三章线方程组

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1、 第三章第三章 线性方程组线性方程组u线性方程组的消元法u线性方程组有解判别定理u线性方程组的应用第一节第一节 线性方程组的消元法线性方程组的消元法一、线性方程组的基本概念一、线性方程组的基本概念1.1.线性方程组的定义线性方程组的定义引例引例有三家生产同一种产品的工厂 A1 、A2、A3，其年产量分别为40t，20t 和 10t，该产品每年有两个用户 B1、B2，其用量分别为 45t 和 25t，所示所示，如表，如表的距离为的距离为到各用户到各用户由各产地由各产地11 ijjiCBA引例引例 有三家生产同一种产品的工厂 A1 、A2、A3，其年产量分别为40t，20t 和 10t，该产品每年

2、有两个用户 B1、B2，其用量分别为 45t 和 25t，所示所示，如表，如表的距离为的距离为到各用户到各用户由各产地由各产地11 ijjiCBA不妨假设每吨货物每公里的运费为 1 元，问各厂的产品如何调配才能使总运费最少？解设各厂到各用户的产品数量如表 1-2依题意，3个厂的总产量和用户的总用量相等：10,20,40635241 xxxxxx10,20,40635241 xxxxxx25,45654321 xxxxxx再来看总运费，由表1-1：25,45654321 xxxxxx654321367258935845xxxxxxS 总运费总运费12于是，题目要解决的问题是：654321,xxx

3、xxx如何选择非负数如何选择非负数使之满足方程组 和 并使总运费最少.mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 几个线性方程联立在一起，称为线性方程组，若未知几个线性方程联立在一起，称为线性方程组，若未知数的个数为数的个数为 n，方程个数为，方程个数为 m，则线性方程组可以写成如，则线性方程组可以写成如下形式下形式 ：.),2,1(),2,1,2,1(个个方方程程的的常常数数项项称称为为第第，称称为为系系数数；其其中中imibnjmiaiij 若常数项均为若常数项均为0，则称方程组为齐次线性方程组，则称方程组为齐次线性方程组，否则否

4、则，称为非齐次线性方程组，称为非齐次线性方程组.2.2.线性方程组的线性组合线性方程组的线性组合线性方程的加法：线性方程的加法：将两个线性方程11 112211,nna xa xa xb(1)21 122222nna xa xa xb(2)的左右两边相加得到如下的新线性方程：111211222221212nnaaxaaxaaxbb称为原来两个线性方程的和。线性方程乘常数将线性方程1122,nna xa xa xb两边同乘以已知常数 ，1122.nnaxaxaxb线性方程与常数相乘，也称为方程的数乘。线性方程的线性组合将线性方程(1)和(2)分别称两个已知常数 再将所得的两个方程相加，得到新方程

5、：12,得到一个新的线性方程：(3)11122111122222aaxaax 11221 122nnnaaxbb称为原来两个方程(1)和(2)的一个12,称为这个线性方程的组合系数。将(1)和(2)看作一个线性方程组，其任意组解一定是线性组合(3)的解。对给定的两个线性方程组(I)和(II)，如果(II)中每个方程都是(I)中方程的线性组合，就称(II)是(I)的线性组合。线性组合，若方程组(I)和(II)互为线性组合，则称这两个方程组等价，等价的线性方程组一定同解。将方程组(I)变成方程组(II)的过程称为同解变换。例例1)1(求解线性方程组求解线性方程组 ,97963,42264,42,2

6、24321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx13422 解解)(1B)1()(2B2 132 ,97963,232,22,424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx13422 132 33 14 ,3433,6355,0222,424324324324321xxxxxxxxxxxxx1342)(3B)(4B ,3,62,0,42444324321xxxxxxxxx13425 221 33 422 ,00,3,0,4244324321xxxxxxxx134232 443用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解：于是解得于是解得 33443231x

7、xxxx.3为为任任意意取取值值其其中中x可记作可记作也称为通解也称为通解方程组的解方程组的解或令或令)(,3cx ,3344321 cccxxxxx.为任意常数为任意常数其中其中c(2)小结：小结：1上述解方程组的方法称为上述解方程组的方法称为消元法消元法 2始终把方程组看作一个整体变形，用到如始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换下三种变换（1）交换方程次序；）交换方程次序；（2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的k倍倍ij（以（以 替换替换 ）ik i定义定义1 上述三种变换均称为线性方程组的初等变上述三种变

8、换均称为线性方程组的初等变换换（以（以 替换替换）ik ij（与与 相互替换）相互替换）3上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同同解变换解变换ji)(A若若),(B)(B则则);(Ajik)(A若若),(Bji)(A若若),(Bik)(B则则);(Aik)(B则则).(Ak ji定理定理1线性方程组的初等变换总是把方程组变成线性方程组的初等变换总是把方程组变成同解方程组同解方程组 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxa

9、bxaxaxa22112222212111212111考查方程组考查方程组，可取任何值可取任何值，则，则全为全为、分析系数：若分析系数：若）（11211101xaaam，的方程组来解的方程组来解，方程组转换成方程组转换成nxx2.010111 ax），使），使（，则利用变换，则利用变换的系数不全为的系数不全为若若，则则方方程程组组可可以以变变成成：个个方方程程加加到到第第倍倍的的），分分别别把把第第一一个个方方程程化化简简：利利用用初初等等变变换换（）（iaai11132 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111考查方程组考查方程组

10、分析系数分析系数）（1，则则方方程程组组可可以以变变成成：个个方方程程加加到到第第倍倍的的），分分别别把把第第一一个个方方程程化化简简：利利用用初初等等变变换换（）（iaai11132 mnmnmnnnnbxaxabxaxabxaxaxa222222211212111 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111考查方程组考查方程组分析系数分析系数）（1结结为为化化简简：这这样样方方程程组组就就归归）（2 mnmnmnnbxaxabxaxa2222222分析系数分析系数）（1化化简简）（2化化为为阶阶梯梯型型方方程程组组：）（3，方方程

