《高等数学之全微分》PPT课件

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1、目录 上页 下页 返回 结束 第九章*二、全微分在近似计算中的应用二、全微分在近似计算中的应用 应用 第三节一元函数 y=f(x)的微分)(xoxAyxxfy)(d近似计算估计误差本节内容本节内容:一、全微分的定义、全微分的定义 全微分目录 上页 下页 返回 结束 一、全微分的定义、全微分的定义 定义定义:如果函数 z=f (x,y)在定义域 D 的内点(x,y),(),(yxfyyxxfz可表示成,)(oyBxAz其中 A,B 不依赖于 x,y,仅与 x,y 有关，称为函数),(yxf在点(x,y)的全微分全微分,记作yBxAfz dd若函数在域 D 内各点都可微,22)()(yx则称函数

2、f(x,y)在点(x,y)可微可微，处全增量则称此函数在在D 内可微内可微.AxBy目录 上页 下页 返回 结束)(oyBxAzyBxAfz dd(2)偏导数连续),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微),(lim00yyxxfyx当函数可微时:得zyx00lim0),(yxf函数在该点连续偏导数存在 函数可微 即目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1 1(必要条件)若函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微可微,则该函数在该点的偏导数yzxz,yyzxxzzd),(),(yfyfzx

3、xz同样可证,Byzyyzxxzzd证证:因函数在点(x,y)可微,故,)(oyBxAz,0y令)(xoxA必存在,且有得到对 x 的偏增量xxx因此有 xzxx0limA目录 上页 下页 返回 结束 反例反例:函数),(yxf易知,0)0,0()0,0(yxff 但)0,0()0,0(yfxfzyx因此,函数在点(0,0)不可微.)(o注意注意:定理1 的逆定理不成立.22)()(yxyx22)()(yxyx22)()(yxyx0偏导数存在函数 不一定可微 !即:0,2222yxyxyx0,022 yx目录 上页 下页 返回 结束 ),(yyxxf定理定理2(充分条件)yzxz,证证：),(

4、),(yxfyyxxfz)1,0(21xyxfx),(yyyxfy),(2xyyxxfx),(1),(yyxf),(yxf),(yyxfyyxfy),(若函数),(yxfz 的偏导数,),(连续在点yx则函数在该点可微分.0lim00yx,0lim00yx目录 上页 下页 返回 结束 zyyxfxyxfyx),(),(yyxfxyxfzyx),(),(yx所以函数),(yxfz),(yxyx在点可微.0lim00yx,0lim00yx注意到,故有)(o目录 上页 下页 返回 结束 xxu推广推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如,三元函数),(zyxfu ud习惯上把自变量的增量

5、用微分表示,ud记作uxd故有下述叠加原理uuuuzyxdddd称为偏微分偏微分.yyudzzudxxuduyduzd的全微分为yyuzzu于是uuuzyxd,d,d目录 上页 下页 返回 结束 例例1.计算函数在点(2,1)处的全微分.yxze解解:xz22e2)1,2(,e)1,2(yzxzyxzde2ded22)1,2(例例2.计算函数的全微分.zyyxue2sin解解:udxd1yyd)cos(221 zyzydeyz,eyxyyxxe)d2d(e2yx zyze目录 上页 下页 返回 结束 可知当*二、全微分在近似计算中的应用二、全微分在近似计算中的应用1.近似计算近似计算由全微分定

6、义xy)(),(),(oyyxfxyxfzyx),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(较小时,yyxfxyxfzzyx),(),(dzd及有近似等式:),(yxf(可用于误差分析或近似计算)(可用于近似计算)目录 上页 下页 返回 结束 半径由 20cm 增大解解:已知,2hrV V,100,20hr)1(2005.01002022V即受压后圆柱体体积减少了.2003cm例例3.有一圆柱体受压后发生形变,到 ,则 rhr 2hr 21,05.0hr)(2003cm高度由100cm 减少到 99cm,体积的近似改变量.求此圆柱体hr目录 上页 下页 返回 结束 例例4.4.计算的近似值.

