微积分学广义积分敛散性判别

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1、一、无穷积分 无穷区间上的广义积分 .),)(上有定义在设函数axf .),()(,记且AaRxfaARA ,d)(limd)(AaAaxxfxxf .),)(上的无穷积分在称之为axf限值称此无穷积分收敛，极若式中的极限存在，则 该无穷积中的极限不存在，则称即为无穷积分值；若式 .分发散1.无穷积分的概念 类似地可定义：.)(d)(limd)()1(bBxxfxxfbBBb d)(d)(d)()2(ccxxfxxfxxf .d)(limd)(lim AcAcBBxxfxxf.d)(d)(d)(收敛则称同时收敛，与若xxfxxfxxfcc .d)(,d)(d)(发散则至少有一个发散与若xxfx

2、xfxxfcc d)(的可加性，而言，由定积分对区间对xxf .0 .cc为方便起见，通常取值无关与显然其收敛性例1解 .d 0 2xexx计算AxAxxexxex 0 0 d limd 22 2xu 令2 0 d21limAuAue20 )(21limAuAe)2121(lim2AAe .21能否将这里的书写方式简化？)()(的一个原函数，则约定是为书写方便起见，若xfxF .)()(lim )(d)(0 aFxFxFxxfxa .)(lim)()(d)(xFbFxFxxfxbb .)(lim)(lim )(d)(xFxFxFxxfxx这样就将无穷积分的计算与定积分的计算联系起来了.例5解

3、)0(d 的敛散性，积分讨论axxPap .为任意常数其中P :1 时当P|lnd aaxxxaxxln|lnlim ,.1 积分发散时，故Pp :1 时当Papapxxx 1d1 .1 ,1 ,1 ,1 ppapp 发散 收敛综上所述，.1 1 时发散时收敛；当积分当ppP )0(d axxPap积分2.无穷积分的基本运算性质 均存在，则设以下所有出现的积分 .d)(d)(d)()2(Rcxxfxxfxxfccaa .d)(d)(d)()()3(aaaxxgxxfxxgxf .d)()()()(d)()()4(aaaxxvxuxvxuxxvxu .)5(分的换元法进行计算无穷积分也可按照定积

4、 .d)(d)()1(aaxxfxxf .d)(d)(,)()(),)6(aaxxgxxfxgxfa则上若在其它类型的无穷积分的情形类似于此.3.无穷积分敛散性的判别法 :,定义式写成下面的形式我们可以将无穷积分的实际上;d)(limd)(xaxattfxxf.d)(limd)(bxxbttfxxf .函数来进行有关的讨论这样可以利用积分上限定理 .0)(,),()(xfaCxf且设函数 ),d)()(attfxFxa在若积分上限函数 .d)(,收敛则无穷积分上有上界axxf证 ,0)(,),()(所以且因为xfaCxf .),)(上单调增加在积分上限函数axF ,),)(从而上有上界在又已知

5、函数axF d)()(xattfxF .),由极限存在准则上单调增加且有上界在a .d)(lim)(lim x存在可知极限xaxttfxF .d)(收敛即无穷积分axxf定理（比较判别法）,),)(,)(aARAaxgxf上有界在设函数 0)()(，xfxg .d)(d)()1(也收敛收敛时，积分当则aaxxfxxg .d)(d)()2(也发散发散时，积分当aaxxgxxf ,),()(),(且满足AaRxgxf证 )()(0 ,得时由xgxfxa d)()1(，则下列极限存在收敛若积分axxg ,d)(d)(0 xaxattgttf ,积分上限函数从而 .),d)()(上有上界在attgxG

6、xa ,),d)()(上有上界在attfxFxa .d)(收敛故积分axxf.d)(lim Ittfxax ,故可知限过程中必有界由于有极限的量在该极 .)2(运用反证法 ,d)(,d)(收敛积分发散时如果aaxxgxxf .d)(:)1(收敛立即可得出矛盾则由axxf .,之一积分是重要的比较标准敛散性的重要方法穷积分比较判别法也是判别无与级数的情形类似P定理（比较判别法的极限形式法）,),),)(,)(aAaxgxf上的非负函数为定义在设 .)A ,()(,)(aRxgxf d)(d)(,0 )1(同时与无穷积分时当aaxxgxxf .,或同时发散收敛 ,)()(lim 那么若有极限xxf

