第二章导数与微分ppt课件

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1、第一节 导数的概念一、问题的提出一、问题的提出二、导数的定义二、导数的定义三、由定义求导数三、由定义求导数四、可导与连续的关系四、可导与连续的关系1.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置一、问题的提出一、问题的提出 T0 x0 xxoxy)(xfy CM0M 如图如图,M0T为曲线为曲线f(x)在点在点x0处的切线处的切线 1.平面曲线的切线问题平面曲线的切线问题切线即割线的极限位置切线即割线的极限位置000.M Mx 0M M割线的斜率为tanyx00()(),f xxf xx00,CMMx 沿曲线的斜率为的斜率为切线切线MT0000()()limlim.xxf xx

2、f xykxx 2.变速直线运动的瞬时速度问题变速直线运动的瞬时速度问题如图如图,求求t0时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度,0tt 的的时时刻刻取取一一邻邻近近于于,t 运动时间运动时间svt平均速度00()()s tts tt0,t 当时取极限得取极限得t0时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度000()()limts tts tvt 0tso0()s t()s t0tt二、导数的定义00000000000(),0,()();()()limlim,(),(),()xxyf xxxxxyyf xxf xf xxf xyxxyf xxyf xxfx 设函数在点处及左右有定义自变量 在处取得增量时 相应地函数

3、取得增量若=存在 则称函数在点处可导 并称这个极限为函数在点处的导数 记为定义定义即即00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx =.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 000(),xxxxxxdydf xydxdx，或还可记为还可记为0000(3)()()lim.3xf xxf xfxx 0000()()()lim.xf xxf xfxx 2.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导数左导数:0000()()()lim;xf xxf xfxx 0000()()()lim;xf xxf xfxx 函

4、函数数)(xf在在点点0 x处处可可导导左左导导数数)(0 xf 和和右右导导数数)(0 xf 都都存存在在且且相相等等.)(,)(内内可可导导在在开开区区间间就就称称函函数数处处都都可可导导内内的的每每点点在在开开区区间间如如果果函函数数IxfIxfy .)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或或记作记作的导函数的导函数这个函数叫做原来函数这个函数叫做原来函数导数值导数值的一个确定的的一个确定的都对应着都对应着对于任一对于任一 xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或三、由定义求导数步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求

5、增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求求极极限限例例1.1.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解0()()()limxf xxf xfxx 0limxCCx.0.0)(C即即例例2.2.2().f xx求函数的导数解解0()()()limxf xxf xfxx 2()2.xx 即220()limxxxxx 202limxx xxx 0lim(2)xxx 2x例例3 3.yx求函数的导数解解0()()()limxf xxf xfxx 1()2xx即0limxxxxx 0()()lim()xxxxxxxxxxx 01limxxx

6、x 12 x四、可导与连续的关系四、可导与连续的关系定理定理 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数.证证,)(0可可导导在在点点设设函函数数xxf0000()()lim()xxf xf xfxxx0000000()()lim()()limlim()xxxxxxf xf xf xf xxxxx.)(0连连续续在在点点函函数数xxf即有即有0()00fx即即00lim()()xxf xf x例例4 4.0)(处处的的可可导导性性在在讨讨论论函函数数 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim,1 hhhfhfhh 00lim)0()0

7、(lim.1 ),0()0(ff即即.0)(点点不不可可导导在在函函数数 xxfy注意注意:该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立.第二节第二节 导数的基本运算法则导数的基本运算法则一、和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则一、和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则(2)()()()()()();u xv xu x v xu x v x定理定理并并且且可可导导处处也也在在点点分分母母不不为为零零们们的的和和、差差、积积、商商则则它它处处可可导导在在点点如如果果函函数数,)(,)(),(xxxvxu(1)()()()();u

8、xv xu xv x2()()()()()(3)()0)()()u xu x v xu x v xv xv xvx 证证(3)(3)(),()0),()u xyv xv x设()()uu xxu x 证证(1)(1)、(2)(2)略略.()()vv xxv x 记记那么那么()()()()u xxu xyv xxv x()()()()u xuu xv xvv x()()()()()()u xu v xu x v xvv xv v x()()()()v xuu xvv xv v x 故故00()()limlim()()xxuvv xu xyxxyxv xv v x 2()()()()()v x