11、程组组可可以以变变成成重重复复上上面面的的过过程程 0000012222211212111rrnrnrrrnnnnddxcxcdxcxcdxcxcxc分析系数分析系数）（1化化简简）（2化化为为阶阶梯梯型型方方程程组组：）（3 0000012222211212111rrnrnrrrnnnnddxcxcdxcxcdxcxcxc；这这时时原原方方程程组组无无解解而而有有）（.0,0I11 rrdd，分分两两种种情情形形：的的方方程程或或方方程程组组中中根根本本没没有有当当）（000II1 rd 0000012222211212111rrnrnrrrnnnnddxcxcdxcxcdxcxcxc，分分

12、两两种种情情形形：的的方方程程或或方方程程组组中中根根本本没没有有当当）（000II1 rd这这时时阶阶梯梯型型方方程程组组为为：）.inr nnnnnnnndxcdxcxcdxcxcxc2222211212111 0000012222211212111rrnrnrrrnnnnddxcxcdxcxcdxcxcxc，分分两两种种情情形形：的的方方程程或或方方程程组组中中根根本本没没有有当当）（000II1 rd这这时时阶阶梯梯型型方方程程组组为为：）.iinr rnrnrrrrrrnnrrrrnnrrrrdxcxcxcdxcxcxcxcdxcxcxcxcxc1122112222211111121

13、2111，这这时时阶阶梯梯型型方方程程组组为为：）.iinr rnrnrrrrrrnnrrrrnnrrrrdxcxcxcdxcxcxcxcdxcxcxcxcxc11221122222111111212111，：将将它它改改写写成成其其中中.,2,1,0ricii nrnrrrnrrrnnrrrrnnrrrrxcxcdxcxcxcdxcxcxcxcdxcxcxc11211222222111111212111，表表示示出出来来，通通过过，这这样样我我们们可可以以把把nrrxxxxxx1121 称称为为，而而程程组组的的一一般般解解这这样样一一组组表表达达式式称称为为方方nrxx1.一一组组自自由由

14、未未知知量量定理定理2在齐次线性方程组在齐次线性方程组 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa.,那么它必有非零解那么它必有非零解，如果，如果中中nm 证明：证明：显然显然，方程组在化成阶梯型方程组之后，方程组在化成阶梯型方程组之后，方程个数不会超过原方程组中方程个数方程个数不会超过原方程组中方程个数，即，即.nmr .,，因因而而必必有有非非零零解解它它的的解解不不是是唯唯一一的的知知由由nr 在第一章用消元法讨论线性方程组第二节 线性方程组有解判别定理11112211211222221122,nnnnmmmnnma xa xa xb

15、a xa xa xba xaxaxb （1）的求解问题.第三章中(1)式写成以向量 x 为未知元的方程m nAxb （2）定理定理1 1线性方程组(1)有解的充分必要条件是有无穷多个解.；当时，方程组(1)R AR B R AR Bn 只有唯一解；R AR Brn 时，方程组(1)证明证明 线性方程组(1)经初等变换后可化为：1111221112222221,0,00,00,rrnnrrnnrrrrnnrrc xc xc xcxdcxcxcxdc xc xdd （3）其中0,1,2,.iicir那么，相应的矩阵的行初等变换将方程组(1)的系数矩阵A 和增广 矩阵B 分别化成1112112222

16、000,000000000000rnrnrrrncccccccccA 因为1112111222221000.00000000000000rnrnrrrnrrccccdcccdccdBd ,A B都是阶梯型矩阵，所以可以看出 RAr 而 111,0,0.rrrdR Brd 而初等变换不改变矩阵的秩，所以 ,R AR Ar 111,0,0.rrrdR BR Brd 定理定理2 n元齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩 .m nAxb R An 推论推论1 当 时，齐次线性方程组 只有唯一的零解.R An 0m nAx 推论推论2 当 时，齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是 .

17、m n 0m nAx 0A 例例1 解齐次线性方程组解解 对系数矩阵A作初等变换变为最简形：123412341234123440,20,2250,3360.xxxxxxxxxxxxxxxx 1114111222153316A 213141231111002600130026rrrrrr 原方程的同解方程组为2343221 1140 0000 0130 000rrrr 32311 1 1 40 0 1 30 0 0 00 0 0 0rrr 121 1 0 30 0 1 3.0 0 0 00 0 0 0rr 124340,0.xxxxx 取 为自由变量，即得24,xx 1242434,3xxxx

18、xxx 可可任任意意取取值值令 ，将之写成为通常的参数形式2142,xcxc112213242,3,xccxcxcxc 其中 为任意实数，写成列向量形式12,c c11221123242,11,103,03,01xccxcccxcxc 例例 2 设有线性方程组123123123212131321xxxxxxxxx（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解？并在有无穷多个解时求其通解 问 为何值时，此线性方程组解解 因为方程的个数与未知量的个数相同，故可从系数矩阵的行列式入手讨论因为A 22133201100111 故由克拉默法则知，当 ，时,01 10,AB当 时，写出对应方程组的增广矩阵

19、 ，0B 002101310031方程组有唯一解并把它化成行阶梯形矩阵12rr 0131002100313232rr 0131002150002 2,R A 3,R B R AR B所以方程组无解 当 时，1 B 1121133111231121021000042131rrrr 2,R A 3,R B R AR B所以方程组无解 当 时，1B 1 1211 1311 1412131rrrr 112100100020312rr 110100100000所以方程组有无穷多个解 23R AR B取 为自由未知量，得原方程组的同解方程组为 2x1222310 xxxxx 1223110100 xxxx

