向量数量积的坐标运算与度量公式

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1、 向量数量积的定义是什么？向量数量积的定义是什么？如何求向量夹角？如何求向量夹角？向量的运算律有哪些？向量的运算律有哪些？平面向量的数量积有那些性质平面向量的数量积有那些性质?答：答：babababacos,cos运算律有：运算律有：)()().(2bababaabba.1cbcacba).(3数量积性质数量积性质:0cos)1(aeaae 0)2(baba22a aaaa aa (3)或baba cos)4(baba )5(0 0设设a a与与b b都都是是非非零零向向量量，e e是是单单位位向向量量，是是a a与与e e的的夹夹角角，是是a a与与b b的的夹夹角角。1 10 0二、新课讲

2、授二、新课讲授问题问题1 1：),(),(2211yxbyxa已知已知怎样用怎样用ba,的坐标表示的坐标表示呢？请同学们看下呢？请同学们看下列问题列问题.ba 设设x轴上单位向量为轴上单位向量为，Y轴上单位向量为轴上单位向量为请计算下列式子请计算下列式子：ij=ii=jj=ji=ij），（），（已已知知两两非非零零向向量量2211yxbyxa ，则则有有轴轴方方向向相相同同的的单单位位向向量量轴轴和和分分别别为为与与，设设yxjijyixa11 jyixb22 ）（）（jyixjyixba2211 2211221221jyyijyxjiyxixx ，1122 j i0 ijji2121yyxx

3、ba 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。问题问题2：推导出推导出 的坐标公式的坐标公式.ba问题问题3：写出向量夹角公式的坐标表示式，向量写出向量夹角公式的坐标表示式，向量 平行和垂直的坐标表示式平行和垂直的坐标表示式.（1）两向量垂直条件的坐标表示）两向量垂直条件的坐标表示0 baba），（），（已已知知两两非非零零向向量量2211yxbyxa 02121 yyxxba注意记忆向量注意记忆向量垂直与平行的坐标表示区别垂直与平行的坐标表示区别。（2）两平面向量共线条件的坐标表示）两平面向量共线条件的坐标表示babba 使使得得存存在在唯唯一

4、一的的）（0/1221/0abx yx y（3）向量的长度（模）向量的长度（模）2211axy），那那么么，），（，为为（点点的的坐坐标标分分别别的的有有向向线线段段的的起起点点和和终终若若表表示示向向量量2211yxyxa212212）（）（yyxxa （两点距离公式）（4）两向量的夹角）两向量的夹角cosa ba b 夹角为夹角为），（），），（两非零向量两非零向量,2211yxbyxa 212121212121yxyxyyxx 例例1 1(1 1)已已知知a a=（5 5，-7 7），b b=（-6 6，-4 4），求求a a b b。解(1)：）（）（）（4765 ba2830 2 则

5、实数 为（2 2）已已知知a a=（3 3，4 4），b b=（2 2，-1 1），且且（a a+m mb b）（a a-b b），m m何何值值？则实数 为（3 3）已已知知a a=（1 1，2 2），b b=（n n，1 1），且且（a a+2 2b b）/（2 2a a-b b），n n 何何值值？1例例23421aba mba bm（）已知（，），（，），且（）（），则实数 为何值？解解：2（），（mmbma 423），（51 ba）（）（babma 0 ）（）（babma054123 ）（）即即（mm323 m1例例则实数 为（3）3）已已知知a=（a=（1，1，2）2），b=（b=

6、（n，n，1）1），且且（a+2b）a+2b）/（/（2a-b）2a-b），n何n何值值？解：解：）（）（baba 2/23 21 2 4abn（）（，），（322nba 024321 ）（）（nn21 n.4,3,90,2,2,(1)c (2)c(3)?ababcab dakbkddcd 已知与 的夹角为且问 为何值时与 的变：夹角为锐角形.0:的的夹夹角角为为锐锐角角与与不不能能保保证证向向量量注注baba!同同向向的的情情况况与与还还要要考考虑虑向向量量ba4 21011 33 1 3 1aba b（）若（，），（，）则 与 的夹角为21231abab（）若（，），（，）则 与 的夹角的