9、u xu x v xvx推论推论;)()()1(11 niiniixfxf);()()2(xfCxCf 12112(3)()()()()()()()nininf xfx fxfxf x fxfx 21()(4)()()fxf xfx 二、例题分析二、例题分析例例1.1.2.yxx求的导数解解2()()yxx 例例2.2.4.yx求的导数解解4()yx 142 x122xx2x例例3.3.21.yx求的导数解解222()()xyx 42xx32x三、反函数的导数三、反函数的导数定理定理111()()()0,(),1().()()yxxfyIfyyf xIfxfy如果函数在某区间 内单调、可导且则

10、它的反函数在对应区间内也可导 且有即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.证证,xIx 任取任取xx 以增量以增量给给的单调性可知的单调性可知由由)(xfy ,0 y于是有于是有,1yxxy ,)(连连续续xf),0(0 xy1()()0fy又知xyxfx 0lim)(yxy 1lim011()()fy11().()()fxfy即),0(xIxxx 第三节第三节 导数基本公式导数基本公式1.常量函数的导数常量函数的导数2.幂函数的导数幂函数的导数3.指数函数的导数指数函数的导数4.对数函数的导数对数函数的导数5.三角函数的导数三角函数的导数6.反三角函数的导

11、数反三角函数的导数1.1.由前知由前知2.2.幂函数幂函数y=xn y=xn 的导数的导数00()limlimnnxxyxxxyxx 常值函数常值函数y=C的导数的导数0y 12210()()()limnnnnxx xxxxxxx xxx 12210lim()()()nnnnxxxxxxxx xx 1nnx即即1()nnxnx例例.1x 一般地一般地,对任意常数对任意常数,幂函数幂函数y=x的导数为的导数为1()yxx 2()2xx109()10 xx12211()()xxxx 232312()()2xxxx 112211()()22xxxx352235133()()22xxxx 3.3.00

12、limlimxxxxxyaayxx 指数函数指数函数y=ax(a0,a1)的导数的导数1,log(1),00)xauaxuxu (令则且即即()lnxxaaa01limxxxaax 0limlog(1)xuauau101limlog(1)xuuaau1logxaaelnxaa4.4.logyayxxa由于对数函数为指数函数的反函数对数函数对数函数y=loga x(a0,a1)的导数的导数1(log)lnaxxa1()yya故由反函数求导法则得故由反函数求导法则得:1lnyaa1lnxa特别地特别地,当当a=e时有时有即即1(ln)xx5.5.三角函数三角函数y=sinx,y=cosx y=si

13、nx,y=cosx 的的导数导数0sin()sinlimxxxxyx.cos)(sinxx 即即02sincos()22limxxxxx 0sin2limcos()22xxxxx cosx类似可得类似可得(cos)sin.xx )cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得5.5.三角函数三角函数y=tanx,y=cotx y=tanx,y=cotx 的的导数导数6.6.反三角函数反三角函数 y=arcsinx,y=arcco

14、sx,y=arctanx,y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotxy=arccotx的导数的导数sinsin,2 2yarcxxy 为在上的反函数,故)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx .11)cot(2xx arc导数基本公式导数基本公式1(log)lnaxxa()0C 1()xx()lnxxaaa()xxee 1(ln)xx(sin)cos xx(cos)sinxx 2(tan)secxx 2(cot)cscxx 21(arcsin)1xx

15、 21(arccos)1xx 21(arctan)1xx 21(arccot)1xx 导数运算法则导数运算法则设设)(),(xvvxuu 可导，那么可导，那么（1）vuvu )(,（2）uccu )(（3）vuvuuv )(,（4）)0()(2 vvvuvuvu.(是常数是常数)C 例例1.求函数求函数y=x4+7x3-x+10的导数的导数导数基本公式及运算法则举例导数基本公式及运算法则举例解解:43()7()10yxxx324211xx例例2.求函数求函数y=x2ex的导数的导数解解:22()()xxyxex e22xxxex e2(2)xxx e例例3.求函数求函数y=xexlnx的导数的