7、x .d)(,d)(,0 )2(收敛则收敛无穷积分时当aaxxfxxg .d)(,d)(,)3(发散则发散无穷积分时当aaxxfxxg定理（柯西极限判别法）积分综合而成由比较判别法与P .0)(,)0(),()(xfaaCxf且设 ,)(lim ,1 则存在使得若存在常数xfxppx ;d)(收敛无穷积分axxf则或者若 ,)(lim 0)(lim xfxIxfxxx .d)(发散无穷积分axxf证 :,)(lim ,1 则由极限的定义存在时设bxfxppx ,11有时当xxax ,1|)(|bxfxp ,1)(0 Mbxfxp故 ).()(0 1xxxMxfp即有 ,d 1 1故收敛积分的由

8、于xpxxMPp .d)(1收敛无穷积分xxxf .d)(d)(d)(d)(11收敛可知由axxaaxxfxxfxxfxxf则或者若 ,)(lim 0)(lim xfxIxfxxx ,2|)(|,11故有时当IIxfxxxax ,2 )(1MIxfx ).,)(lim(Ixfxx可取任意正数作为时 ).()(11xxxMxf即有 ,d 1 11故发散积分的由于xxxMPp .d)(1发散无穷积分xxxf .d)(d)(d)(d)(11发散可知由axxaaxxfxxfxxfxxf例10解 .d arctan 1 的敛散性判别无穷积分xxx 因为 ,2arctanlimarctanlimxxxxx

9、x .d arctan 1 是发散的故无穷积分xxx例11解 1 23 .1d 的敛散性判别无穷积分xxx 因为 ,1lim1lim2223xxxxxxxx .1 d 1 23是发散的故无穷积分 xxx例12解 1 2 .1 d 的敛散性判别无穷积分xxx 因为)12(,11 lim1 1lim222pxxxxxxx .1 d 1 2收敛故无穷积分 xxx定理阿贝尔判别法阿贝尔判别法.),)(,)(上有定义在设axgxf ),)(,d)(上在函数收敛若积分axgxxfa .d)()(,收敛则积分有界单调axxgxf狄利克雷判别法狄利克雷判别法:.),)(,)(上有定义在设axgxf，存在有界的

10、原函数上若在 d)()()(),xattfxFxfa .d)()(,0)(lim )(x收敛则积分单调减少且axxgxfxgxg例13解 d)(时，收敛，则当如果积分xxxfa 0)(吗？一定有xf .不一定 .dsin 1 2xxI例如，考虑积分,2dd ,ttxtx则令 1 1 2 dsin21dsintttxxI，且显然，0 1lim)(lim ,1)()1,ttgttgtt .)t(1 ,2|cos1cos|cos|dsin|)(|1 1 tuuutFtt .sinlim 2不存在原积分收敛，但由狄利克雷判别法可知xx4.无穷积分的绝对收敛性 ,d|)(|则称无穷积分收敛若积分axxf

11、 .d)(为绝对收敛的axxf .d)(,为条件收敛的则称积分收敛axxf d)(,d|)(|aaxxfxxf而积分发散若积分 .),)(,d)(上绝对可积在也称为绝对收敛时axfxxfa定理 ,d|)(|,),()(收敛若设函数axxfaCxf .d)(必收敛则axxf .定收敛绝对收敛的无穷积分一证 由于 ,|)(|2|)(|)(0 xfxfxf ,d|)(|故无穷积分收敛又axxf .d)|)(|)(收敛axxfxf ,|)(|)|)(|)()(从而但xfxfxfxf,d|)(|d)|)(|)(d)(aaaxxfxxfxfxxf .d)(收敛故无穷积分axxf定理（柯西判别法）,|)(|

