一维热传导MATLAB模拟

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1、昆明学院2015 届毕业设（计论文）设计（论文）题目一维热传导问题的数值解法及其MATLAB模拟子课题题目无姓名 学号 所属系 专业年级伍有超指导教师物理科学与技术系2011级物理学2班王荣丽2015 年 5 月摘要本文介绍了利用分离变量法和有限差分法来求解一维传导问题的基本解，并 对其物理意义进行了讨论。从基本解可以看出，在温度平衡过程中，杠上各点均 受初始状态的影响，而且基本解也满足归一化条件，表示在热传导过程中杆的总 热量保持不变。通过对一维杆热传导的分析，利用分离变量法和有限差分法对一 维热传导进行求解，并用 MATLAB 数学软件来对两种方法下的热传导过程进行 模拟，通过对模拟所得三

2、维图像进行取值分析，得出由分离变量法和有限差分法 绘制的三维图基本相同，且均符合热传导过程中温度随时间、空间的变化规律， 所以两种方法均可用来解决一维热传导过程中的温度变化问题。关键词：一维热传导；分离变量法；有限差分法；数值计算；MATLAB模拟AbstractIn this paper, the method of variable separation and finite difference method are introduced to solve the problem of one-dimensional heat conduction problems, and the p

3、hysical significance of numerical methods for heat conduction problems are discussed. From the basic solution, we can see the temperature on the bar are affected by the initial state during the process of temperature balance, and basic solution also satisfy the normalization condition which implied

4、the invariance of the total heat in the bar during the heat conduction process. Through the analysis of the one-dimensional heat conduction, by taking use of variable separation method and finite difference method, we simulated the one-dimensional heat conduction problem by MATLAB. The three-dimensi

5、onal images of the simulation results obtained by the method of separation of variables and finite difference method are similar to each other, and the temperature curve is in accordance with the law of temperature variation during heat conduction. Thus, we can go to the conclusion that both methods

6、 can be used to deal with the one-dimensional heat conduction problems.Keywords: One-dimensional heat conduction; method of variable separation; finite difference method; numerical method; MATLAB simulation目录第一章 绪论 11.1热传导的概念11.2热质的运动和传递1第二章 一维热传导问题的两种数值解法 32.1 一维热传导问题的初值问题32.2 一维热传导问题的分离变量法42.3 一维热

7、传导问题的有限差分法6第三章 一维有界杆热传导问题的 MATLAB 模拟93.1 一维有界杆热传导问题93.2分离变量法的MATLAB模拟93.3有限差分法的MATLAB模拟12第四章 总结与展望 18参考文献 19谢辞20第一章 绪论1.1 热传导的概念由于温度分布不均匀，热量从介质中温度高的地方流向温度低的地方称为热 传导。热传导是热传递三种基本方法之一，它是固体中热传递的主要方式，在不 流动的液体或气体层中传递，在流动的情况下往往伴随着对流同时发生。固体、液体以及球体热传导热传导的实质是由大量的物质分子热运动相互撞 击，而使能量从高温部传至低温部分，或由高温物体传给低温物体的过程。在固

8、体中，热传导的微观过程是：在高温部分，晶体中结点上的微粒振动动能较大。 在温度低的部分，微粒的振动动能比较小。因为微粒的振动互相联系，所以在晶 体内部就发生着微粒的振动，动能由动能大的部分分向给动能小的部分。在固体 中热的传导，就伴随着能量的迁移。在金属物质中因为存在大量的自由电子，在 不停的做无规则运动。自由电子在热传导过程中起主要作用。在液体中传导表现 为：液体分子在温度高的区域热运动比较强，由于液体分子之间存在着相互作用， 热运动的能量将逐渐向周围层传递，引起了热传导现象。由于热传导系数小，传 导较慢，它与固体相似，因而不同于气体；气体依靠分子的无规则热运动以及分 子间的碰撞，在气体内部

9、发生能量的迁移，从而形成宏观上的热量传递1。1.2 热质的运动和传递物质具有的热能 （粒子无规运动动能 ） 是物质能量形式之一，它又对应着物 质所具有的热质量，并且可看作为是热子气的质量2。物体导热过程中的热量输 运对应着热质量 （热子气质量） 的输运。与对流输运不同，热质的输运是属于分 子输运或扩散输运。它可以用热子气的宏观速度（漂移速度） 来描述。与此类似， 为了能够描述和研究热子气的宏观运动，需要建立热子气运动的速度和加速度等 物理量。为了能确定热子气运动状态的变化与施加在热子气之上的非平衡作用力 之间的关系，我们需要建立热质运动定律3。在热质和热子气概念基础上，建立 了热子气的质量、动

