一节二阶与三阶行列式

《一节二阶与三阶行列式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一节二阶与三阶行列式（228页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、扬州大学数学科学学院用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 :122a,2212221212211abxaaxaa :212a,1222221212112abxaaxaa ，得，得两式相减消去两式相减消去2x;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得类似地，消去类似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（时，时，当当021122211 aaaa方程组的解为方程组的解为，211222112122211aaaabaabx ）（3.211222112112112aaaaabbax

2、 由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定.由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表称列）的数表)4(22211211aaaa)5(42221121121122211aaaaaaaa行行列列式式，并并记记作作）所所确确定定的的二二阶阶称称为为数数表表（表表达达式式 即即.2112221122211211aaaaaaaaD11a12a22a12a主对角线主对角线副对角线副对角线2211aa 1221.a a二阶行列式的计算二阶行列式的计算若记若记,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组对于

3、二元线性方程组系数行列式系数行列式 .,22221211212111bxaxabxaxa22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa.2211112babaD 则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为,2221121122212111aaaaababDDx 注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数

4、行列式.2221121122111122aaaababaDDx .12,12232121xxxx求解二元线性方程组求解二元线性方程组解解1223 D)4(3 ,07 112121 D,14 121232 D,21 DDx11,2714 DDx22.3721 333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列的数表列的数表行行个数排成个数排成设有设有,312213332112322311322113312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa（6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定

5、的.323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa (1)(1)沙路法沙路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算322113312312332211aaaaaaaaa D333231232221131211aaaaaaaaaD .列标列标行标行标333231232221131211aaaaaaaaaD 333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa.322311aaa 注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶

6、行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 如果三元线性方程组如果三元线性方程组 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式的系数行列式333231232221131211aaaaaaaaaD ,0 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组 2 2.三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积,其中三项为正其中三项为正,三项为三项为负负.

7、;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD 若记若记333231232221131211aaaaaaaaaD 或或 121bbb ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD 记记,3332323222131211aabaabaabD 即即 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232

8、221131211aaaaaaaaaD ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD 得得 ;,3333232131232322212113132121

9、11bxaxaxabxaxaxabxaxaxa.3323122221112113baabaabaaD ,3333123221131112abaabaabaD .3323122221112113baabaabaaD 则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为:,11DDx ,22DDx .33DDx 333231232221131211aaaaaaaaaD ,3332323222131211aabaabaabD 2-43-122-4-21D 计算三阶行列式计算三阶行列式按对角线法则，有按对角线法则，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264

10、.14 .094321112 xx求解方程求解方程方程左端方程左端1229184322 xxxxD,652 xx解得解得由由052 xx3.2 xx或或例例4 4 解线性方程组解线性方程组 .0,132,22321321321xxxxxxxxx由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式111312121 D 111 132 121 111 122 131 5 ,0 同理可得同理可得1103111221 D,5 1013121212 D,10 0111122213 D,5 故方程组的解为故方程组的解为:,111 DDx,222 DDx.133 DDx 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方二阶

11、和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的程组引入的.对角线法则对角线法则二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算.2112221122211211aaaaaaaa ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa 使使求一个二次多项式求一个二次多项式,xf .283,32,01 fff解解设所求的二次多项式为设所求的二次多项式为 ,2cbxaxxf 由题意得由题意得 ,01 cbaf ,3242 cbaf ,28393 cbaf得一个关于未知数得一个关于未知数 的线性方

12、程组的线性方程组,cba,又又,020 D.20,60,40321 DDD得得,21 DDa,32 DDb13 DDc故所求多项式为故所求多项式为 .1322 xxxf扬州大学数学科学学院引例引例用用1、2、3三个数字，可以组成多少个没三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？有重复数字的三位数？解解1 2 3123百位百位3种放法种放法十位十位1231个位个位12 32种放法种放法1种放法种放法种放法种放法.共有共有6123 同的排法？同的排法？，共有几种不，共有几种不个不同的元素排成一列个不同的元素排成一列把把 n问题问题定义定义把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，