20、 即令 为任意常数，则得方程组的通解为 2xk123110100 xxkx 例例3 设有线性方程组设有线性方程组 23213213211 xxxxxxxxx?,有无穷多个解有无穷多个解有解有解取何值时取何值时问问 解解 21111111 B 11111112 作初等行变换，作初等行变换，对增广矩阵对增广矩阵),(bAB 2222111011011 32222120011011 22112100111011 ,11时时当当 000000001111B .,3 方方程程组组有有无无穷穷多多解解 BRAR其通解为 33223211xxxxxxx .,32为为任任意意实实数数xx ,12时时当当 22

21、120011011 B这时又分两种情形：:,3,2)1方程组有唯一解方程组有唯一解时时 BRAR .21,21,212321 xxx .,故故方方程程组组无无解解BRAR,2)2时时 300063304211B定理定理3 矩阵方程 有解的充分必要条件是 .,R AR A B AXB 例例4 4 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组.034022202432143214321 xxxxxxxxxxxx解解 341122121221A 463046301221施行初等行变换：施行初等行变换：对系数矩阵对系数矩阵 A13122rrrr 0000342101221)3(223 rrr212rr 000

22、03421035201即得与原方程组同解的方程组即得与原方程组同解的方程组 ,0342,0352432431xxxxxx ,342,3522413222221cxcxccxccx).,(43可任意取值可任意取值xx由此即得由此即得 ,342,352432431xxxxxx形式形式，把它写成通常的参数，把它写成通常的参数令令2413,cxcx .1034350122214321 ccxxxx例例5 5 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组 .3222,2353,132432143214321xxxxxxxxxxxx解解对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换，进行初等变换，322122351311

23、321B13122rrrr 23rr 200001045011321,3)(,2)(BRAR显然，显然，故方程组无解故方程组无解例例6 求解非齐次方程组的通解求解非齐次方程组的通解.2132130432143214321 xxxxxxxxxxxx解解 对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换进行初等变换 2132111311101111B 2121001420001111.00000212100211011 ,2 BRAR由于由于故方程组有解，且有故方程组有解，且有 2122143421xxxxx 42442342242102120021xxxxxxxxxxxx.021021120000114243

24、21 xxxxxx所以方程组的通解为所以方程组的通解为.,42为任意实数其中xx例例7 7 求求出出它它的的一一切切解解在在有有解解的的情情况况下下，是是有有解解的的充充要要条条件件证证明明方方程程组组.054321515454343232121 aaaaaaxxaxxaxxaxxaxx解证解证 对增广矩阵B进行初等变换，方程组的增广矩阵为 543211000111000011000011000011aaaaaB 5143210000011000011000011000011iiaaaaa 051 iiaBRAR.051 iia是是方方程程组组有有解解的的充充要要条条件件由于原方程组等价于方程

25、组 454343232121axxaxxaxxaxx由此得通解：544543354322543211xaxxaaxxaaaxxaaaax .5为任意实数为任意实数x第三节第三节 线性方程组的应用线性方程组的应用剑桥减肥食谱问题剑桥减肥食谱问题 一种在一种在20世纪世纪80年代很流行的食谱，称为年代很流行的食谱，称为剑桥食谱，是经过多年研究编制出来的。这是剑桥食谱，是经过多年研究编制出来的。这是由由Alan H.Howard博士领导的科学家团队经过博士领导的科学家团队经过8年对过度肥胖病人的临床研究，在剑桥大学年对过度肥胖病人的临床研究，在剑桥大学完成的。这种低热量的粉状食品精确地平衡了完成的。

26、这种低热量的粉状食品精确地平衡了碳水化合物、高质量的蛋白质和脂肪、配合维碳水化合物、高质量的蛋白质和脂肪、配合维生素、矿物质、微量元素和电解质。为得到所生素、矿物质、微量元素和电解质。为得到所希望的数量和比例的营养，希望的数量和比例的营养，Howard博士在食博士在食谱中加入了多种食品。每种食品供应了多种所谱中加入了多种食品。每种食品供应了多种所需要的成分，然而没有按正确的比例。例如，需要的成分，然而没有按正确的比例。例如，脱脂牛奶是蛋白质的主要来源但包含过多的钙，脱脂牛奶是蛋白质的主要来源但包含过多的钙，因此大豆粉用来作为蛋白质的来源，它包含较少因此大豆粉用来作为蛋白质的来源，它包含较少量的

27、钙。然而大豆粉包含过多的脂肪，因而加上量的钙。然而大豆粉包含过多的脂肪，因而加上乳清，因乳清含脂肪较少，然而乳清又含有过多乳清，因乳清含脂肪较少，然而乳清又含有过多的碳水化合物的碳水化合物 在这里我们把问题简化，看看这个问题小规在这里我们把问题简化，看看这个问题小规模的情形。表模的情形。表1是该食谱中的是该食谱中的3种食物以及种食物以及100克克每种食物成分含有某些营养素的数量。每种食物成分含有某些营养素的数量。3 1.1 7 0 脂肪脂肪 45 74 34 52 碳水化合物碳水化合物 33 13 51 36 蛋白质蛋白质 乳清乳清 大豆面粉大豆面粉 脱脂牛奶脱脂牛奶 减肥所要减肥所要求的每日