16、导数导数基本公式及运算法则举例导数基本公式及运算法则举例解解:ln()ln(ln)xxxyx exx exxex例例4.求函数求函数y=(1-x2)arcsinx的导数的导数解解:22(1)arcsin(1)(arcsin)yxxxxlnlnxxxexxexe(lnln1)xxxxe2212 arcsin(1)1xxxx 22 arcsin1xxx导数基本公式及运算法则举例导数基本公式及运算法则举例解解:2(1)(1)(1)(1)(1)xxxxyx例例5.求函数求函数 的导数的导数11xyx2(1)(1)(1)xxx22(1)x导数基本公式及运算法则举例导数基本公式及运算法则举例解解:2(ln

17、)ln()xxx xyx例例6.求函数求函数 的导数的导数ln xyx21 ln xx例例7.求函数求函数 的导数的导数2cot1arcxyx2222(cot)(1)cot(1)(1)arcxxarcxxyx解解:221 2cot(1)xarcxx 第四节、复合函数的求导法则第四节、复合函数的求导法则定理定理0000000(),()(),(),()()().uu xxyf uuu xyf u xxy xf uu x如果函数在点可导 而在点可导 则复合函数在点可导 且其导数为即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导,乘以中间变量对自变量求导乘以

18、中间变量对自变量求导.(链式法则链式法则)证证,)(0可可导导在在点点由由uufy )(lim00ufuyu xyx 0lim0limxyuux 00limlimuxyuux 00()()fuu x(由由u u的连续性得的连续性得)00()()fu xu x推广推广(),(),(),yf uuu vvv x设 ()()()()().yf u v xy xfuu vv x则复合函数的导数为例例1 110(32).yx求函数的导数解解10,32.yuux()()()y xy uu x9103u930(32)x例例2 221.yx求函数的导数解解2,1.yu ux()()()y xy uu x1(2

19、)2xu xu21xx例例3 322log(1).yx求函数的导数解解22log,1yuux()()yy uu x12ln2xu22(1)ln2xx熟练后熟练后,中间变量可不必写出中间变量可不必写出,只在心中计算函只在心中计算函数数f(u)f(u)对对u u的导数的导数,并将这个导数表示为并将这个导数表示为x x的函数的函数.例例4 4lnln.yx求函数的导数解解1(ln)lnyxx 1lnxx例例5 53sin.yx求函数的导数解解33cos()yxx 233cosxx例例6 61tan.xye求函数的导数解解1tan1(tan)xyex 1tan211(sec)()xexx1tan221

20、1(sec)xexx 例例7 72ln(1).yxx求函数的导数解解221(1)1yxxxx 导数的运算综合例导数的运算综合例2211(1)1xxx222111(1)12 1xxxx221111xxxx211x例例8 832211arctanln(1)-.22yxxxx求函数的导数解解导数的运算综合例导数的运算综合例32211(arctan)ln(1)-()22yxxxx3222211(3arctan)(1)-121xxxxxxx3222(3arctan)-11xxxxxxx3223arctan-1xxxxxx23arctanxx例例9 92211()ln(2).41xf xfx已知函数,求解

21、解221ln(1)ln(1)4yxx导数的运算综合例导数的运算综合例221ln(1)ln(1)4yxx2222111(1)(1)411xxxx22122()411xxxx4141xx从而从而2(2).15f第五节、隐函数的导数第五节、隐函数的导数定义定义:.)(称称为为隐隐函函数数由由方方程程所所确确定定的的函函数数xyy .)(形形式式称称为为显显函函数数xfy 0),(yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.例