13、叫做这 个个元素的全排列（或排列）元素的全排列（或排列）.nn 个不同的元素的所有排列的种数，通常个不同的元素的所有排列的种数，通常用用 表示表示.nnP由引例由引例1233 P.6 nPn)1(n)2(n123 !.n 同理同理 在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 则称这两个数组成一个逆序则称这两个数组成一个逆序.nstiiiii21stii 例如例如 排列排列32514 中，中，定义定义 我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序,n 个个不同的自然数，规定由小到大为不同的自然数，规定由小到大为标准次序标准次序.排列的逆序数排列的逆序数3 2 5 1 4逆序逆序逆

14、序逆序逆序逆序定义定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数逆序数.例如例如 排列排列32514 中，中，3 2 5 1 4逆序数为逆序数为31010故此排列的故此排列的逆序数为逆序数为3+1+0+1+0=5.计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法方法方法1 1分别计算出排在分别计算出排在 前面比它大的数前面比它大的数码之和即分别算出码之和即分别算出 这这 个元素个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数排列的逆序数.n,n,121 n,n,121 n逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为

15、奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.排列的奇偶性排列的奇偶性分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数序数.方法方法2 2例例1 1 求排列求排列32514的逆序数的逆序数.解解在排列在排列32514中中,3排在首位排在首位,逆序数为逆序数为0;2的前面比的前面比2大的数只有一个大的数只有一个3,故逆序数为故逆序数为1;3 2 5 1 40 1 0 3 1于是

16、排列于是排列32514的逆序数为的逆序数为13010 t.5 5的前面没有比的前面没有比5大的数大的数,其逆序数为其逆序数为0;1的前面比的前面比1大的数有大的数有3个个,故逆序数为故逆序数为3;4的前面比的前面比4大的数有大的数有1个个,故逆序数为故逆序数为1;例例2 2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性偶性.2179863541解解453689712544310010 t18 此排列为此排列为偶排列偶排列.54 0100134 321212 nnn解解12 ,21 nn当当 时为偶排列；时为偶排列；14,4 kkn当当 时为奇排列时为奇排列.34

17、,24 kkn 1 nt 2 n 32121 nnn1 n 2 n kkkkkk132322212123 解解0 t kkk 21112,2k 当当 为偶数时，排列为偶排列，为偶数时，排列为偶排列，k当当 为奇数时，排列为奇排列为奇数时，排列为奇排列.k1 1 2 kkk 112 kkkkkk13232221212 0 1 1 2 2 k2 2 排列具有奇偶性排列具有奇偶性.3 计算排列逆序数常用的方法有计算排列逆序数常用的方法有2 种种.1 1 个不同的元素的所有排列种数为个不同的元素的所有排列种数为n!.n分别用两种方法求排列分别用两种方法求排列16352487的逆序数的逆序数.思考题解答

18、思考题解答解解用方法用方法1 11 6 3 5 2 4 8 7 用方法用方法2 201012130 t8 由前向后求每个数的逆序数由前向后求每个数的逆序数.810231100 t扬州大学数学科学学院三阶行列式三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 说明说明（1）三阶行列式共有）三阶行列式共有 项，即项，即 项项6!3（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积乘积（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列）每项的正负

19、号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列的三个元素的下标排列例如例如322113aaa列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为 ,211312 t322311aaa列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为 ,101132 t偶排列偶排列奇排列奇排列正号正号,负号负号.)1(321321333231232221131211 ppptaaaaaaaaaaaannnnnnnppptaaaaaaaaaDaaannnn212222111211212.)1(21 记记作作的的代代数数和和个个元元素素的的乘乘积积取取自自不不同同行行不不同同列列的的阶阶行行列列式式等等于于所所有有个个数数组组成成的的由由定义

20、定义).det(ija简记作简记作的元素的元素称为行列式称为行列式数数)det(ijijaa为这个排列的逆序数为这个排列的逆序数的一个排列，的一个排列，为自然数为自然数其中其中tnpppn2121 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD212121212122221112111 说明说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的定义的;2、阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和;n!n3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每