28、求的每日营养量营养量每每100克食物所含营养（克食物所含营养（g）营营 养养 表表 1 如果用这三种食物作为每天的主要食物，那如果用这三种食物作为每天的主要食物，那么它们的用量应各取多少才能全面准确地实现这么它们的用量应各取多少才能全面准确地实现这个营养要求？个营养要求？1231232336511333,52347445,71.13.xxxxxxxx 以以100克为一个单位，为了保证减肥所要求的克为一个单位，为了保证减肥所要求的每日营养量，设每日需食用的脱脂牛奶每日营养量，设每日需食用的脱脂牛奶x1个单位，个单位，大豆面粉大豆面粉x2个单位，乳清个单位，乳清x3个单位，则由所给条件个单位，则由

29、所给条件得得 解上方程组得，解为解上方程组得，解为1230.2772,0.3919,0.2332.xxx即为了保证减肥所要求的每日营养量，每日即为了保证减肥所要求的每日营养量，每日需食用脱脂牛奶需食用脱脂牛奶27.72克，大豆面粉克，大豆面粉39.19克，克，乳清乳清23.32克克。MATLAB代码如下：Untitled2.mclear;A=36,51,13;52,34,74;0,7,1.1;b=33;45;3;U=rref(A,b)网络流问题网络流问题 当科学家、工程师或者经济学家研究一当科学家、工程师或者经济学家研究一些数量在网络中的流动时自然推导出线性方程组。些数量在网络中的流动时自然推

30、导出线性方程组。例如，城市规划和交通工程人员监控一个网络状的例如，城市规划和交通工程人员监控一个网络状的市区道路的交通流量模式；电气工程师计算流经电市区道路的交通流量模式；电气工程师计算流经电路的电流；以及经济学家分析通过分销商和零售商路的电流；以及经济学家分析通过分销商和零售商的网络从制造商到顾客的产品销售。许多网络中的的网络从制造商到顾客的产品销售。许多网络中的方程组涉及成百甚至上千的变量和方程。方程组涉及成百甚至上千的变量和方程。一个网络包含一组称为接合点或节点的点集，一个网络包含一组称为接合点或节点的点集，并由称为分支的线或弧连接部分或全部的节点。流并由称为分支的线或弧连接部分或全部的

31、节点。流的方向在每个分支上有标示，流量（速度）也有显的方向在每个分支上有标示，流量（速度）也有显示或用变量标记示或用变量标记。网络流的基本假设是全部流入网络的总流网络流的基本假设是全部流入网络的总流量等于全部流出网络的总流量，且全部流入一量等于全部流出网络的总流量，且全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量。于个节点的流量等于全部流出此节点的流量。于是，对于每个节点的流量可以用一个方程来描是，对于每个节点的流量可以用一个方程来描述。述。网络分析的问题就是确定当局部信息（如网络分析的问题就是确定当局部信息（如网络的输入）已知时，求每一分支的流量。网络的输入）已知时，求每一分支的流量。电路问

32、题电路问题 在工程技术中所遇到的电路，大多数是很在工程技术中所遇到的电路，大多数是很复杂的，这些电路是由电器元件按照一定方式复杂的，这些电路是由电器元件按照一定方式互相连接而构成的网络。在电路中，含有元件互相连接而构成的网络。在电路中，含有元件的导线称为支路，而三条或三条以上的支路的的导线称为支路，而三条或三条以上的支路的会合点称为节点。电路网络分析，粗略地说，会合点称为节点。电路网络分析，粗略地说，就是求出电路网络种各条支路上的电流和电压。就是求出电路网络种各条支路上的电流和电压。对于这类问题的计算，通常采用基尔霍夫对于这类问题的计算，通常采用基尔霍夫（Kirchhoff）定律来解决。以图）

33、定律来解决。以图3-2所示的电所示的电路网络部分为例来加以说明。路网络部分为例来加以说明。设各节点的电流如图所示，则由基尔霍夫第一定律设各节点的电流如图所示，则由基尔霍夫第一定律（简记为（简记为KCL）（即电路中任一节点处各支路电流）（即电路中任一节点处各支路电流之间的关系：在任一节点处，支路电流的代数和在之间的关系：在任一节点处，支路电流的代数和在任一瞬时恒为零（通常把流入节点的电流取为负的，任一瞬时恒为零（通常把流入节点的电流取为负的，流出节点的电流取为正的）。该定律也称为节点电流出节点的电流取为正的）。该定律也称为节点电流定律），有流定律），有 对于节点对于节点A：对于节点对于节点B：对

34、于节点对于节点C：对于节点对于节点D：1460;iii2450;iii3650;iii1320.iii于是求各个支路的电流就归结为下面齐次线性方于是求各个支路的电流就归结为下面齐次线性方程组的求解程组的求解 1462453561230,0,0,0.iiiiiiiiiiii相应相应MATLAB代码为：代码为：dianliu.mclearA=1,0,0,1,0,-1;0,1,0,1,-1,0;0,0,1,0,-1,1;1,-1,1,0,0,0;b=0;0;0;0;R,s=rref(A,b);r=length(s);disp(对应齐次线性方程组的基础解系为：对应齐次线性方程组的基础解系为：)x=nu

35、ll(A,r)123123456101110011100010001iiikkkiii 其中:123,k k kR由于由于i1,i2,i3,i4,i5,i6均为正数，所以通解中的均为正数，所以通解中的3个任意个任意常数应满足以下条件：常数应满足以下条件：12310,.kkkk 如果如果1231,3,2,kkk 则则：1234561,2,1,1,3,2.iiiiii解之，得其解为解之，得其解为 交通流问题交通流问题 图图3-3给出了某城市部分单行街道在一个给出了某城市部分单行街道在一个下午早些时候的交通流量（每小时车辆数目）。下午早些时候的交通流量（每小时车辆数目）。计算该网络的车流量。计算该网