10、量和能量守恒方程；基于傅立叶导热定律求得了热子气粘性 力的近似式4；傅立叶导热定律本质上是忽略惯性力条件下的热子气的压力梯度 与粘性力的平衡方程，当惯性力可以忽略时，热子气的动量守恒方程退化为傅立 叶导热定律。在极低温或极高热流密度时傅立叶导热定律不再适用5。在最近的 20 多年里，对一维体系热传导性质的研究已经从纯理论研究的兴 趣延伸到了对其应用性的探讨。自从 2002 年 G. Casati 等人提出了利用非线性参 数来控制一维体系中的热流量，例如制备热整流器(thermal rectifier)的设想和方 案以来，通过组合不同性质的一维晶格体系来控制和操纵热流，制备出诸如热二 极管(th

11、ermal diode)6、热阻(thermal resistance)、热晶体管(thermal transistor) 7等微观热器件的研究，为人们展示了一维体系热传导研究中诱人的应用前景8。第二章 一维热传导问题的两种数值解法2.1 一维热传导问题的初值问题问题简述:一均匀细杆直径为l，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的 表面和周围介质发生热交换，并服从规律:(1)dQ = k (u - u )dSdt11又假设杆的密度为P，比热为C，热传导系数为k，式导出此时温度U满足的方程。(1)任取细杆中的一段(x ,x )，从时刻t到时刻t热量的增量为:1 2 1Q1 = f x2 cps(

12、u(x, 12)- u(x, t!dx=ft2 fx2 cps du C 几一t1 x1(2)dxdtdt其中s =12是杆的截面积，通过(x ,x )的两端流入的热量为:4Q2 = ft2ks(u (x2,t)- ux(x1, t )dt=ft2 f x2 ks d 2ut )dxdtt1 x1dx 2通过(x ,x )的侧面与周围介质发生的热交换量为：1212(3)Q = 2 f x2 k (u - u 加 Idxdt ,3 1 1t1 x1由能量守恒定律Q = Q - Q，以及x , x , t, t的任意性得:1 2 3 1 2 1 2(4)cps 色g = ks d2u (x，t)

13、- k (u - u 网 dtdx211(5)k , k 兀 l 4k记 a 2 二 ，b 2 = i = i，可得:cPcPs cPldu (x, t)d 2u (x, t)=a2一 b2(u 一 u )dtdx 21dx 2(6)若考虑一维热传导方程的初值问题即是Cauchy问题：Jut - a 2uxx = f (x, t )-8 x 0 t = o : u =p(x),-8 x +8求具有所需次数偏微商的函数u (x, t),满足方程(1) (- x +和初始条件:u(x,0)=申(x),-s x +8。考虑齐次热传导方程的初值问题Jut 一 -2uxx = f (x, t)-8 x

14、0 It = O : u =P (x),-8 x +8通过推导可以推导出：u (x, t )= f -1 u (x, t)=2- Jx 碇)e2a -8t x 3 e - t + e -dg。(10)1(g x 匕=.J+8p (g )e 42t dg2阿若考虑非齐次热传导方程的齐次初始条件10的初值问题:Jut - 2uxx = f (x, t)-8 x 0 It = O : u = 0,-8 x +8(11)通过推导可以推导出解为:(x, t)=1Jt J+8 半,t) e42dgdT2如 0 -8訥-t)(12)若考虑非齐次热传导方程的非齐次初始条件初值问题的:u (x, t)=1J+

15、(g )e： ；： dg2-tIfff(g t)上-亠+ - Jt J+8斗 =)e4-2(-T)dgdT。21* 兀 08、； & T )(13)以上就为齐次热传导方程的初值问题，非齐次热传导方程的齐次初始条件的 初值问题和非齐次热传导方程的非齐次初始条件初值问题的解。2.2 一维热传导问题的分离变量法利用分离变量法的实验原理来解决有界长杆的热传导问题：一)考虑齐次热传导方程的混合问题(边界条件)都是第一类情形ut = a2uxx,0 x 0(14)(0, t)= 0, u (/, t)= 0 u(x,0)=申(x)其中申(x)为给定的已知函数，求解过程为首先令u(x,t)= X(x)T(t