21、项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;nn4、一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;aa 5、的符号为的符号为nnpppaaa2121 .1t 例例1 1计算对角行列式计算对角行列式0004003002001000分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是43214321ppppaaaa41 p若若,011 pa从而这个项为零，从而这个项为零，所以所以 只能等于只能等于 ,1p4同理可得同理可得1,2,3432 ppp解解0004003002001000 432114321 t.24 即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为.aaaa

22、41322314例例2 2 计算上计算上三角行列式三角行列式nnnnaaaaaa00022211211分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是.2121nnpppaaa,npn,11 npn,1,2,3123 ppnpn所以不为零的项只有所以不为零的项只有.2211nnaaannnnaaaaaa00022211211 nnntaaa2211121 .2211nnaaa 解解例例3?8000650012404321 D443322118000650012404321aaaaD .1608541 同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式nnnnnaaaaaaa3212221110000

23、0.2211nnaaa n 21 .12121nnn ;21n n 21例例4 4 证明证明对角行列式对角行列式n 21 11,212111nnnnntaaa .12121nnn 证明证明第一式是显然的第一式是显然的,下面证第二式下面证第二式.若记若记,1,iniia 则依行列式定义则依行列式定义11,21nnnaaa 证毕证毕例例5 5设设nnnnnnaaaaaaaaaD2122221112111 nnnnnnnnnnabababaabababaaD221122222111112112 证明证明.21DD 证证由行列式定义有由行列式定义有 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaa

24、aaaaaaD2121212121222211121111 nnnnnnnnnnabababaabababaaD221122222111112112 nnnnpppnnppppppppptbaaa 2121212121211由于由于,2121npppn 所以所以 .12211212121DaaaDnnnnpppppppppt nnnnpppnnppppppppptbaaaD 21212121212121 nnnnppppppppptaaa212121211 故故1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需方程个数和未知量

25、个数相同的一次方程组的需要而定义的要而定义的.2、阶行列式共有阶行列式共有 项，每项都是位于不同项，每项都是位于不同行、不同列行、不同列 的的 个元素的乘积个元素的乘积,正负号由下标排正负号由下标排列的逆序数决定列的逆序数决定.nn!n已知已知 1211123111211xxxxxf .3的系数的系数求求 x思考题解答思考题解答解解含含 的项有两项的项有两项,即即3x 1211123111211xxxxxf 对应于对应于 4334221112341aaaat 443322111aaaat ,1344332211xaaaat 343342211123421xaaaat .13 的系数为的系数为故

26、故 x扬州大学数学科学学院三阶行列式三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 说明说明（1）三阶行列式共有）三阶行列式共有 项，即项，即 项项6!3（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积乘积（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列的三个元素的下标排列例如例如322113aaa列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为 ,211312 t322311aaa列标

27、排列的逆序数为列标排列的逆序数为 ,101132 t偶排列偶排列奇排列奇排列正号正号,负号负号.)1(321321333231232221131211 ppptaaaaaaaaaaaannnnnnnppptaaaaaaaaaDaaannnn212222111211212.)1(21 记记作作的的代代数数和和个个元元素素的的乘乘积积取取自自不不同同行行不不同同列列的的阶阶行行列列式式等等于于所所有有个个数数组组成成的的由由定义定义).det(ija简记作简记作的元素的元素称为行列式称为行列式数数)det(ijijaa为这个排列的逆序数为这个排列的逆序数的一个排列，的一个排列，为自然数为自然数其中

28、其中tnpppn2121 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD212121212122221112111 说明说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的定义的;2、阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和;n!n3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;nn4、一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;aa 5、的符号为的符号为nnpppaaa

29、2121 .1t 例例1 1计算对角行列式计算对角行列式0004003002001000分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是43214321ppppaaaa41 p若若,011 pa从而这个项为零，从而这个项为零，所以所以 只能等于只能等于 ,1p4同理可得同理可得1,2,3432 ppp解解0004003002001000 432114321 t.24 即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为.aaaa41322314例例2 2 计算上计算上三角行列式三角行列式nnnnaaaaaa00022211211分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是.2121nnpp