22、例1 12231.xxyyyy求由方程所确定的隐函数的导数解解,求导求导方程两边对方程两边对x23()20 xyxyyy化简得化简得(32)(23)xy yxy 从中解解出从中解解出 得得:y2332xyyxy 例例2 23.yyxxeyy求由方程所确定的隐函数的导数解解,求导求导方程两边对方程两边对x23()yyyxexe y化简得化简得从中解解出从中解解出 得得:y2(1)3yyxeyxe231yyxeyxe例例3 3ln.yxyyy求由方程所确定的隐函数 的导数解解,求求导导方方程程两两边边对对xlnxyyyy化简得化简得从中解解出从中解解出 得得:y(1)lnxyyyln1yyxyln

23、yyyx考虑考虑:试用反函数求导法则求解此题试用反函数求导法则求解此题例例4 4sin1,(0)yyxyxexy设 关于 的函数为由方程所确定的隐函数 试求解解,yx先求,方程两边对 求导(sincos)10yyxyxe y 从中解解出从中解解出 得得:y1cossinyyxyxe又当又当x=0时时,y=0,即即y(0)=0故故01 0cos0(0)1sin0ye第六节第六节 高高 阶导数阶导数一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义二、高阶导数求法举例二、高阶导数求法举例一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义问题问题:变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.),(tfs 设设)()(tftv 则

24、瞬时速度为则瞬时速度为的的变变化化率率对对时时间间是是速速度度加加速速度度tva.)()()(tftvta定义定义.)()(,)()(lim)(,)()(0处处的的二二阶阶导导数数在在点点为为函函数数则则称称存存在在即即处处可可导导在在点点的的导导数数如如果果函函数数xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 记作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 记记作作阶阶导导数数的的函函数数阶阶导导数数的的导导数数称称为为的的函函数数一一般般地地,)(1)(,nxfnxf.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数,二

25、阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.)(;)(,称称为为一一阶阶导导数数称称为为零零阶阶导导数数相相应应地地xfxf.,),(33dxydyxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,.,),(44)4()4(dxydyxf二、二、高阶导数求法举例高阶导数求法举例例例1 12(1)arctan,.yxxy设求解解2212 arctan(1)1yxxxx 1)二阶导数的求法二阶导数的求法求完一阶再求一阶即可求完一阶再求一阶即可.2 arctan1xx故故(2 arctan1)yxx212arctan21xxx例例2 221,.1yyx设求解解222

26、(1)(1)xyx 故故 222(1)xx222(1)xyx2222242(1)2(1)(1)(1)xxxxx222 32(1)4(1)xxx22 32(31)(1)xx例例3 3sinln,.yxy设求解解cosln(ln)yxx故故 cosln xxcosln()xyx2(cosln)coslnx xx xx21sinlncoslnxxxxx2sinlncoslnxxx 例例4 4222(0),.yxxyaay设 关于 的函数为方程所确定的隐函数 求解解 在方程两边同时对在方程两边同时对x求导得求导得:220 xyy故故xyy()在方程在方程()两边同时再对对两边同时再对对x求导得求导得:

27、22()0y yyy解之得解之得2()1yyy 2()1xyy 23ay 例例5 5(),.nyxny设为正整数 求 的各阶导数解解1nynx 1)n阶导数的通项阶导数的通项先求出前面几阶再观察出规律先求出前面几阶再观察出规律将通项写出将通项写出.2(1)nyn nx3(1)(2)nyn nnx(4)4(1)(2)(3)nyn nnnx()(1)(2)(3)(1)!nn nyn nnnnnxn(1)0ny()nyxn故为正整数 的各阶导数用通式可表示为:()(1)(2)(3)(1),0 ,n mmn nnnnmxmnymn如如:8yx(5)38 7 6(85 1)yx(10)0y34 5 6

28、7 8x例例6 6(),.xnyey设求解解xye xyexye(4)xye(),.xnyey设求()nxye例例7 72(100),.xyey设求解解22xye 222xye322xye(4)422xye(100)10022xye第七节第七节 函数的微分函数的微分一、问题的提出一、问题的提出二、微分的定义二、微分的定义三、微分的求法三、微分的求法四、微分形式的不变性四、微分形式的不变性五、微分的几何意义五、微分的几何意义一、问题的提出一、问题的提出实例实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.20 xA 0 x0 x,00 xxx 变到变到设边长由设边长由,20