16、)将其带入方程ut = a2uxx ，(15)并且分离变量得两个常微分方程T (t) + Xa 2T (t) = 0,(16)X(x) + XX (x) = 0由边界条件u(0,t)= 0,u(l,t)= 0可得：X(0), X(/) = 0(17)为有界长杆的热传导问题11的解。(二)求边值问题一 维 热 传 导 问 题 的 分 离 变 量 法 求 边 值 问 题 的 原 理 ， 即 是 求X(x) +九X (x) = 0, X (0) = X (l) = 0的非0解包括以下三种情况：(1) 当九 0时，该问题没有非平凡解；(2) 当九=0时，该问题也没有非平凡解；(3) 当九0时，该问题有

17、非平凡解；此时n兀九=九=()2 ,(n = 1,2,3.)，(17)nln兀xXn(x) = Bn sin - ,(n = 1,2,3.)。(18)若现在考虑：T (t) + X a 2T (t) = 0，(19)将特征值九=九=()2 ,(n = 1,2,3.)代入方程得：nlT(t) + (-1 )2T(t) = 0，(20)求得通解为na兀T(t)二 Ce-( i )2t,(n = 1,2,3.) ,(21)于是可以求解出定解问题中的一维热传导方程组且满足齐次边界条件的具有变量分离形式特解12：u(x,t)=F a e7聆t sin ,(22)”in=1其中a = B C ,是任意常数

18、，在利用初值条件u(x,0)=申(x)，可得：nn n=P (x)(23)a . n 兀x 乙 a sinn l n=1继而推导出所以21a = J (x )sinnl0n兀x 丁dxl(24)n=1(码21 . nnx a e i sin nl(25)2/、. nnx 丿a = (x) sindxn l ol就为所求定解问题 (14)的特解。若问题中的边界条件出现第二类或者第三 类齐次边界条件，解法类似。2.3一维热传导问题的有限差分法(一)有限差分法的介绍：有限差分法是计算机数值模拟最早采用的方法，至今乃被推广使用13。该方 法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限

19、差分法 以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代 替进行离散，从而建立网格节点上的值为未知数的代数方程组。有限差分法的优点：它是一种直接将微分问题变为代数问题的近似解法，数 学观念直观，表达简单，是发展最早而且比较成熟的数值方法。有限差分法的缺点：它是必需进行整个区域的划分，并且要求网格比较规则 空间网格最好为直角网格。(二)利用有限差分法进解决一维热传导问题：问题背景1、热传导的方程介绍14：dud 2ua2dtdx 2 uG, t)= u(L, t)= 0 ,(28)u (x,0)= f (x)2、离散以后得到：uj u(0, jk )= 0,(29)0

20、uj = u(L, t )= 0,(30)nu0 uCh,0)= f (ih) f.,(31)ii(1)向前差分后得：计算得出：uj+i ujuj 2uj + uj_ii a 2 i+1ii1 ,kh 2u j+1 = su j + 1 2s u j + su j ，ii +1ii 1ka2s h 2(32)(33)(34)下图是一个显示格式：图2.1向前有限差分法网格图1由此可以证明当0 s -时，上述差分式是稳定的，所以x的步长h和t的步2长k取法要恰当。(2)向后差分格式得到：u j+i uju j+i 2u j+i + u j+i(35)ii = a 2 i+1ii 1，kh 2计算得

21、出:u j su j+1 +ii+1j+1 suj+1 ，ii1(32)rm图2.2向后有限差分法网格图第三章一维有界杆热传导问题的MATLAB模拟X = /端与外界绝热。已3.1一维有界杆热传导问题一均匀细杆长为l，在x = 0端温度为0度，且保持温度不变,知初始时刻温度分布为 (X)。试求细杆上温度的变化规律。利用热传导方程：为了便于做题，u a 2utXX u= 0,= 0, ux=0u|t=0x X=1=9 ( x),0 x l我们令：(33)a = 1，对于此问题，我们可以采用分离变量法和有限差分法来进行求解，并利用MATLAB数学软件15对所得结果绘图并分析。3.2分离变量法的MA

