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1、l教学目标：教学目标：1.知识与技能知识与技能(1)经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验探索和发现的体验.（2）在问题解决过程中综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，）在问题解决过程中综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识形成对数学的整体性认识.2.过程与方法过程与方法在探究过程中在探究过程中,感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会证明的必感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会证明的必要性要性.3.情感、态度与价值观情感、态度与价值观.在合作交流中扩展思
2、路，发展学生的推理能力在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力.l教学重点难点教学重点难点1.重点重点:通过对一个开放性、探究性的课题的探索，获得探索和发现的体通过对一个开放性、探究性的课题的探索，获得探索和发现的体验，体现归纳、综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法验，体现归纳、综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法.2.难点难点:处理问题的策略和方法处理问题的策略和方法.问题问题1、（1）任意给定一个正方形，是否存在另）任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的周长和面积的2倍？倍？解：设给定的正方形的边长为解
3、：设给定的正方形的边长为a，则其周长为，则其周长为4a,面积为面积为a2,若面积变为若面积变为2a2,则其边长应为则其边长应为此时周长应为此时周长应为 它不是已知给定的正方形的它不是已知给定的正方形的周长的周长的2倍倍.所以无论从哪个角度考虑所以无论从哪个角度考虑,都说明不都说明不存在这样的正方形存在这样的正方形.,2a,4 a(2)任意给定一个矩形任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形是否存在另一个矩形,它的它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍倍?矩形的形状太多了矩形的形状太多了,我们可以先我们可以先研究一个具体的矩形研究一个具体的矩形.l合作交流，
4、解读探究合作交流，解读探究如果已知矩形的长和宽分别为如果已知矩形的长和宽分别为2和和1,结论会结论会怎样呢怎样呢?你是怎么做的你是怎么做的?和同伴交流和同伴交流.总结如下总结如下:有三种思路可以选择有三种思路可以选择:(1)先固定所求矩形的周长先固定所求矩形的周长,将问题化为方程将问题化为方程x(6-x)=6是否有解的问题是否有解的问题.(2)先固定所求矩形的面积先固定所求矩形的面积,将问题转化为方程将问题转化为方程x+4/x=6是否有解的问题是否有解的问题.(3)也可以根据已知矩形的长和宽分别为也可以根据已知矩形的长和宽分别为2和和1,那么那么其周长和面积分别为其周长和面积分别为6和和2,所
5、求矩形的周长和面积所求矩形的周长和面积应分别为应分别为12和和4,设其长和宽分别为设其长和宽分别为x和和y,则得方程则得方程 组组 然后讨论它的解是否符合题意然后讨论它的解是否符合题意.,46xyyx议一议议一议:当已知矩形的长和宽分别为当已知矩形的长和宽分别为3和和1,是否还是否还有相同的结论有相同的结论?已知矩形的长和宽分别为已知矩形的长和宽分别为4和和1,5和和1,n和和1呢？呢？更一般地，当已知矩形的长和宽分别为更一般地，当已知矩形的长和宽分别为n和和m时，时，是否仍然有相同的结论？是否仍然有相同的结论？解解:(1)当已知矩形的长和宽分别为当已知矩形的长和宽分别为3和和1,那么其周长那
6、么其周长和面积分别为和面积分别为8和和3,所求矩形的周长为所求矩形的周长为16,面积为面积为6,设所求矩形的长为设所求矩形的长为x,则宽为则宽为8-x,则有则有x(8-x)=6,即即x2-8x+6=0.解得解得:经检验符合题意经检验符合题意,所以存在一个矩形所以存在一个矩形,长为长为宽为宽为104,10421xx,104.104解解:当已知矩形的长和宽分别为当已知矩形的长和宽分别为n和和m时时,那么其周那么其周长和面积分别为长和面积分别为2(m+n),和和mn,所求的矩形周长和所求的矩形周长和面积为面积为4(m+n)和和2mn.设所求矩形的长为设所求矩形的长为x,那么宽那么宽为为2(m+n)-