7、余弦值为练习6563.D6533.B6533.C6563.A（3 3）、若）、若 则则 与与 夹角的余弦值为夹角的余弦值为 （）),12,5(),4,3(baabB 23（-，-）(4)、已知向量、已知向量 ，且且 的夹角为钝角，则的夹角为钝角，则x的取值范的取值范围是围是 .)4,3(),2(bxaba,例例2：求与向量：求与向量 的夹角为的夹角为45o的的 单位向量单位向量.)13,13(a解：解：设所求向量为设所求向量为 ,由定义知：由定义知：222845cosxaxa),(nmx 另一方面另一方面nmxa)13()13(待定系数法待定系数法分析：分析：可设可设x=（m,n)，只需求，只

8、需求m,n.易知易知122 nm再利用再利用 （数量积的（数量积的坐标法）即可！坐标法）即可！xaxa)(定义由由，知知2)13()13(nm122nm解得：解得：或或231m232n211n212m)21,23(x)23,21(x或或例例3：已知：已知A（1,2）,B（2,3）,C（2,5）,求证求证:ABC是直角三角形是直角三角形.031)3(1ACABABC是直角三角形是直角三角形证明：证明：)1,1()23,12(AB)3,3()25,12(AC)2,4()35,22(BC(2,3),(1,),ABACkABC：在 ABC中，设且是直角三角形变形，求k的值。:(1,3)1)90,0(2

9、,3)(1,3)023(3)0113BCACABkABCABCBABC BA BCkkk 解又是直角三角形 即当当K还有其他情还有其他情况吗？若有，况吗？若有，算出来算出来。要注意要注意分类讨论！分类讨论！顶点别为边为例例4 4、已已知知A AB BC C的的分分A A（2 2，1 1），B B（3 3，2 2），C C（-3 3，-1 1），B BC C上上的的高高A AD D，求求：ADD点点的的坐坐标标以以及及）（1的的形形状状，并并说说明明理理由由）判判断断（ABC 2解：解：,Dx y设 点的坐标为(2,1),(6,3),(3,2)ADxyBCBDxy BCAD 边边上上的的高高是是

10、 BCAD三三点点共共线线、又又CDBBDBC/ABCxy顶点 别为边为例例4 4、已已知知A AB BC C的的分分A A（2 2，1 1），B B（3 3，2 2），C C（-3 3，-1 1），B BC C 上上的的高高 A AD D，求求：ADD点点的的坐坐标标以以及及）（1 0)3()3()6()2(0)3()1()6()2(xyyx 5759yx解解得得：），（5251 AD55525122 ）（）（AD555759 ADD），点点的的坐坐标标为为（ABCxy4ABCA 21B 3 2C-3-1BCAD例、已知的顶点分别为（，），（，），（，），边上的高为，求：的的形形状状，并并说

11、说明明理理由由）判判断断（ABC 2ABCxy)2(解解：ABACABACA cos），（），（1125 ABAC71215 ）（）（ABAC261)5(2 AC2 AB527 0 为为钝钝角角A 为钝角三角形为钝角三角形ABC 例例5:已知已知 ，且存在实，且存在实数数k和和t，使得，使得且且 ，试求，试求 的最小值的最小值.)23,21(),1,3(ba2(3),xatb ykatb yx 2ktZt解：由题意有解：由题意有:132,1,31022aba b a b 2,30 x y x ya tbka tb 又334ttk222117432444kttttt272.4kttt 当时，有最

12、小值说明：说明：本题考查平面的数量积及相关知识，与函数联本题考查平面的数量积及相关知识，与函数联系在一起，具有综合性。要注意观察揭示题中的隐含系在一起，具有综合性。要注意观察揭示题中的隐含条件，然后根据垂直条件列出方程得出条件，然后根据垂直条件列出方程得出k与与t的关系，的关系，利用二次函数求最值。利用二次函数求最值。这节课我们主要学习了平面向量数量积这节课我们主要学习了平面向量数量积的坐标表示以及运用平面向量数量积性质的坐的坐标表示以及运用平面向量数量积性质的坐标表示解决有关垂直、平行标表示解决有关垂直、平行、长度、角度等几长度、角度等几何问题。何问题。（1）两向量垂直条件的坐标表示）两向量垂直条件的坐标表示02121 yyxxba（2）两向量平行条件的坐标表示）两向量平行条件的坐标表示1 22 1/0a bxyx y1122axybxy设（，），（，）2121yyxxba （3）向量的长度（模）向量的长度（模）212122yxaa 2121yxa 或或（4）两向量的夹角）两向量的夹角baba cos1 21222221122x x+y y=x+yx+y1122axybxy设（，），（，）