22、TLAB模拟首先，利用分离变量法对问题进行求解，根据 2.2 所得方程，有:u (x, t)= (2 n+1)2 兀 2a 2tC e4l 2n n=1.(2n +1)兀 X sm2l(34)其中：(35)C = 2119 (g )sin(2n +严dg。n l 02l利用 MATLAB 对以上方程进行模拟，得到关于一维有界杆的热传导图像如下 所示：分离变量汉图3.1分离变量法模拟一维有界杆的热传L- T -1图可以看出，温度随时间呈下降趋势，长杆各部分温度随时间增加趋于稳定。取分离变量法模拟三维图（图3.1）中x二j时T-1的数据，作如下曲线图:图3.2 x二2时T t关系图可以发现在长杆x

23、二i处温度T随时间的增长而下降。取分离变量法模拟三维图（图3.1） x = l处，温度T随时间t的变化，作如下曲线图：图3.3 x = L处T -t关系图可以发现，在长杆x = l处，温度T随时间t的增加而降低，取分离变量法模 拟三维图（图3.1）= 0时刻，温度T在长杆/各处的分布规律，得到如下曲线图:位置x图3.4 t = 时刻T 1关系图从上图可以看出，当t = 0时刻，温度T在长杆l各处呈线性分布，且由x = 0到 x = /逐渐上升。取分离变量法模拟的三维图（图3.1） t = 10时刻，温度T在长杆l各处的分 布规律，得到如下曲线图：图3.5 t = 10时刻T /关系图由上图可以

24、看出，当t = 10时刻，温度T在长杆l各处也呈线性分布，且由x = 0到 x = /逐渐上升，以上曲线图均符合热传导规律。3.3有限差分法的MATLAB模拟根据2.3所得方程，向前差分:u j+1i=su j +i+1j + sujii1(36)向后差分:ka 2s =，h 2(37)uj = suj+1 +ii+1j+1 suj+1，ii1(38)利用MATLAB作图，得到有限差分图如下:图3.6有限差分法模拟一维有界杆的热传L - T -1图有限插分法解O3 2 5 1- 5 DD2 1 D10取有限差分法模拟三维图（图3Q中x二（时T -1的数据作如下曲线图:图3.7l有限差分法得到的

25、x二2时Tt关系图可以发现在长杆x二|处温度T随时间的增长而下降。取有限差分法模拟 三维图（图3.6） x = /处，温度T随时间t的变化，作如下曲线图:图3.8有限差分法得到的x = L处T -1关系图可以发现，在长杆x = l处，温度T随时间t的增加而降低，取有限差分法模 拟三维图（图3.6） t = 0时刻，温度T在长杆/各处的分布规律，得到如下曲线图:图3.9有限差分法得到的t二0时刻T 1关系图从上图可以看出，当t = 0时刻，温度T在长杆1各处呈线性分布，且由x = 0到X = l逐渐上升。取有限差分法模拟的三维图（图3.6） t = 10时刻，温度T在长杆/各处的分 布规律，得到

26、如下曲线图：图3.10有限差分法得到的t =10时刻T-1关系图由上图可以看出，当t = 10时刻，温度T在长杆1各处也呈线性分布，且由 x = 0到x = 1逐渐上升，以上曲线图均符合热传导规律。综上所述，由分离变量法和有限差分法绘制的三维图基本相同，且均符合热 传导过程中温度随时间、空间的变化规律，所以两种方法均可用来解决一维热传 导过程中的温度变化问题。第四章总结和展望许多工程问题需要研究热量在物体内部的传导情况或某种物质在液体中的 扩散情况，因此研究热传导问题特别是非稳态热传导问题十分重要。目前热传导 方程已有多种求解格式。MATLAB基于矩阵运算，具有强大的数值运算能力和图 形可视化

27、能力，是方便实用、功能强大的数学软件。本文以热传导方程的数值解 法及Mat lab模拟实现为主线，研究论证其可行性，从而发现一种较为简便且极 为有效的热传导方程数值解法和可视化的方法，意在更好的解决目前在工程和研 究邻域中实际存在的问题，进而推动其相关邻域的发展和进步，文章的主要研究 设计工作：对热传导方程的数值解法做了理论研究，为Matlab编程的实现奠定 了理论基础，结合Matlab知识，编出程序通过列举方程和边值条件，利用编写 的程序解出了一维热传导的非稳态问题。本文通过对一维杆热传导的分析，利用分离变量法和有限差分法对一维热传 导进行求解，并用 MATLAB 数学软件来对两种方法下的热

