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1、目录 上页 下页 返回 结束 转化 可分离变量的微分方程 第二节解分离变量方程解分离变量方程 xxfyygd)(d)(可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)()(22 第七章 目录 上页 下页 返回 结束 分离变量方程的解法分离变量方程的解法:xxfyygd)(d)(设 y(x)是方程的解,xxfxxxgd)(d)()(两边积分,得 yygd)(xxfd)(CxFyG)()(则有恒等式 当G(y)与F(x)可微且 G(y)g(y)0 时,的隐函数 y(x)是的解.则有称为方程的隐式通解隐式通解,或通积分通积分.同样,当
2、 F(x)=f(x)0 时,由确定的隐函数 x(y)也是的解.设左右两端的原函数分别为 G(y),F(x),说明由确定目录 上页 下页 返回 结束 例例1.求微分方程NoImage的通解.解解:分离变量得xxyyd3d2两边积分xxyyd3d2得13lnCxy即13eCxy31eexC3exCy 1eCC令(C 为任意常数)或或说明说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解 y=0)1e|CC1ln|CCCxylnln3目录 上页 下页 返回 结束 例例2.解初值问题0d)1(d2yxxyx解解:分离变量得两边积分得即由初始条件得 C=1,Cxyln
3、11lnln2(C 为任意常数)故所求特解为 1)0(y目录 上页 下页 返回 结束 例例3.子的含量 M 成正比,0M求在衰变过程中铀含量 M(t)随时间 t 的变化规律.解解:根据题意,有NoImage00MMt(初始条件)对方程分离变量,MMd,lnlnCtM得即tCMe利用初始条件,得NoImage故所求铀的变化规律为.e0tMMNoImage然后积分:td)(已知 t=0 时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原M0MtO目录 上页 下页 返回 结束 练习练习:.edd的通解求方程yxxy解法解法 1 分离变量xyxydedeCxyee即01e)e(yxC(C 0)(2)方程变形为yxysincos2xdxydycos2sinxdxydycos2cscCxyysin2|cotcsc|lnCxysin22tanln目录 上页 下页 返回 结束 作业P 204 1(2),(3),(5);2(1),(3)第三节
高等数学可分离变量微分方程