36、络的车流量。由网络流量假设，有由网络流量假设，有对于节点对于节点A：对于节点对于节点B：对于节点对于节点C：对于节点对于节点D：对于节点对于节点E：213080;xx3524;xxxx6510040;xx464090;xx136020.xx于是，所给问题可以归结为如下线性方程组的求解。于是，所给问题可以归结为如下线性方程组的求解。12234556461350,0,60,50,40,xxxxxxxxxxxx 求解该问题的相应求解该问题的相应MATLAB代码代码：wangluo.mclearA=-1,1,0,0,0,0;0,-1,1,-1,1,0;0,0,0,0,-1,1;0,0,0,1,0,-1

37、;1,0,-1,0,0,0;b=50;0;-60;50;-40;R,s=rref(A,b);m,n=size(A);x0=zeros(n,1);r=length(s);x0(s,:)=R(1:r,end);disp(非齐次线性方程组的特解为：)x0disp(对应齐次线性方程组的基础解系为：)x=null(A,r)解这个方程组，得解这个方程组，得 123124561040101010001500160010 xxxkkxxx 其中其中：12,k kR马尔科夫链马尔科夫链 马尔科夫链在许多学科如生物学、商业、化马尔科夫链在许多学科如生物学、商业、化学、工程学及物理学等领域中被用来做数学模型。学、工

38、程学及物理学等领域中被用来做数学模型。在每种情形中，该在每种情形中，该模型习惯上用来描述用同一种模型习惯上用来描述用同一种方法进行多次的实验或测量，实验中每次测试的方法进行多次的实验或测量，实验中每次测试的结果属于几个指定的可能结果之一，每次测试结结果属于几个指定的可能结果之一，每次测试结果依赖于最近的前一次测试。果依赖于最近的前一次测试。例如，若每年要统计一个城市及其郊区的人例如，若每年要统计一个城市及其郊区的人口，像口，像 这样的向量可以显示这样的向量可以显示60%的人口的人口住在这个城市中，住在这个城市中，40%的人口住在郊区。的人口住在郊区。中的中的分量加起来等于分量加起来等于1，是说

39、明这个地区的总人口。，是说明这个地区的总人口。00.600.40 x0 x1,0,1,2,kkxPxk当向量在当向量在 中的一个马尔科夫链描述一个系统中的一个马尔科夫链描述一个系统或实验时，或实验时，中的数值分别列出系统在中的数值分别列出系统在n个可能个可能状态中的概率，或实验结果是状态中的概率，或实验结果是n个可能结果之一个可能结果之一的概率。的概率。称为状态向量。称为状态向量。nRkxkx马尔科夫链可用一阶差分方程来刻画：马尔科夫链可用一阶差分方程来刻画：定义定义1 一个具有非负分量且各分量的数值相加等一个具有非负分量且各分量的数值相加等于于1的向量称为概率向量；各列向量均为概率向量的方的

40、向量称为概率向量；各列向量均为概率向量的方阵称为随机矩阵；一个概率向量序列阵称为随机矩阵；一个概率向量序列 和一和一个随机矩阵个随机矩阵P，使得，使得 102132,xPxxPx xPx012,xx x 称为马尔科夫链称为马尔科夫链。下面我们先看一个数值的例子下面我们先看一个数值的例子 例例 令令 考虑系统：它的考虑系统：它的状态由马尔科夫链状态由马尔科夫链 描描述，随着时间的流逝，这个系统将有什么结果？述，随着时间的流逝，这个系统将有什么结果？00.50.20.310.30.80.3,0,0.200.40Px 1(0,1,2,)kkxPx k解解 后面向量中的数值保留后面向量中的数值保留4位

41、或位或5位有效数字位有效数字。100.50.20.310.50.30.80.300.3,0.200.400.2xPx 23456780.370.3290.31330.30640.45,0.525,0.5625,0.5813,0.180.1460.12420.11230.30320.30160.30080.5906,0.5953,0.59770.10620.10310.xxxxxxx,1016继续可得继续可得这些向量似乎是逼近这些向量似乎是逼近 的。注意到下面的。注意到下面0.30.60.1q0.50.20.30.30.30.30.80.30.60.6.0.200.40.10.1Pqq若系统处于

42、状态若系统处于状态q，则从上一次测量到下一次测量，则从上一次测量到下一次测量，系统没有发生变化系统没有发生变化。定义定义2 若若P是随机矩阵，是随机矩阵，则满足则满足 的的概率向量概率向量q称为随机矩阵称为随机矩阵P的稳态向量。若随机矩的稳态向量。若随机矩阵阵P的幂的幂 仅包含正的数值，称仅包含正的数值，称P是一个正是一个正则随机矩阵。则随机矩阵。在上例中，向量在上例中，向量q是随机矩阵是随机矩阵P的稳态向量。又的稳态向量。又PqqkP20.370.260.330.450.700.45,0.180.040.22P 关于马尔科夫链我们有下面的定理关于马尔科夫链我们有下面的定理 定理定理 若若P是

43、一个是一个 正则随机矩阵，则正则随机矩阵，则P具有惟具有惟一的稳态向量一的稳态向量q。进一步，若。进一步，若x0是任一个起始状态，且是任一个起始状态，且 ，则当，则当 时，马尔科夫链时，马尔科夫链 收敛到收敛到q。这个定理的证明在有关马尔科夫链的教科书可找这个定理的证明在有关马尔科夫链的教科书可找到，这里不做证明。这个定理的奇妙之处在于初始状到，这里不做证明。这个定理的奇妙之处在于初始状nn1,0,1,2,kkxPx kk kx 由于由于P2中每个数是严格正的，故中每个数是严格正的，故P是一个正则随机是一个正则随机矩阵。矩阵。状态对马尔科夫链的长期行为没有影响。下面举一例状态对马尔科夫链的长期

