专题复习解三角形与平面向量

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1、专题复习解三角形与平面向量专题复习解三角形与平面向量1三角形的有关公式:（1）在ABC中：sin（AB） ，sin (2）正弦定理： （3）余弦定理： _（4)面积公式：Sahaabsin Cr(abc）（其中r为三角形内切圆半径)2平面向量的数量积ab 特别地，a2aa|a|2，a|.当为锐角时，ab0，且ab0是为锐角的必要非充分条件;当为钝角时，ab0，且ab0是为钝角的必要非充分条件3b在a上的射影为bcos_4平面向量坐标运算设a（x1，y1)，b(x2，y2)，且a0,b0,则：（1）ab ;（2)a| ，a2|a|2 ；(3）abab 0;（4)abab0abab| 0。（5）若

2、a、b的夹角为,则cos 5ABC中向量常用结论(1)0P为ABC的 ; （2)P为ABC的 ；（3)向量(0)所在直线过ABC的 ；（4）|P为ABC的 考点一解三角形例 11设ABC的三个内角A,B，C所对的边分别为a，b，c，若b2，B，C，则ABC的面积为()A1 B。1 C1 D.1例 12ABC中，已知3b2asin B，角A,B，C成等差数列，则ABC的形状为()A直角三角形 B等腰三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形例 13若ABC的三个内角满足sin Asin Bsin C51113，则ABC()A一定是锐角三角形 B一定是直角三角形C一定是钝角三角形 D可能是锐角三角形，

3、也可能是钝角三角形变式训练【11】设ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b，c.若a2，c2,cos A,且bc,则b() A3 B2 C2 D.【12】设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为(）A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D不确定 【13】在锐角ABC中，AB3，AC4，SABC3，则BC（）A5 B。或 C。 D. 例 14已知A、B、C分别为ABC的三边a、b、c所对的角，向量m(sin A，sin B），n（cos B，cos A），且mn sin 2C。 （1）求角C的大小;(2）若sin A，sin

4、 C，sin B成等差数列，且(）18，求边c的长 变式训练 【14】 （2015兰州诊断)在ABC中，角A，B,C所对的边分别为a，b，c，已知.(1）求A的大小； (2)若a6，求bc的取值范围 【15】 (2014黄冈模拟）ABC的外接圆的直径为1，三个内角A、B、C的对边为a、b、c，m(a，cos B）,n（cos A，b），ab,已知mn.（1)求sin Asin B的取值范围；（2)若abxab，试确定实数x的取值范围 例 15如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东

5、的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上(1)求渔船甲的速度；(2）求sin 的值变式训练【16】如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min。在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A，cos C。(1)求索道AB的长;（2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短?（3）为使两位游客在C处互相等待的时

6、间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内?考点二平面向量例 21已知正三角形ABC的顶点A(，1），B（3，1）,顶点C在第一象限,若点M（x,y）在ABC的内部或边界，则z取最大值时，3x2y2有（）A定值52 B定值82 C最小值52 D最小值50例 22如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2,则的值是_例 23如图在等腰直角ABC中，点O是斜边BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若m，n，则mn的最大值为（）A。 B1 C2 D3变式训练【21】设a(a1，a2)，b(b1，b2),定义一种向量积ab(a1，a2)(b1，b2)(a

7、1b1，a2b2）已知m，n,点P（x，y)在ysin x的图象上运动,点Q在yf（x）的图象上运动,且满足mn（其中O为坐标原点）,则yf(x)的最大值为_【22】在ABC中,ACB为钝角，ACBC1，xy且xy1，函数f(m）m|的最小值为,则|的最小值为_易错题在ABC中，sin Acos A，AC2，AB3，求tan A的值和ABC的面积练习题1向量a(1，1)，b（1,2)，则(2ab)a（）A1 B0 C1 D22在ABC中,若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是（）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定3在ABC中，AB2，AC3,1，则BC()A。 B

8、。 C2 D.4锐角ABC中，若A2B,则的取值范围是(）A(1，2) B(1，) C(，2) D(，）5如图，在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD，2ABBD,BC2BD,则sin C的值为(）A. B. C。 D。6如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为75、30,此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于(）A240（1） m B180(1) m C120(1） m D30（1） m7记maxx，yminx，y设a，b为平面向量，则(）Amin|ab，ab|min|a，b Bmin|ab，|abmina，bCmax|ab|2，ab|2a2|b|2 Dmaxab2，

9、|ab2a2b28如图为函数f（x）sin（x）（0）的部分图象，B，C分别为图象的最高点和最低点,若2，则（）A. B. C. D.9设ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acos Bbcos Ac，则的值为_10在ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为3，bc2，cos A,则a的值为_11如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为 30，则此山的高度CD_m。12ABC中,角A，B,C所对的边分别为a，b，c。已知a3,cos A,BA.（1）求b的值； （2)求ABC的面积13ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m（a，b）与n(cos A,sin B)平行（1）求A; (2)若a,b2，求ABC的面积14在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知tan2.(1）求的值； (2）若B，a3，求ABC的面积15已知向量m(cos x，1）,n,f(x)（mn）m. （1）求函数f(x)的单调递增区间;(2）锐角ABC中角A，B，C的对边分别为a，b,c，其面积S，f，a3，求bc的值5