同时求出特征值及特征向量，为此给出如下定义：及特征向量，为此给出如下定义：定义：定义：把矩阵的下列三种变换称之为行列把矩阵的下列三种变换称之为行列互逆变换：互逆变换：（1 1）互换）互换i,j两行，同时互换两行，同时互换i,j两列；两列；（2 2

30、）第）第i行乘非零数行乘非零数k，同时第，同时第i列乘列乘1/k ；（3 3）第）第i行行k倍加到第倍加到第j行，同时第行，同时第j列列k倍倍加到第加到第i列列.定理：定理：A为为n阶可对角化矩阵，并且阶可对角化矩阵，并且TTAEDP()(),一一系系列列行行列列互互逆逆变变换换其中其中,nD11TnP1(,)(1,2,)iiinbbin 则则 为为A的全部特征值，的全部特征值，为为A的属于的属于 i的特征向量的特征向量.12,n Tii 证证:由矩阵由矩阵行行初等变换初等变换等价于等价于左乘左乘相应初等矩相应初等矩阵，矩阵阵，矩阵列列初等变换初等变换等价于等价于右乘右乘相应初等矩阵的相应初等

31、矩阵的性质及行列互逆变换的定义，知性质及行列互逆变换的定义，知PT为若干初等矩为若干初等矩阵的乘积，阵的乘积，从而可逆，且从而可逆，且 ,即即 从而从而 ，因为，因为1()TTTP APD 1TP AP DD APPD 11,(,)nnDP 所以所以111(,)(,)nnnA 则则 111(,)(,)nnnA所以所以 1 2(,)iiiAin 因此，该方法求出因此，该方法求出 i的为的为A的特征值，的特征值，i为为A的对应特征值的对应特征值 i的特征向量。的特征向量。为了运算方便，约定：为了运算方便，约定：（1）表示矩阵第表示矩阵第 j行行k倍加到第倍加到第i行；行；ijrkr（2）表示矩阵第

32、表示矩阵第j列列k倍加到第倍加到第i列。列。ijckc 例例5：求求的特征值与特征向量。的特征值与特征向量。0111101111011110A 解解 40111100010110100()1101001011100001TAE 2143214311011000010211000111001002010011rrrrcccc 242411001000030011110110001002010011rrcc 21232414141231001000403001111301000104300100112rrrrrr1232421414123111100044440300111131110010444

33、4111100014222cccccc 242410003111010011310010111100031111rrcc故特征值分别为故特征值分别为 ；12341,3属于特征值属于特征值 1=2=3=1 的线性无关的特征向的线性无关的特征向量分别为：量分别为：123(3,1,1,1),(1,1,3,1),(1,1,1,1).TTT 属于特征值属于特征值 4=3的线性无关的特征向量的线性无关的特征向量4(1,1,1 1).T 反之，反之，已知矩阵的特征值与特征向量，求与相关已知矩阵的特征值与特征向量，求与相关矩阵的特征值可用性质矩阵的特征值可用性质7计算，特征向量用定义即可计算，特征向量用定义即

34、可求得。求得。谢谢大家！On(EdWu3Ml%CbUs1Kj!A9Sq+IhZy7Qo)GeXw5Nm*EcVu3Lk%CaTs1Ji!z8Rq-HgZx6Po(FeXv4Nm&DcUt2Lj$BaSr0Jh#z8Qp-HfYx5On(EdWv3Ml&CbUt1Kj$A9Sr+IhZy7Qo)GfXw5Om*EdVu3Mk%CaTs1Ji!A8Rq+HgZy6Po)FeXv4Nm&DcVt2Lk$BaTr0Ji#z8Qp-HfYx6On(FdWv4Ml&DbUt2Kj$A9Sr+Ih#y7Qp)GfYw5On*EdVu3Mk%CbTs1Ki!A9Rq+IgZy6Po)FeXw4Nm*DcVu2

35、Lk%BaTr0Ji#z8Rp-HgYx6Pn(FeWv4Nl&DbUt2Kj$B9Sr0Ih#z7Qp-GfYw5On*EdWu3Ml%CbUs1Kj!A9Rq+IgZy7Po)GeXw5Nm*EcVu2Lk%BaTs0Ji!z8Rq-HgZx6Po(FeWv4Nl&DcUt2Lj$BaSr0Jh#z7Qp-GfYx5On(EdWv3Ml&CbUs1Kj!A9Sq+IhZy7Qo)GfXw5Nm*EcVu3Lk%CaTs1Ji!A8Rq+HgZx6Po(FeXv4Nm&DcVt2Lk$BaSr0Jh#z8Qp-HfYx6On(FdWv3Ml&CbUt1Kj$A9Sr+Ih#y7Qo)GfXw

36、5Om*EdVu3Mk%CbTs1Ki!A8Rq+HgZy6Po)FeXw4Nm*DcVt2Lk$BaTr0Ji#z8Rp-HgYx6On(FdWv4Ml&DbUt2Kj$B9Sr+Ih#y7Qp)GfYw5On*EdWu3Ml%CbTs1Ki!A9Rq+IgZy7Po)GeXw4Nm*DcVu2Lk%BaTs0Ji!z8Rp-HgYx6Pn(FeWv4Nl&DcUt2Kj$B9Sr0Ih#z7Qp-GfYx5On(EdWu3Ml%CbUs1Kj!A9Sq+IhZy7Po)GeXw5Nm*EcVu3Lk%CaTs0Ji!z8Rq-HgZx6Po(FeXv4Nl&DcUt2Lj$BaSr0Jh#

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46、3Mk%CbTs1Ji!A8Rq+HgZy6Po)FeXw4Nm&DcVt2Lk$BaTr0Ji#z8Rp-HgYx6On(FdWv4Ml&DbUt2Kj$B9Sr+Ih#y7Qp)GfYw5On*EdWu3Mk%CbTs1Ki!A9Rq+IgZy7Po)FeXw4Nm*DcVu2Lk%BaTs0Ji!z8Rp-HgYx6Pn(FeWv4Nl&DcUt2Kj$B9Sr0Ih#z7Qp-GfYx5On*EdWu3Mh#z8Qp-HfYx6On(FdWv3Ml&CbUt1Kj$A9Sr+Ih#y7Qp)GfXw5Om*EdVu3Mk%CbTs1Ki!A8Rq+HgZy6Po)FeXw4Nm*DcV

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