44、行为没有影响。下面举一例说明求解随机矩阵的稳态向量的一种方法。说明求解随机矩阵的稳态向量的一种方法。例例 设设 ，求求P的稳态向量。的稳态向量。0.60.30.40.7P 解解 由定义知，稳态向量是方程的解，所以求由定义知，稳态向量是方程的解，所以求稳态向量就是要解这个方程。稳态向量就是要解这个方程。()0PE x120.40.300.40.3xx即即最后，在最后，在 的全体解的集合中求一个概率向量，的全体解的集合中求一个概率向量，这是简单的，在通解中，令这是简单的，在通解中，令 ，得，得 3/74/7q则则q即为所求。即为所求。1/7c 容易求得其通解为容易求得其通解为 3.4xc Pxx对

45、应的对应的MATLAB代码为：代码为：weitai.mP=0.6,0.3;0.4,0.7;E=1,0;0,1;R,s=rref(P-E);r=length(s);x=null(P-E,r)联合收入问题联合收入问题 已知三家公司已知三家公司X,Y,Z具有图具有图2-1所示的股份关系，所示的股份关系，即即X公司掌握公司掌握Z公司公司50%的股份，的股份，Z公司掌握公司掌握X公司公司30%的股份，而的股份，而X公司公司70%的股份不受另两家公司控的股份不受另两家公司控制等等制等等。现设现设X，Y和和Z公司各自的营业净收入分别是公司各自的营业净收入分别是12万万元、元、10万元、万元、8万元，每家公司

46、的联合收入是其净收入万元，每家公司的联合收入是其净收入加上在其他公司的股份按比例的提成收入、试确定各加上在其他公司的股份按比例的提成收入、试确定各公司的联合收入及实际收入。公司的联合收入及实际收入。解解 依照图依照图2-1所示各个公司的股份比例可知，若所示各个公司的股份比例可知，若设设X、Y、Z三公司的联合收入分别为三公司的联合收入分别为x,y,z,则其实际收则其实际收入分别为入分别为0.7x，0.2y，0.3z。故而现在应先求出各个公。故而现在应先求出各个公司的联合收入。司的联合收入。因为联合收入由两部分组成，即营业净收入及从因为联合收入由两部分组成，即营业净收入及从其他公司的提成收入，故对

47、每个公司可列出一个方程其他公司的提成收入，故对每个公司可列出一个方程，对对X公司为公司为x=120000+0.7y+0.5z对对Y公司为公司为y=100000+0.2z对对Z公司为公司为z=80000+0.3x+0.1y故得线性方程组故得线性方程组0.70.5120000,0.2100000,0.30.180000.xyzyzxyz因系数行列式因系数行列式10.70.5010.20.78800.30.11A故此方程组有唯一解。故此方程组有唯一解。MATLAB代码为：代码为：syms x y zeq1=sym(x-0.7*y-0.5*z=120000);eq2=sym(y-0.2*z=10000

48、0);eq3=sym(-0.3*x-0.1*y+z=80000);x y z=solve(eq1,eq2,eq3)Y公司的联合收入为公司的联合收入为y=137309.64(元元)实际收入为实际收入为0.2*137309.64=27461.93(元元)Z公司的联合收入为公司的联合收入为z=186548.22(元元)实际收入为实际收入为0.3*186548.22=55964.47(元元)于是于是X公司的联合收入为公司的联合收入为X=309390.86(元元)实际收入为实际收入为0.7*309390.86=216573.60（元）（元）现代飞行器外形设计例 把飞行器的外形分成若干大的部件，每个部件沿

49、着其表面又用三维的细网格划分出许多立方体，这些立方体包括了机身表面以及此表面内外的空气。对每个立方体列写出空气动力学方程，其中包括了与它相邻的立方体的共同边界变量，这些方程通常都已经简化为线性方程。对一个飞行器，小立方体的数目可以多达400,000个，而要解的联立方程可能多达2,000,000个。向量组的线性相关性的应用向量组的线性相关性的应用 药方配制问题药方配制问题 通过中成药药方配制问题，理解向量组的线性通过中成药药方配制问题，理解向量组的线性相关性、最大线性无关组向量的线性表示以及向量相关性、最大线性无关组向量的线性表示以及向量空间等线性代数的知识。空间等线性代数的知识。问题：问题：某

50、中药厂用某中药厂用9种中草药种中草药A-I，根据不同的，根据不同的比例配制成了比例配制成了7种特效药，各用量成分见表种特效药，各用量成分见表1（单位：（单位：克）。克）。206201228I103510101656H25392251749G505535535525F633525210E35471552597D014501135C5560352512012B10038201214210A7号成号成药药6号成号成药药5号成号成药药4号成号成药药3号成药号成药2号成号成药药1号成号成药药中中药药 表表 1 1 试解答：试解答：（1）某医院要购买这）某医院要购买这7种特效药，但药厂的种特效药，但药厂的

51、第第3 号药和第号药和第6号药已经卖完，请问能否用其他号药已经卖完，请问能否用其他特效药配制出这两种脱销的药品。特效药配制出这两种脱销的药品。（2）现在该医院想用这）现在该医院想用这7种草药配制三种新种草药配制三种新的特效药，表的特效药，表2给出了三种新的特效药的成分，给出了三种新的特效药的成分，请问能否配制？如何配制？请问能否配制？如何配制？305214I216841H3811871G8015550F76053E5110244D82714C6714162B8816240A3号新药号新药2号新药号新药1号新药号新药 中药中药 表表 2 2解：解：（1）把每一种特效药看成一个九维列向量）把每一种