28、传导过程进行模拟，通 过对模拟所得三维图像进行取值分析，得出由分离变量法和有限差分法绘制的三 维图基本相同，且均符合热传导过程中温度随时间、空间的变化规律的结论，所 以两种方法均可用来解决一维热传导过程中的温度变化问题。参考文献1 彭芳麟数学物理方程的MATLAB解法与可视化北京：北京师范大学出版社,2004 2 陶文铨数值传热学(第2版)西安：西安交通大学出版,20013 李灿，高彦栋,黄素逸热传导问题的MATLAB计算华中科技大学学报(自然科学版)4 徐梓斌，闵剑青.基于PDE too 1的热传导数值计算.佳木斯大学学报(自然科学版),20065 孔倩,李鹏，热传导方程的无网格Galerk

29、in方法数值模拟研究，计算机应用， 2011(31) :47-59 6 J. D. Schmit and A. J. Levine， Intermolecular adhesion in conducting polymers， Phys. Rev. E 2005， 71: 051802. 7 P. Ranjith， P. B. S. Kumar， and G. I. Menon， Distribution functions， loop formation probabilities， and force-extension relations in a model for shout do

30、uble-stranded DNA molecules， Phys. Rev. Lett. 2005， 94: 138102. 8 A. J. Heeger， Nobel Lecture: Semiconducting and metallic polymers: The fourth generation of polymeric materials， Rev. Mod. Phys. Lett. 2001， 73: 681. 9 D. V. Ramana， P. K. Kaw， A. Sen， A. Das and J. C. Parikh， Conditions for diffusive

31、 thermal transport in a model nonlinear system， F. F. Phys 1998， 22C: 2192.10 Amir Faghri ， Yuwen Zhang， Jonh Howell. Advanced Heat and MassTransfer.89， 158702 (2002)11 Choy, Keith K.H; Porter, John F; McKay, Gordon.Film-pore diffusionmodelsanalytical and numerical solutions 7， 158702 (2002)12 Chico

32、ne Carmen . Mathematical modeling89, 158702 (2002)13 ORiordan, Eugene Opposing flows in a one dimensional convection-diffusion problem 89, 158702 (2002)14 姜大鑫, 武文华等高强度钢板热成形热、力、相变数值模拟分析.机械工程学 报.2012(48):18-2315 陈瀚,刘艳.基于模拟热传导的路径优化算法，内江师范学院学报,2009(24):53-5616吴学红，李增耀等，不规则区域热传导问题无网格Petrov-Galerkin方法的数值模拟

33、,工程热物理学报,2009（30）：1350-1352致谢本论文一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟历时近五个月完成, 在此过程中收获不少。首先,我谨向我的导师王荣丽老师致以衷心的谢意。在王老师的悉心指导和 言传身教下,我才能得以顺利完成本科生毕业论文工作。本文的选题和研究工作 倾注了王老师的大量心血和谆谆教诲。在学术上,王老师具有高瞻远瞩的目光, 又具有坚实广博的知识。在工作上,王老师既具旺盛持久的工作热情,又具严谨 认真的治学态度。王老师作为我的导师,在我整个大学期间,无论是在学习科研, 工作态度,以及为人处事上,都使我受益匪浅并将影响我终身。其次,由衷的感谢昆明学院物理科学与技术系

34、给我提供了一个良好的学习生 活环境,为了我们的发展,提供条件。我还要借此机会感谢培养教育我的昆明学 院,在这里有浓厚的学术氛围,舒适的学习环境使我终身难忘！感谢在大学期间 传授我知识的所有老师,感谢你们的辛勤栽培,正是你们的悉心的教导才让我有 了良好的专业课知识,每一位老师的指导都是我完成这篇论文的基础。同时,还 要感谢同组的各位同学,在毕业设计的这段时间里,你们为我提出了许多很好的 意见和建议,使我在写论文期间有了新观点、新思路,在此我由衷的感谢。在这里不仅收获知识,也收获同学间无价的友谊。感谢 533 宿舍的舍友们, 他们兼具认真的学习态度和执着的研究精神,与他们的讨论帮助我获得了许多的 启迪。感谢 2011级物理学 2 班的所有老师和同学,他们为我创造了良好的学术 环境、学术气氛和实验条件。我要衷心地感谢我的父母和家人,父母这些年来对我的支持和鼓励,是我学 习和科研的坚强后盾。没有他们的关心和爱护,我不可能度过这漫长而艰难的求 学生涯,并最终完成学业。