29、 xA 正方形面积正方形面积2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的的主主要要部部分分且且为为的的线线性性函函数数Ax .,很很小小时时可可忽忽略略当当的的高高阶阶无无穷穷小小xx :)1(:)2(x x 2)(x xx 0 xx 0再例如再例如,.,03yxxxy 求函数的改变量求函数的改变量时时为为处的改变量处的改变量在点在点设函数设函数3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小时时当当 x.320 xxy ),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值二、微分的定义二、微分

30、的定义定义定义000000000 (),0,(),()(),(),()x xx xyf xxxxxyf xxfxxyf xxxdydf xdyfxx 设函数在 处及其左右有定义自变量 在点 有改变量若函数在点可导 则称为函数在点相应于自变量增量的微分值 记作或即(),(),().yf xxdydf xdyf xx函数在任意点 的微分 称为函数的微分(函数)记作或即微分的涵义微分的涵义:00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx 由导数的定义知由导数的定义知故故0000()()lim()0 xf xxf xfxx 000()()0()f xxf xxf xx 从而当时,为无穷

31、小量000()()()()f xxf xf xxox 即故当故当x很小时很小时,0000()()()()f xxf xf xx df x 故微分的涵义即故微分的涵义即:函数值微小增量的主要部分函数值微小增量的主要部分例例1 1解解.yx求函数的微分()dyxx()yf x故函数的微分的表达式变为:).(xfdxdy .微商微商导数也叫导数也叫该函数的导数该函数的导数之商等于之商等于与自变量的微分与自变量的微分即函数的微分即函数的微分dxdyx 即即dxx()().df xfx dx由此可得由此可得:三、微分的求法三、微分的求法dxxfdy)(求法求法:计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的

32、微分乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式122()0()(sin)cos(cos)sin(tan)sec(cot)cscd Cd xxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(2.函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud arc例例2 2解解lg.yxxd

33、y设求1lgln10yxxx 例例3 3解解lglgxe(lglg)dyxe dxcos.xyedy设,求cos(cos)xyex cossinxex cossinxdyexdx 例例4 4解解lnsin,.4xydy设求1(sin)4sin4xyx 1cos()44sin4xxxcos14cot444sin4xxx1cot44xdydx例例5 5解解2sin(),.yxxyxydy设 关于 的函数为方程所确定的隐函数 求2cos()(2)xyxyyxy:x方程两边同时对 求导得解之得解之得:222 cos()cos()yxxyyxyx故故222 cos()cos()yxxydydxxyx四、

34、微分形式的不变性四、微分形式的不变性;)(,)1(dxxfdyx 是是自自变变量量时时若若则则微函数微函数的可的可即另一变量即另一变量是中间变量时是中间变量时若若),(,)2(txtx ),()(xfxfy 有有导导数数设设函函数数dttxfdy)()(,)(dxdtt .)(dxxfdy 结论：结论：的微分形式总是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)(,xfyx 微分形式的不变性微分形式的不变性dxxfdy)(五、微分的几何意义五、微分的几何意义)(xfy 0 xMNTdyy)(xo ）xyo x 几何意义几何意义:(如图如图).,对应的增量对应的增量就是

35、切线纵坐标就是切线纵坐标坐标增量时坐标增量时是曲线的纵是曲线的纵当当dyy xx0 P.,MNMPMx可可近近似似代代替替曲曲线线段段切切线线段段的的附附近近在在点点很很小小时时当当 微分的应用近似值计算 即当即当x很小时很小时,0000()()()()f xxf xf xx df x 由微分的涵义知由微分的涵义知微分为函数值微小增量的主要部分微分为函数值微小增量的主要部分故当故当x很小时很小时,000()()()f xxf xf xx 例例6 6 求求1.05的近似值的近似值解解:设设()f xx,那么那么1()2f xx 从而从而1.05(1.05)f(1 0.05)f(1)(1)0.05ff110.052 1.025