12、lim ,),)(则且上有定义在设Ixfxaxfpx .d|)(|,0 1 )1(收敛积分时且当axxfIp .d|)(|,0 1 )2(发散积分时且当axxfIp该定理的证明请读者自己完成.例14解 .dsin 0 的敛散性判别无穷积分xxbexa).0 ,(aba且为常数其中 ,|sin|0 且因为xaxaexbe ,11d0 0 aeaxexaxa ,d 故无穷积分收敛即无穷积分axaxe .d|sin|0 收敛xxbexa .)(dsin ,0 当然收敛绝对收敛无穷积分从而xxbexa二、瑕积分1.瑕积分的概念无界函数的广义积分(1)瑕点的概念为内无界，则称点在，若函数 ),(U )(

13、0 00 xxxf .)(的一个瑕点函数xf 1)(的一个瑕点；是例如：axxfax .)1ln()(1 2的瑕点是xxgx .1)(22的瑕点是axxhax(2)瑕积分的概念 .,()(为其瑕点上有定义在设axbaxf ,),()(,0 记若baRxf ,d)(limd)(0 babaxxfxxf .,)(上的瑕积分在称之为函数baxf ,极限值即则称该瑕积分收敛若式中极限存在 .,;则称该瑕积分发散若式中极限不存在为瑕积分值 .d)(limd)(0 babaxxfxxf类似地，可定义,)1(为瑕点时当bx,)()2(为瑕点时当bcacxbccabaxxfxxfxxf d)(d)(d)(,)

14、(limd)(lim0 0 b ccadxxfxxf .d)(,d)(d)(才收敛同时收敛时与仅当babccaxxfxxfxxf .d)(,d)(d)(发散至少有一个发散时与babccaxxfxxfxxf与无穷积分的情形类似，瑕积分也有下列运算形式：.)(,)(lim)()(d)(为瑕点axxFbFxFxxfaxbaba .)(,)()(lim)(d)(为瑕点bxaFxFxFxxfbxbaba这样就将瑕积分的计算与定积分的计算联系起来了.2.瑕积分基本运算性质 ,叙述为唯一瑕点的情形进行以下均以积分下限ax .形仍成立其结论对其它瑕点的情 均存在，则设以下所有出现的积分 .d)(d)(d)()

15、2(Rcxxfxxfxxfbccaba .d)(d)(d)()()3(bababaxxgxxfxxgxf .d)()()()(d)()()4(bababaxxvxuxvxuxxvxu .)5(的换元法进行计算瑕积分也可按照定积分 .d)(d)()1(abbaxxfxxf .d)(d)(,)()(,()6(babaxxgxxfxgxfba则上若在例19解)(.)(d )(为任意常数的敛散性瑕积分讨论paxxPbap .,0 )1(故是收敛的积分为通常的定积分时当Pp ,0 )2(此时为瑕点时当axp .,|ln d ,1 积分发散则若Paxaxxpbaba ,1 则若p .1 ,10 1)()(

16、11)(d 1 1 发收pppabaxpaxxpbapbap综上所述，得 ;)(d )(,1 收敛瑕积分时当bapaxxPp ;)(d )(,1 发散瑕积分时当bapaxxPp定理（瑕积分的比较判别法）,)()(,),()(),(的唯一瑕点与为设xgxfaxbaCxgxf .),(,)()(0 baxxgxf且满足 ;d)(,d)(收敛则收敛若积分babaxxfxxg .d)(,d)(发散则发散若积分babaxxgxxf定理（比较判别法的极限形式法）d)(d)(,0 )1(同时与无穷积分时当babaxxgxxf .,或同时发散收敛 ,)()(lim 那么若有极限xxfax .d)(,d)(,0