52、特效药看成一个九维列向量:u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7 分析分析7个列向量构成向量个列向量构成向量 组的线性相关性。组的线性相关性。若向量组线性无关，则无法配制脱销的特效药；若向量组线性无关，则无法配制脱销的特效药；若向量组线性相关，且能将若向量组线性相关，且能将 u3,u6 用其余向用其余向量线性表示，则可以配制量线性表示，则可以配制3号和号和6号药品号药品问题（问题（1）的分析与求解）的分析与求解Matlab代码 u1=10;12;5;7;0;25;9;6;8;u2=2;0;3;9;1;5;4;5;2;u3=14;12;11;25;2;35;17;16;12;u4=12;25;

53、0;5;25;5;25;10;0;u5=20;35;5;15;5;35;2;10;0;u6=38;60;14;47;33;55;39;35;6;u7=100;55;0;35;6;50;25;10;20;U=u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7 U0,r=rref(U)计算结果为计算结果为0101000001200300001010000011000000010000000000000000000000000000U 故可以配制故可以配制3号和号和6号药。号药。问题（问题（2）的分析与求解）的分析与求解 三种新药用三种新药用v1，v2，v3表示，问题化为表示，问题化为v1，v2，v3能否由能

54、否由u1-u7线性表示，若能表示，则可配制；否则，线性表示，若能表示，则可配制；否则，不能配制。不能配制。令令 U=u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7,v1,v2,v3 U0,r=rref(U)0101000013001200303400001010220000011000000000010100000000001000000000000000000000000000000U计算结果为计算结果为v1 v2 v31,2,4,5,7,10r 由由U0的最后三列可以看出结果的最后三列可以看出结果一个最大无关组为一个最大无关组为：u1,u2,u4,u5,u7,v3,可以看出可以看出 v1=u1+

55、3u2+2u4，v2=3u1+4u2+2u4+u7由于由于v3在最大无关组在最大无关组,不能被线性表示，所以无不能被线性表示，所以无法配制。法配制。特征值、特征向量的应用特征值、特征向量的应用 假设假设A可对角化，特征向量可对角化，特征向量 ，特征值特征值 的基，故任一初始向量的基，故任一初始向量 x0 可惟一表示为可惟一表示为 1,npp1,n12n1,nppnR01122nnxc pc pc p(1)x0的这种特征向量分解确定了序列的这种特征向量分解确定了序列 所发生的情况。所发生的情况。因为因为 是特征向量，所以是特征向量，所以 kxip1011221 11222nnnnnxAxc Ap

56、c Apc Apcpcpcp111222()()()(0,1,2,)kkkknnnxcpcpcp k 一般地一般地有有(2)下面的例子说明当下面的例子说明当 时，时，(2)会出现什么结果。会出现什么结果。k 生态系统生态系统 用用 表示在时间表示在时间k（单（单位：月）猫头鹰和老鼠的数量，位：月）猫头鹰和老鼠的数量，是在研究区域猫是在研究区域猫头鹰的数量，头鹰的数量，是老鼠的数量（单位是千只）。设它是老鼠的数量（单位是千只）。设它们满足下面的方程们满足下面的方程 kkkOxRkOkR110.40.3,1.2kkkkkkOORRp OR （3）其中其中p是被指定的正参数。第是被指定的正参数。第1

57、个方程中的个方程中的 表示，表示，如果没有老鼠为食物，每月仅有如果没有老鼠为食物，每月仅有40%的猫头鹰存活的猫头鹰存活下来，第下来，第2个方程的个方程的 表明，如果没有猫头鹰捕表明，如果没有猫头鹰捕食老鼠，则老鼠的数量每月增长食老鼠，则老鼠的数量每月增长20%。若有足够多。若有足够多的老鼠，的老鼠，表示猫头鹰增长的数量，而负表示猫头鹰增长的数量，而负0.4kO1.2kR0.3kR 解解 方程（方程（3）的差分方程形式为）的差分方程形式为 ，其中，其中 当当p=0.325时，矩阵的特征值为时，矩阵的特征值为 和和 ，对应的特征向量是对应的特征向量是 0.40.3.1.2Ap11.0520.55

58、1262,131pp 初始向量初始向量x0可表示为可表示为 ，那么对，那么对k00，有，有01122xc pc p112212(1.05)(0.55)62(1.05)(0.55).131kkkkkxcpcpcc 1kkxAxkp O 项项 表示由于猫头鹰的捕食所引起的老鼠的死亡表示由于猫头鹰的捕食所引起的老鼠的死亡数量（事实上，一个猫头鹰每月平均吃掉数量（事实上，一个猫头鹰每月平均吃掉1000p只老只老鼠）。当鼠）。当p=0.325时，预测该系统的发展趋势。时，预测该系统的发展趋势。当当k时，时，很快趋于零。假设很快趋于零。假设c10，那么对所，那么对所有足够大的有足够大的k，有，有(0.55

59、)k16(1.05).13kkxc(4)随着随着k的增大，上式的近似程度会更好，故对足够大的增大，上式的近似程度会更好，故对足够大的的 k111166(1.05)1.05(1.05)1.05.1313kkkkxccx(5)近似式（近似式（5）表明最终）表明最终 的的2个分量（猫头鹰和老鼠个分量（猫头鹰和老鼠的数量）每月以大约的数量）每月以大约1.05的倍数增长，即月增长率的倍数增长，即月增长率为为5%。由（。由（4），），就近似等于（就近似等于（6,13）的倍数，因）的倍数，因此，此，的的2分量之比率也近似于分量之比率也近似于6与与13的比率的比率,kxkxkx 该例说明了有关生态系统该例说明