30、paaa,npn,11 npn,1,2,3123 ppnpn所以不为零的项只有所以不为零的项只有.2211nnaaannnnaaaaaa00022211211 nnntaaa2211121 .2211nnaaa 解解例例3?8000650012404321 D443322118000650012404321aaaaD .1608541 同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式nnnnnaaaaaaa32122211100000.2211nnaaa n 21 .12121nnn ;21n n 21例例4 4 证明证明对角行列式对角行列式n 21 11,212111nnnnntaaa .12121

31、nnn 证明证明第一式是显然的第一式是显然的,下面证第二式下面证第二式.若记若记,1,iniia 则依行列式定义则依行列式定义11,21nnnaaa 证毕证毕例例5 5设设nnnnnnaaaaaaaaaD2122221112111 nnnnnnnnnnabababaabababaaD221122222111112112 证明证明.21DD 证证由行列式定义有由行列式定义有 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121212121222211121111 nnnnnnnnnnabababaabababaaD221122222111112112 nnnnpppnnpp

32、ppppppptbaaa 2121212121211由于由于,2121npppn 所以所以 .12211212121DaaaDnnnnpppppppppt nnnnpppnnppppppppptbaaaD 21212121212121 nnnnppppppppptaaa212121211 故故1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的要而定义的.2、阶行列式共有阶行列式共有 项，每项都是位于不同项，每项都是位于不同行、不同列行、不同列 的的 个元素的乘积个元素的乘积,正

33、负号由下标排正负号由下标排列的逆序数决定列的逆序数决定.nn!n已知已知 1211123111211xxxxxf .3的系数的系数求求 x思考题解答思考题解答解解含含 的项有两项的项有两项,即即3x 1211123111211xxxxxf 对应于对应于 4334221112341aaaat 443322111aaaat ,1344332211xaaaat 343342211123421xaaaat .13 的系数为的系数为故故 x扬州大学数学科学学院 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式.TDD记记nnaaa2211

34、nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211证明证明 的转置行列式的转置行列式记记ijaDdet,212222111211nnnnnnTbbbbbbbbbD ,2,1,njiabijij 即即按定义按定义 .1121212121 nppptnppptTnnaaabbbD 又因为行列式又因为行列式D可表示为可表示为 .12121 nppptnaaaD故故.TDD 证毕证毕 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.设行列式设行列式,2122221112111nnnnnnbbbbbbbbbD 说明说明 行列式中行与列

35、具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.是由行列式是由行列式 变换变换 两行得到的两行得到的,ijaDdet ji,于是于是 njinpjpipptbbbbD1111 njinpjpipptaaaa111 ,111nijnpjpipptaaaa ,1为为自自然然排排列列其其中中nji.1的逆序数的逆序数为排列为排列njippppt,11tppppnji的的逆逆序序数数为为设设排排列列则有则有即当即当 时时,jik,;kpkpab 当当 时时,jik,ipjpjpipabab 例如例如推论推论 如果行列

36、式有两行（列）完全相同，则如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零.证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 .0 D,DD ,111tt 故故 .11111DaaaaDnijnpjpippt 证毕证毕,571571 266853.825825 361567567361266853 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式.kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 行列式的某一行（列）中所有元素的公因行

37、列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面子可以提到行列式符号的外面性质性质行列式中如果有两行（列）元素成比行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零例，则此行列式为零证明证明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211.0 性质性质5 5若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和.nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 则则D等于下列两个行列式之和：等于下列

38、两个行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如性质性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjnjninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakrr)()()(1222221111111 k例如例如例例2101044614753124025973313211 D计算行列式常用方法：利

39、用运算把行列式计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值化为上三角形行列式，从而算得行列式的值jikrr 3 2101044614753124025973313211 D3 解解2101044614753124022010013211312 rr2101044614753140202010013211 2101044614753124022010013211312 rr 2 3 122rr 4 42rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 144rr 133rr 2220001000211003

40、512013211 34rr 2220020100211003512013211 23rr 2 6000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 例例2 2 计算计算 阶行列式阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D将第将第 都加到第一列得都加到第一列得n,3,2 abbbabbbabbbbna1111)1(babababbbbna 1)1(00 .)()1(1 nbabna例例3 3nnnnnknkkkkkbbbbcccca