17、 )2(收敛则收敛无穷积分时当babaxxfxxg .d)(,d)(,)3(发散则发散无穷积分时当babaxxfxxg .),(,)()(0 baxxgxf且满足 ,)()(,),()(),(的唯一瑕点与为设xgxfaxbaCxgxf定理（瑕积分的柯西极限判别法）积分综合而成由比较判别法与P .,0)(,),()(为其唯一的瑕点且设axxfbaCxf ,)()(lim ,10 则存在使得若存在常数xfaxppax ;d)(收敛瑕积分axxf .d)(,)()(lim 发散则瑕积分apaxxxfxfax ,0)()(lim ,1 或者使得若存在常数Ixfaxppax例19解 .sin d 1 0

18、 的敛散性判别积分xx .0 ,sin1lim 0为瑕点故点因为xxx ,1sinlim sin 1lim 0210 xxxxxx又 ,01 1,21 ,的情形即柯西判别法中Ip .sind 1 0 收敛故由柯西判别法知xx例20解 .ln d 10 1 的敛散性判别积分xx .1 ,ln1lim 1是瑕点所以因为xxx ,1 1 1limln1)1(lim 11xxxxx又罗 ,01 ,1 ,的情形即柯西判别法中Ip .lnd 10 1 发散故由柯西判别法知积分xx例21解 .d1sin 1 0 2的敛散性判别积分xxx ,1 1sin 02xxx ,11lim ,1lim 2100 xxx

19、xx又 .0 ,因为为瑕点这是瑕积分x .)21(d 1 0 pxx收敛故瑕积分 .d1sin ,1 0 2收敛原积分从而xxx柯西判别法比较判别法例22解 .,d)1(1 0 11为正常数其中的敛散性判别xxx .,1 ,1 该积分是通常的定积分时当 .1 ,0 ,1,0 是被积函数的两个瑕点时当xx .d)1(d)1(d)1(1 21 1121 0 111 0 11xxxxxxxxx故令 :1)1(lim 1110及柯西判别法可知由xxxx .d)1(21 0 11收敛xxx :1)1()1(lim 1111及柯西判别法可知由xxxx .d)1(1 21 11收敛xxx .d)1(,1 0

20、 11收敛积分综上所述xxx 11p 11p三、广义积分的柯西主值 )1(无穷积分的柯西主值 按无穷积分的定义：d)(d)(d)(ccxxfxxfxxf .d)(limd)(lim AcAcBBxxfxxf的变化与即过程是相互独立的等号右边的两项的极限 ,BA .不要求一致 ,变化一致的情与经常遇到要求在数学物理问题中BA .,的特殊情形即需要考虑形AB .),()(上有定义在设函数xf .),()(,0 ,记AARxfARA ,d)(limd)(.AAAxxfxxfPV .),()(值上的无穷积分的柯西主在称之为xf 值意义下称此无穷积分在柯西主若式中的极限存在，则 .散分在柯西主值意义下发

21、不存在，则称该无穷积 ;,若式中极限义下的无穷积分值极限值即为柯西主值意收敛无穷积分的柯西主值例23解 dsin 的敛散性讨论无穷积分xx .散性和柯西主值意义下的敛 ,coslim1 cosdsin 0 0 xxxxx因为 .dsin ,coslim 0 发散故积分不存在而xxxx .dsin ,发散无穷积分从而xx ,0dsinlimdsin.AAAxxxxPV又奇函数 .dsin 在柯西主值意义下收敛故无穷积分xx由此例想到一点什么没有?:该例说明 .,它本身不一定收敛义下收敛时无穷积分在柯西主值意 :d)(.d)(的定义可知与由xxfPVxxf .d)(.,d)(必收敛则收敛若xxfP

22、Vxxf .)(,)(为其瑕点上有定义在设函数bcacxbaxf 记 ,d)(d)(limd)(.0 bccabaxxfxxfxxfPV .)(,)(的柯西主值瑕点为上的瑕积分在称之为cbaxf .,值意义下收敛则称此瑕积分在柯西主若式中的极限存在 .值意义下发散则称该瑕积分在柯西主 ,;若式中极限不存在义下的瑕积分值极限值即为柯西主值意 )2(瑕积分的柯西主值例24解 d 2 1 的敛散性讨论积分xx .散性和柯西主值意义下的敛 .0 是被积函数的瑕点x ,lnlim2ln lnd 02 0 2 0 xxxxx因为 .d ,2 1 是发散的瑕积分所以xx d d limd .2 1 02 1

