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1、 第十二讲第十二讲 运用微元法求面积运用微元法求面积 第十二讲第十二讲 运用微元法求体积运用微元法求体积xabyodxxx 1)分割。分割。将a,b分成n个闭子区间，为无限求和做准备。2)近似估值近似估值(以直代曲以直代曲)。任取一个闭子区间x,x+dx，在x,x+dx上取左端点x的函数值f(x)代替小曲边梯形上的其它值。则 dA=f(x)dxA)(xf 3)无限求和。无限求和。消除误差。消除误差。babadxxfdA)(dAdx 第十二讲第十二讲 运用微元法求体积运用微元法求体积1、求圆锥体体积求圆锥体体积。例例1证明：底面半径为r，高为h的圆锥体的体积为 21.3Vr h证明证明:.rOA
2、yxhxoyBACrhdxdxxhrdxydv22)(ydvhrhxhrdxxhrdxxhrvhh23220222023103)(x 第十二讲第十二讲 运用微元法求体积运用微元法求体积2、求椭球的体积求椭球的体积。ayxb12222byax所围图形绕 x 轴旋转而成的椭球体积。解解:利用直角坐标方程得)(22axaxaaby则xxaabVad)(22022220322234312abxxaabaoxdxxaabdxydV)(22222dxy 第十二讲第十二讲 运用微元法求体积运用微元法求体积例3 设平面图形 A 由xyx222与xy 所确定,求图形 A 绕直线 x2 旋转一周所得旋转体的体积。
3、解 选 x 为积分变量，旋转体的体积为)43(6)2)(-22102dxxxxxV（yox21若选 y 为积分变量,则 V1022d)11(2yy102d)2(yy)2()2(22xxxxdxdVx 第十二讲第十二讲 运用微元法求体积运用微元法求体积xyoabxyoab)(xfy 绕x轴旋转一周围成的立体体积时,)()(bxaxfyxdxxfdV2)(badxxfV2)(xyoabxyoab)(xfy abx 第十二讲第十二讲 运用微元法求体积运用微元法求体积当考虑连续曲线段)()(dycyx绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有xoy)(yxcdydyydV2)(dcdyyV2)(第十二讲第
4、十二讲 运用微元法求体积运用微元法求体积设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),)(baxA在则对应于小区间d,xxx的体积元素为xxAVd)(d因此所求立体体积为xxAVbad)(xabxxxd)(xA上连续,第十二讲第十二讲 运用微元法求体积运用微元法求体积222Ryx解解:如图所示取坐标系为,则圆的方程垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为tan)(21)(22xRxA)(RxRRdxxRV022tan)(212tan323RoRxyxR032 31tan2xxRdxxRdVtan)(21222 第十二讲第十二讲 运用微元法求体积运用微元法求体积oRxy此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?),(yx)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22yx
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