41、aaaD1111111111110 设设,)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 证明证明证明证明;0111111kkkkkpppppD 设为设为化为下三角形行列式化为下三角形行列式，把，把作运算作运算对对11DkrrDji 化为下三角形行列式化为下三角形行列式把把作运算作运算对对22,DkccDji.0111112nnnknqqpqqD 设为设为,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 化为下三角形行列式化为下三角形行列式把把算算列作运列作运，再对后，再对后行作运算行作运算的前的前对对Dkccnkr

42、rkDjiji,nnkkqqppD1111 故故.21DD (行列式中行与列具有同行列式中行与列具有同等的地位等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立同样成立).计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利用利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值列式的值行列式的行列式的6个性质个性质思考题思考题阶行列式阶行列式计算计算411111111111122222222ddddccccbbbbaaaaD 1 abcd已知已知思考题解答思考题解答解解111111112222ddd

43、cccbbbaaaD 1111111111112222dddcccbbbaaa dddcccbbbaaaabcd1111111111112222 dddcccbbbaaa111111111111122223 .0 扬州大学数学科学学院,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa例如例如 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 333123211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 在

44、在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作nijaij1 nija.Mij ，记记ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M ,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,4443413

45、4333124232112aaaaaaaaaM 1221121MA .12M ,33323123222113121144aaaaaaaaaM .144444444MMA .个个代代数数余余子子式式对对应应着着一一个个余余子子式式和和一一行行列列式式的的每每个个元元素素分分别别引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 ijijAaD niijaija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD .144

46、42412422211412113333aaaaaaaaaa 例如例如证证当当 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,ijannnnnaaaaaaaD21222211100 即有即有.1111MaD 又又 1111111MA ,11M 从而从而.1111AaD 在证一般情形在证一般情形,此时此时nnnjnijnjaaaaaaaD1111100,1,2,1行对调行对调第第行行第第行行行依次与第行依次与第的第的第把把 iiiD得得 nnnjnnijiiijiaaaaaaaD1,1,11,11001 ijaija,1,2,1对对调调列列第第列列第第列列列列依依次次与与第第的的第第再再把把 jjjD得

47、得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1,11,1,1110011 ija nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1,11,1,12001 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1,11,1,1001 ijaijannnjnijnjaaaaaaaD1111100 中的余子式中的余子式.ijM在在余余子子式式仍仍然然是是中中的的在在行行列列式式元元素素ijnnjnnjnijijiijijaaaaaaaaa1,11,1,100 ijaija故得故得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1,11,1,1001 .1ijijjiMa 于是有于是有nnjnnjn

48、ijijiijaaaaaaa1,11,1,100 ,ijijMa ijaija定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即素与其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni,2,1 证证nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiAaAaAa 2211 ni,2,1 例例13351110243152113 D03550

49、100131111115 312 cc 34cc 0551111115)1(33 055026115 5526)1(31 5028 .40 12rr 证证用数学归纳法用数学归纳法21211xxD 12xx ,)(12 jijixx）式成立）式成立时（时（当当12 n例例2证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1(，阶范德蒙德行列式成立阶范德蒙德行列式成立）对于）对于假设（假设（11 n)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxx

50、xxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn 就就有有提提出出，因因子子列列展展开开，并并把把每每列列的的公公按按第第)(11xxi)()()(211312jjininnxxxxxxxxD ).(1jjinixx 223223211312111)()(nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即.ji,AaAaAajninjiji 02211,11111111nnnjnjininjnjnjj

51、aaaaaaaaAaAa 证证行展开，有行展开，有按第按第把行列式把行列式jaDij)det(,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 可得可得换成换成把把),1(nkaaikjk 行行第第 j行行第第 i,时时当当ji ).(,02211jiAaAaAajninjiji 同理同理).(,02211jiAaAaAanjnijiji 相同相同关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质 ;,0,1jijiDDAaijnkkjki当当当当 ;,0,1jijiDDAaijnkjkik当当当当 .,0,1jijiij当当，当当其中其中例例 计算行列式计算行列式27