7、x,根据题意根据题意,得得x2(m+n)-x=2(m+n)-x=2mn.整理得整理得,x2-2(m+n)x+2mn=0解得解得:.,222221nmnmxnmnmx结论结论:任意给定一个矩形任意给定一个矩形,一定存在另一个矩形一定存在另一个矩形,它的它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍倍.经检验经检验x1,x2符合题意符合题意,所以存在一个矩形所以存在一个矩形,它的长为它的长为 宽为宽为 ,22nmnm.22nmnm练一练练一练:当已知矩形的长和宽分别为当已知矩形的长和宽分别为n和和m时，是否时，是否仍然有相同的结论？仍然有相同的结论？l挑战自我挑战
8、自我1.观察下列各式观察下列各式:,154415641544,833827833,32238322你能得到怎样的结论你能得到怎样的结论?并证明你的结论并证明你的结论.)1(111:2232的整数所得结论为解nnnnnnnnn解题思路解题思路:通过类比引伸推广通过类比引伸推广,归纳出一般结论归纳出一般结论,解题解题关键是探索归纳关键是探索归纳,猜想猜想.2.已知已知:(1)如图如图,ABBDBD于点于点B,CDBDB,CDBD于点于点D,ADD,AD和和BCBC相交于点相交于点E,EFBDE,EFBD于点于点F.F.求证求证:EFCDAB111(2)若将图若将图1中的垂直改为斜交中的垂直改为斜交
9、,如图如图2,AB/CD,AD与与BC相交于点相交于点E,EF/AB交交BD于点于点F,则则(1)的结论还成的结论还成立吗立吗?如果成立如果成立,请给予证明请给予证明;不成立不成立,请说明理由请说明理由.(3)猜想猜想SABDABD、S SBEDBED和和S SBDCBDC有什么关系有什么关系?并证明你并证明你的猜想的猜想.图1图1F FE ED DC CB BA A图2图2F FE ED DC CB BA Al超越自我超越自我:已知等边已知等边ABCABC和点和点P,P,设点设点P P到到ABCABC三三边边AB,AC,BCAB,AC,BC的距离分别为的距离分别为 h h1 1,h,h2 2
10、,h,h3 3.ABCABC的高为的高为h.h.若点若点P在一边在一边BC上如图上如图(1),此时此时h3=0,可得结可得结论论:“h1+h2+h3=h”，请直接应用上述信息解决下列，请直接应用上述信息解决下列问题：问题：当点当点P在在ABCABC内内,如图如图(2),(2),点点P P在在ABCABC外外,如图如图(3),(3),这两种情况时这两种情况时,上述结论是否还成立上述结论是否还成立?若成立若成立,请给予请给予证明证明;若不成立若不成立,h1,h2,h3 与与h又有怎样的关系又有怎样的关系,请写请写出你的猜想出你的猜想,并证明你的猜想并证明你的猜想.（1）（1）P PMME ED D
11、C CB BA AF F（2）（2）P PMME ED DC CB BA AF F（3）（3）P PMME ED DC CB BA AF F（2）（2）P PMME ED DC CB BA ANQ证明证明:过过P作作NQ/BC交交AB、AC、AM分别为分别为N、Q、K.由题意得由题意得:h1+h2=AKKNQ/BC,PFBC,AMBC,NQ/BC,PFBC,AMBC,KPF=MFP=KMF=90KPF=MFP=KMF=900 0四边形四边形KMFPKMFP是矩形是矩形KM=PF=hKM=PF=h3 3AK=AM-KMAK=AM-KMhh1 1+h+h2 2=h-h=h-h3 3即即h h1 1
12、+h+h2 2+h+h3 3=h=h图图3又有怎样的关系呢又有怎样的关系呢?F F（3）（3）P PMME ED DC CB BA A解解:如图如图2,当点当点P在在ABCABC内部时内部时,结论结论:“h1+h2+h3=h”仍然成立仍然成立.F F（2）（2）P PMME ED DC CB BA A证明证明:设等边设等边ABCABC的边长为的边长为a.a.连结连结PA、PB、PC，SSPABPAB+S+SPACPAC+S+SPBCPBC=S=SABCABCAMBCPFBCPEACPDAB21212121ahahahah21212121321hhhh321:即F F（3）（3）P PMME E
13、D DC CB BA A对于图对于图3,又有怎样的关系又有怎样的关系?又如何证明又如何证明?l总结反思，拓展升华总结反思，拓展升华思考：对于图思考：对于图1，为什么会成立？，为什么会成立？对于图对于图2呢？呢？对于图对于图2,证明如下证明如下:l通过本节课的学习通过本节课的学习,你有哪些收获你有哪些收获?1.本节课的数学知识是综合所学知识本节课的数学知识是综合所学知识,体会知识之间体会知识之间的内在联系的内在联系.2.本节课学习的数学方法本节课学习的数学方法:猜想、证明、拓广、感受猜想、证明、拓广、感受由特殊到一般，数形结合的思想方法，体会证明的由特殊到一般，数形结合的思想方法，体会证明的必要性必要性.l布置作业布置作业:课本课本157页习题页习题1,2,3,4.
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