60、了有关生态系统 的两个基本事的两个基本事实，若实，若A是是n阶矩阵，它的特征值满足阶矩阵，它的特征值满足 和和 ，是是 对应的特征向量，若对应的特征向量，若x0由由(1)式给出式给出且且 ，那么对足够大的那么对足够大的k，1kkxAx111j2,jn1p110c 111()kkxcp(6)和和11kkxx(7)式（式（6）和（）和（7）的近似精度可根据需要通过取足够大）的近似精度可根据需要通过取足够大的的k来得到。由（来得到。由（7）式知，）式知，每时段最终以近似每时段最终以近似 的的倍数增长，因此，倍数增长，因此，确定了系统的最终增长率。同样确定了系统的最终增长率。同样由（由（6）式知，对足

61、够大的）式知，对足够大的k，的的2个分量个分量 之比近似之比近似等于等于p1 对应分量之比。对应分量之比。kxkx11也就是说，对应每也就是说，对应每6只猫头鹰，大约有只猫头鹰，大约有13000只老鼠。只老鼠。二次型的应用二次型的应用 工程师、经济学家、科学家和数学家常常要寻工程师、经济学家、科学家和数学家常常要寻找在一些特定集合内的找在一些特定集合内的x值，使得二次型值，使得二次型xTAx取最取最大值或最小值。具有代表性的是，这类问题可化为大值或最小值。具有代表性的是，这类问题可化为x是在一组单位向量中的变量的优化问题。下面我是在一组单位向量中的变量的优化问题。下面我们将看到，这类条件优化问

62、题有一个有趣且精彩的们将看到，这类条件优化问题有一个有趣且精彩的解。我们还是从一个简单的例子开始我们的讨论解。我们还是从一个简单的例子开始我们的讨论。例例 在下一年度，某县政府计划用一笔资在下一年度，某县政府计划用一笔资金修金修x百公里的公路，修整百公里的公路，修整y百平方公里的公园，政百平方公里的公园，政府部门必须确定在两个项目上如何分配它的资金，府部门必须确定在两个项目上如何分配它的资金，如果可能的话，可以同时开始两个项目，而不是仅如果可能的话，可以同时开始两个项目，而不是仅开始一个项目。假设开始一个项目。假设x和和y必须满足下面限制条件必须满足下面限制条件221625400,xy见图见图

63、5-12。每个阴影可行集合的点。每个阴影可行集合的点(x,y)表示一个可表示一个可能的年度工作计划，求在限制曲线能的年度工作计划，求在限制曲线 上的点，使资金利用达到最大。上的点，使资金利用达到最大。221625400,xy为了制定工作计划，县政府需要考虑居民的意见，为了制定工作计划，县政府需要考虑居民的意见，为度量居民分配各类工作计划为度量居民分配各类工作计划(x,y)的值或效用，经济的值或效用，经济学家常利用下面的函数学家常利用下面的函数(,),q x yxy称之为称之为效用函数效用函数，曲线曲线 （c为常数）称之为无为常数）称之为无差异曲线，因为在该曲线上的任意点的效用值相等。差异曲线，

64、因为在该曲线上的任意点的效用值相等。现制定一个工作计划，使得效用函数达到最大现制定一个工作计划，使得效用函数达到最大。解解 约束条件的方程约束条件的方程 并没有描述并没有描述一个单位向量集，可进行变量代换修正这个问题。一个单位向量集，可进行变量代换修正这个问题。把约束条件的方程变形：把约束条件的方程变形：xyc221625400 xy22154xy令令 ，,54xyuv则约束条件变成则约束条件变成 ，221uv效用函数变成效用函数变成(,)(5,4)(5)(4)20.q x yquvuvuv令令 ，则原问题变为，在限制条件则原问题变为，在限制条件 下下 的最大值。的最大值。uXv 1TX X(

65、)20f Xuv二次型二次型 的矩阵为的矩阵为()20f Xuv010100AA的特征值为的特征值为1010，对应特征值，对应特征值10的单位特征向的单位特征向量为量为 。所以。所以 的最大值为的最大值为10，且在，且在 处取得。处取得。1212()20f Xuv12uv于是，最优的工作计划是修建于是，最优的工作计划是修建 百公里的百公里的公路，修整公路，修整 百平方公里的公园。最优工百平方公里的公园。最优工作计划是限制曲线和无差异曲线的切点，具有更大效作计划是限制曲线和无差异曲线的切点，具有更大效用的点用的点(x,y)位于和限制曲线不相交的无差异曲线上，位于和限制曲线不相交的无差异曲线上，见

66、图见图5-13。553.52xu442.82yv 可逆矩阵的应用可逆矩阵的应用密码问题密码问题矩阵密码法是信息编码与解码的技巧，其中的一种是矩阵密码法是信息编码与解码的技巧，其中的一种是基于利用可逆矩阵的方法。先在基于利用可逆矩阵的方法。先在26个英文字母与数字个英文字母与数字间建立起一一对应，例如可以是间建立起一一对应，例如可以是 若要发出信息若要发出信息“SEND MONEY”，使用上述代码，使用上述代码，则此信息的编码是则此信息的编码是19，5，14，4，13，15，14，5，25，其中其中5表示字母表示字母E。不幸的是，这种编码很容易被别人。不幸的是，这种编码很容易被别人破译。在一个较长的信息编码中，人们会根据那个出破译。在一个较长的信息编码中，人们会根据那个出现频率最高的数值而猜出它代表的是哪个字母，比如现频率最高的数值而猜出它代表的是哪个字母，比如上述编码中出现最多次的数值时上述编码中出现最多次的数值时5，人们自，人们自1225 26ABYZ然会想到它代表的是字母然会想到它代表的是字母E，因为统计规律告诉我们，因为统计规律告诉我们，字母字母E是英文单词中出现频率最高的。是英