52、7010353 D解解27013 D.27 按第一行展开，得按第一行展开，得27005 77103 0532004140013202527102135 D例例 计算行列式计算行列式解解0532004140013202527102135 D66027013210 6627210 .1080124220 53241413252 53204140132021352152 13rr 122 rr 1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.;,0,.21jijiDDAaijnkkjki当当当当 ;

53、,0,1jijiDDAaijnkjkik当当当当 .,0,1jijiij当当，当当其中其中思考题思考题阶行列式阶行列式设设nnnDn00103010021321 求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和.11211nAAA 思考题解答思考题解答解解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成nAAA11211 n001030100211111.11!2 njjn扬州大学数学科学学院 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111设线性方程组设线性方程组,21不全为零不全为零若常数项若常数

54、项nbbb则称此方程组为则称此方程组为非非 齐次线性方程组齐次线性方程组;,21全为零全为零若常数项若常数项nbbb此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组.如果线性方程组如果线性方程组)1(22112222212111212111 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 0.DDx,DDx,DDx,DDxnn 232211其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得

55、到的 阶行列式，即阶行列式，即jDDjnnnj,nnj,nnnj,j,jaabaaaabaaD11111111111 那么线性方程组那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解有解，并且解是唯一的，解可以表为可以表为 1证明证明 njnnjnnnnnjjnnjjnnAbAxaxaxaAbAxaxaxaAbAxaxaxa221122222221211111212111 得得个个方方程程的的依依次次乘乘方方程程组组列列元元素素的的代代数数余余子子式式中中第第用用,1,21nAAAjDnjjj在把在把 个方程依次相加，得个方程依次相加，得n,111111 nkkjknnkkjknjnkkjkjnkkjk

56、AbxAaxAaxAa由代数余子式的性质可知由代数余子式的性质可知,.,2,1njDDxjj .DDx,DDx,DDx,DDxnn 232211,Dxj的系数等于的系数等于上式中上式中 ;0的系数均为的系数均为而其余而其余jixi.jD又等式右端为又等式右端为于是于是 2当当 时时,方程组方程组 有唯一的一个解有唯一的一个解0 D 2由于方程组由于方程组 与方程组与方程组 等价等价,2 1故故.DDx,DDx,DDx,DDxnn 232211也是方程组的也是方程组的 解解.1定理定理1 1 如果线性方程组如果线性方程组 的系数行列式的系数行列式 则则 一定有解一定有解,且解是唯一的且解是唯一的

57、 .1 1,0 D定理定理2 2 如果线性方程组如果线性方程组 无解或有两个不同的无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零解，则它的系数行列式必为零.1齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组的相关定理 2000221122221211212111 nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa定理定理 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 的系数行列式的系数行列式 则齐次线性方程组则齐次线性方程组 没有非零解没有非零解.0 D 2 2定理定理 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 2有非零解有非零解,则它则它的系数行列式必为零的系数行列式必为零.000221122221211212

58、111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa有非零解有非零解.系数行列式系数行列式0 D例例1 用克拉默则解方程组用克拉默则解方程组 .0674,522,963,85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解解6741212060311512 D212rr 24rr 127702120603113570 12772121357 212cc 232cc 277010353 2733 ,27 67402125603915181 D,81 67012150609115822 D,108 60412520693118123 D,27 07415120903185124

59、 D,27,3278111 DDx,42710822 DDx,1272733 DDx.1272744 DDx例例2 2 用克拉默法则解方程组用克拉默法则解方程组 .6523,611,443,325343214321424321xxxxxxxxxxxxxx解解2311111140301253 D67,0 23165111611403412531 D,367 23651116111404012332 D,0 26511161111443013533 D,267 65311611111403032534 D,67,DDx316736711 ,DDx067022 ,DDx216726733 .1676

60、744 DDx例例3 问问 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组 ,01,032,0421321321321xxxxxxxxx 有非零解？有非零解？解解 111132421D 101112431 31214313 312123 齐次方程组有非零解，则齐次方程组有非零解，则0 D所以所以 或或 时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.20 ,3 1.1.用克拉默法则解方程组的两个条件用克拉默法则解方程组的两个条件(1)(1)方程个数等于未知量个数方程个数等于未知量个数;(2)(2)系数行列式不等于零系数行列式不等于零.2.2.克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系克拉默法则建立了线性方程

