向量的主要应用

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1、向量的主要应用(1) 向量是数学中证明几何问题的有效工具之一，根据平面向量的基本定理，任一平面直线型图形 中的线段都可 以表示为某些向量的线性组合。这样在证明几何问题时，可先把已知和结论表示成向量的形式，再 通过向量的运 算就很容易地得出结论。一般地，利用实数与向量的积可证明共线，平行等问题；利用向量的数量 积可解决长度，角度等问题(2) 向量的坐标表示把点与数联系了起来，进而可以把曲线与方程联系起来，这样就可以用代数方 程研究几何问题，同时也可以用向量来研究某些代数问题(3) 向量的数量积体现了向量的长度与三角函数间的关系，把向量的数量积应用到三角形中，能解 决三角形的边角之间的有关问题(4

2、) 向量是从一些物理量中抽象出来的，它与物理学中的力学，运动学等有着密切的关系，用向量 解决有关物理 问题，可以先根据题意把物理量用有向线段表示出来，再转化为数学中的向量运算，求解向量在几何中的应用一般地，用向量研究平面几何问题的步骤是：(1) 寻找平面几何与向量之间的联系，用向量表示几何问题中涉及的几何问题，将平面几何问题转 化为向量问题(2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离，夹角等问题(3) 把运算结果“翻译”成几何语言向量的方法可运用于证明有关直线平行，垂直，线段的相等及点共线等问题，其基本方法有：(1)要证明线段AB=CD，可转化为证明AB = CD，或AB二CD 要证明

3、线段AB/CD，只要证明存在一实数 0, 使AB =2CD成立，且四个点不共线即 要证明线段AB丄CD，只要证明它们的数量积AB - CD二0即可(4)要证明A,B,C三点共线，只要证明存在一实数丰0 ,是AB二九AC成立；或设OA = a, OB = b, OC = c，,只要证明存在一个实数t，使c = ta +(1 t)b 向量在物理中的应用(1) 向量与力向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的，用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上(2) 向量与速度，加速度与位移速度，加速度与位移的合

4、成和分解，实质上就是向量的加减法运算，而运动的叠加用到了向量的合成(3) 物理上力做的功的实质就是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积向量在几何中的应用1.平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC的长C2.已知点O为口 ABC所在平面内一点，OA2 + BC2二CA2 + OB2二OC2 + AB2，证明：点O 是口 ABC的垂心3.已知：AD,BE,CF是口ABC的三条高，DG丄BE于G, DH丄CF于H,如图，求证: HG /EF小结：用向量知识解决平面几何问题中证明线段相等或平行的问题，一般是转化为相应向量相等或平行来解决

5、，如下：（1）如果A,B,C三点共线，欲证AB=BC,则只需证AB二BC即可 如果线段AB,CD不平行，而要证它们相等，则需证AB2 = BC2或证|AB = CD向量在物理学中的应用1. 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力，你能从数学角度解释这种现象吗？向量在解析几何中的应用1.求通过点A（T,2）且平行于向量a =（3,2）的直线方程小结：向量知识在解析几何中的应用，主要涉及直线中平行，垂直和求直线方程的问题，解 题中一般是利用求轨迹方程的方法，先在直线上设一动点P(x, y)，再根据条件(平行或垂直)建立x

6、,y的关系向量在不等式中的应用1. 利用向量方法解答下列问题(1) 设 a,b 为不相等的正数，求证(a 4 + b 4 )(a2 + b2)(a3 + b3)2(2)对于x e R，试求函数y = W + x +1 -x2 -x +1的值域小 结 ： 解 答 类 似 本 题 的 题 目 时 ， 在 于 恰 当 的 构 造 向 量 ， 利 用 向 量 的 不 等 式 m n m n , a - a - b o同时应根据问题的条件，注意等号成立的前提是否具备，不然，就会造成不等号的选取出现不严 谨的地方对某些从表面上看，似乎与向量毫无关系的代数问题，首先一定要对题目进行认真观察，充分 挖掘问题的

7、内涵，有时候就可能找到一个简捷的向量解法向量专题专题一：向量的运算1.已知a = 4, b = 5，当(1) a /b ； (2) a丄b ； (3) a与b的夹角为30。时，分别求a与b的数量积小结：(1)当向量的始点不在坐标原点时，注意向量终点的坐标不等于向量坐标；而当向量的始点在 坐标原点时，向量的坐标和向量终点的坐标就相同了(2)已知向量两端点的坐标求向量的坐标是向量的坐标运算中最基本的问题，要注意： 向量坐标=向量终点坐标-向量始点坐标(3)要注意数学符号的正确书写：a = (x,y )是表示向量的坐标，A(x，y )是表示点的坐标1 1 2 2专题二：共线问题1.已知a = (1,

8、2),b = (一3,2)，若ka + 2b与2a - 4b平行，求实数k的值小结：向量平行的运算有一下几种常用方法：(1)向量与非零向量a共线o存在唯一实数九使b二九a 向量共线的坐标表示表达式a = (x , y )与b = (x , y )共线o x y 一 x y = 0f1 12-2122 1(3)向量a与b共线o a b = a b一专题三：向量的模1已知向量a与b均为单位向量，它们的夹角为60。，那么a + 3b =2已知a与b两个非零向量，当a + tb (t g R)的模取最小值时，求t的值小结：利用向量的数量积可以解决如下几类问题：(1) 求两向量的夹角，进而确定两线的夹角

9、，但要注意两者的区别与联系时一般利用(2) 求向量的长度，进而可解决平面上的两点间的距离，求线段的长度问题，求计算后再平方 (3) 判断两向量是否垂直，进而可证两线垂直(4) 判断或计算三角形中的边角关系问题专题四：向量的夹角与垂直问题1.已知 a = 4, b = 3若a与b夹角为60，求C + 2b) C - 3b)(2)若(2a -3b)Ca + b)= 6L,求a 与& 的夹角0专题五：向量在平面几何中的应用1.四边形ABCD中，AB = a, BC = b, CD = c, DA = d，且ab = bc = cd = da，判断此四边形的形状专题六：向量和代数1.设 C 2 + b 2 )(m 2 + n 2)= (am + bn)2其中mn丰0，求证:abmn