7、02.204.1解解:设yxyxf),(,则),(yxfx取,2,1yx则)02.2,04.1(04.102.2fyfxffyx)2,1()2,1()2,1(08.102.0004.021),(yxfy,1yxyxxyln02.0,04.0yx目录 上页 下页 返回 结束 分别表示 x,y,z 的绝对误差界,2.误差估计误差估计利用yyxfxyxfzyx),(),(zyx,令z 的绝对误差界约为yyxxzyxfyxf),(),(z 的相对误差界约为yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),(则目录 上页 下页 返回 结束 yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),()

8、,(特别注意特别注意时，yxz)1(yxzyxz,)2(时xyz yxyx类似可以推广到三元及三元以上的情形.xzz )(2xyyxy x1yx 乘除后的结果相对误差变大 很小的数不能做除数目录 上页 下页 返回 结束 例例5.利用公式CbaSsin211.030,01.03.8,01.05.12Cba求计算面积时的绝对误差与相对误差.解：解：aSaSaCbsin211800,01.0,30,3.8,5.12CbaCba13.0S故绝对误差约为又CbaSsin21所以 S 的相对误差约为SS30sin3.85.1221bCasin21CCabcos2194.2594.2513.0%5.0计算三

9、角形面积.现测得bbSCCS目录 上页 下页 返回 结束 例例6 6.在直流电路中,测得电压 U=24 V,解解:由欧姆定律可知4624IUR()所以 R 的相对误差约为IURIUR0.3 +0.5 R 的绝对误差约为 RR ;定律计算电阻为 R 时产生的相对误差和绝对误差.相对误差为 测得电流 I=6A,相对误差为 0.5 ,=0.032()求用欧姆目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.微分定义:),(为例以yxfz zyyxfxyxfyx),(),(zdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2.重要关系:)(o函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函

10、数连续函数连续目录 上页 下页 返回 结束 3.微分应用 近似计算 估计误差zyyxfxyxfyx),(),(),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(绝对误差相对误差),(yxfyyxxzyxfyxf),(),(yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),(目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.P75 题5；P129 题 1 函数),(yxfz 在),(00yx可微的充分条件是();),(),()(00连续在yxyxfA),(),(,),()(00yxyxfyxfByx在的某邻域内存在;yyxfxyxfzCyx),(),()(0)()(22yx当时是无穷小

11、量;22)()(),(),()(yxyyxfxyxfzDyx0)()(22yx当时是无穷小量.2.选择题D目录 上页 下页 返回 结束 答案答案:z03.0,101.0,2yyxx02.0zd03.0,101.0,2yyxx03.0也可写作:当 x=2,y=1,x=,y=时 z=,d z=3.P129 题 7目录 上页 下页 返回 结束 zfyfxffzyyd)0,0,0(d)0,0,0(d)0,0,0(d)0,0,0(4.设,coscoscos1coscoscos),(zyxxzzyyxzyxf.d)0,0,0(f求解解:xxxfcos3)0,0,(0cos3)0,0,0(xxxfx41利用

12、轮换对称性,可得41)0,0,0()0,0,0(zyff)dd(d41zyx注意注意:x,y,z 具有 轮换对称性轮换对称性 目录 上页 下页 返回 结束.d,arctanzyxyxz求答案答案:22dddyxyxxyz作业作业 P74 1(3),(4);3;*6;*9;*11 5.已知第四节 目录 上页 下页 返回 结束 在点(0,0)可微.备用题备用题在点(0,0)连续且偏导数存在,续,),(yxf而),(yxf)0,0(),(,1sin22yxyxyx)0,0(),(,0yx证证:1)因221sinyxxy0),(lim00yxfyx)0,0(f故函数在点(0,0)连续;但偏导数在点(0

13、,0)不连 证明函数xy所以目录 上页 下页 返回 结束),(yxf)0,0(),(,1sin22yxyxxy)0,0(),(,0yx),(yxfx,)0,0(),(时当yx,)0,0(),(时趋于沿射线当点xyyxP,0)0,(xf;0)0,0(xf.0)0,0(yf同理y221sinyx 3222)(yxyx221cosyx),(lim)0,0(),(yxfxxx极限不存在,),(yxfx在点(0,0)不连续;同理,),(yxfy在点(0,0)也不连续.xx(lim0|21sinx33|22xx)|21cosx2)3)题目 目录 上页 下页 返回 结束),(yxf)0,0(),(,1sin22yxyxxy)0,0(),(,0yx,)()(22yx4)下面证明)0,0(),(在点yxf可微:yfxffyx)0,0()0,0(1sinyx x 00.)0,0(),(可微在点yxf说明说明:此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件.令则题目