61、组的解和已知的系数与常数项之间的关系数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导它主要适用于理论推导.思考题思考题当线性方程组的系数行列式为零时当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默能否用克拉默法则解方程组法则解方程组?为什么为什么?此时方程组的解为何此时方程组的解为何?思考题解答思考题解答不能不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解此时方程组的解为无解或有无穷多解.扬州大学数学科学学院把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个元个元素的素的全排列全排列（或（或排列排列）nn个不同的元素的所有排列的种数用个不同的元素的所有排列的种数用 表示，表示，且且 nnP!nPn

62、 逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列，逆序数为，逆序数为偶数的排列称为偶数的排列称为偶排列偶排列在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 ，则称这两个数组成一个则称这两个数组成一个逆序逆序 nstiiiii21stii 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆逆序数序数分别计算出排列中每个元素前面比它大的数分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数方法方法2 2方法方法1 1分别

63、计算出排在分别计算出排在 前面比它大的前面比它大的数码之和，即分别算出数码之和，即分别算出 这这 个元素个元素的逆序数，这的逆序数，这 个元素的逆序数之总和即为所求个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数排列的逆序数n,n,121 n,n,121 nn定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换将相邻两个元素对调，素不动，称为一次对换将相邻两个元素对调，叫做相邻对换叫做相邻对换定理定理一个排列中的任意两个元素对换，排列改一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性变奇偶性推论推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，奇排列调成标准排列的对换

64、次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数 npppppptnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121222211121121211 .,2,1;,2,12121列取和列取和的所有排的所有排表示对表示对个排列的逆序数个排列的逆序数为这为这的一个排列的一个排列为自然数为自然数其中其中ntnppppppnn.,)1(21212121的逆序数的逆序数为行标排列为行标排列其中其中亦可定义为亦可定义为阶行列式阶行列式ppptaaaDDnnnpppppptnn .,)()4.,)()3.),()2.DD,1)T乘此行列式乘此行列式等于用数等于用数一数一数中所有

65、的元素都乘以同中所有的元素都乘以同列列行列式的某一行行列式的某一行等于零等于零则此行列式则此行列式完全相同完全相同列列如果行列式有两行如果行列式有两行行列式变号行列式变号列列互换行列式的两行互换行列式的两行即即式相等式相等行列式与它的转置行列行列式与它的转置行列kk.,)(,)()8.,)()7.,)()6.)()5行列式的值不变行列式的值不变对应的元素上去对应的元素上去行行后加到另一列后加到另一列然然的各元素乘以同一数的各元素乘以同一数行行把行列式的某一列把行列式的某一列式之和式之和此行列式等于两个行列此行列式等于两个行列则则的元素都是两数之和的元素都是两数之和行行若行列式的某一列若行列式的

66、某一列式为零式为零则此行列则此行列元素成比例元素成比例列列行列式中如果有两行行列式中如果有两行提到行列式符号的外面提到行列式符号的外面以以的所有元素的公因子可的所有元素的公因子可列列行列式中某一行行列式中某一行）余子式与代数余子式）余子式与代数余子式.,)1(1 的代数余子式的代数余子式叫做元素叫做元素；记；记的余子式，记作的余子式，记作阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素列划去后，留下来的列划去后，留下来的行和第行和第所在的第所在的第阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素在在aAMAManjianijijijjiijijijij ）关于代数余子式的重要性质）关于代数余子式的重要性质 .,0;,1.,0;,.,0;,11jijijijiDDAajijiDDAaijijjknkikijkinkki当当当当其中其中当当当当或或当当当当 .,2,1.,2,1,0.,122112222212111212111所得到的行列式所得到的行列式，换成常数项换成常数项列列中第中第）是把系数行列式）是把系数行列式（其中其中那么它有唯一解那么它有唯一解的系数行列式的系数行列式如果线性方程组如果线性方程组bbbjD