23、 xxxxxxPV而00 .ln2|ln|ln lim2 1 0 xx .d.21 收敛故积分xxPV .1函数 :积分的敛散性首先研究一个含参变量 ).0(,d 0 1sxexxs 0 ,为瑕点的又是一个以积分这个积分既是一个无穷x .瑕积分 :,将积分表示为为此 .ddd 1 11 0 1 0 1xesxesxesxsxsxs .无穷积分的和这是一个瑕积分与一个瑕积分无穷积分 ,d ,0 1 0 1且的唯一的瑕点是因为xexxxs ,1lim1 10sxsxxex ,1 1d 1 0 1 0 1sxsxxss而 ,d ,0 1 0 1从而收敛积分时故当xxss .d ,0 1 0 1收敛瑕

24、积分时当xexsxs比较判别法的极限形式 ,0limlim 12 1xsxxsxexxex又 :,d 1 2 故由比较判别法可知是收敛的而积分xx .d ,0 1 1收敛无穷积分时当xexsxs :,0 ,敛下列含参变量的积分收时当综上所述s ).0(,d 0 1sxexxs .积分该积分称为欧拉第二型 )1(函数的概念 定的函数由含参变量的积分所确 ).0(,d)(0 1sxexsxs .)Gamma(函数称为 .积分函数又称为第二型欧拉 )2(函数的简单性质 .)(,0s )1Cs时当 .)()1(,0 )2ssss时当 特别有.)(!)1()(;)(!)1(;1)1(ZnnnZnnn .

25、sin)1()(,10 )3ssss时当下面证明这个递推关系式 .)()1(,0 :ssss时当证明时当运用分部积分法得 0 ,s d d)1(0 1 0 0 xexsexxexsxsxsxs )()()(lim0 ssexexxxsxsx .)(ss 例25解 .d ,21 0 2xex并由此计算求 ,2sin sin211 21 21 ss因为 .21 故 ,0 :,0 :,2dd ,txttxtx时则令 d 21d 0 21 0 2tetxetx 0 121d 21tett .2 21 21例26解 .)(d 0 22Znxexxn计算 ,0 :,0 :,2dd ,txttxtx时则令

26、d 21d 0 21 0 22tetxextnxn d 21 0 1 21tettn 21 21n 1)21(21n .2!)12(1nn21 ns .2函数 )1(函数的概念 定的函数由含参变量的积分所确 ).0 ,0(,d)1(),(1 0 11baxxxbaba .)Beta(函数称为 .积分函数又称为第一型欧拉 )2(函数的简单性质 .),(),(:,)1abbaba对称函数关于 .)1 ,(1)1 ,1(;),1(1)1 ,1()2babaababababba .)0 ,0(,)()()(),()3babababa ,1 ,1 ,时当特别Znmmbna .!1)(!)1 ,1(nmm

27、nmn运用分部积分法证明 .d 1 0 2xxx计算例27解 d)1(d1 0 21211 0 2xxxxxx d)1(1 0 1 231 23xxx 23 ,23 2323 23 23 )3(211 211 .8 !2 2121 例28解 ,d)1(),(:0 1并由此计算证明xxxbabaa .d)1(0 24的值积分xxx ,)1 (dd ,1 2于是则令ttxttx d)1(),(1 0 1 1 xxxbaba d)1(1)1(1)1(0 21 1 1 tttttbaa d)1(0 1 tttbaa d)1(0 1 xxxbaa 43 ,45 d)1(0 24xxx 45 411aa 43 2bba 4345 43 45 43 45 411 411 411 41 41 .22 4 sin 4 1 d)1(),(0 1 xxxbabaa