正方形的性质和判定

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1、思考：1、在第四章中我们已经学习了哪些特殊的四边形？平行四边形、矩形、菱形平行四边形、矩形、菱形。思考：2、分别叙述这三种四边形的定义。复习邻边相等有一个角是直角两组对边分别平行有一个角是直角有一组邻边相等四边形平行四边形矩形菱形矩 形？菱形？正正 方方 形形正方形正方形矩形矩形邻边相邻边相等的矩等的矩形形想一想：正方形是怎样的矩形？想一想：正方形是怎样的矩形？菱形正方形一个角是直角的菱形一个角是直角的菱形想一想：正方形是怎样的菱形？想一想：正方形是怎样的菱形？有一组邻边相等的平行有一组邻边相等的平行四边形（四边形（菱形菱形）并且有一个角是直角的并且有一个角是直角的平行四边形（平行四边形（矩形

2、矩形）两层两层含义含义正正方方形形有一组邻边相等并且有一个角是直有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形角的平行四边形有一组邻边相等的矩形叫做正方形。有一组邻边相等的矩形叫做正方形。1.正方形定义正方形定义:1、_的矩形叫做正方形。快速反应快速反应 有一组邻边相等的2、的菱形是正方形。有一个角是直角的3、的平行四边形是正方形。有一个角是直角且有一组邻边相等的2、正方形的性质、正方形的性质边边对角线对角线对边平行对边平行四边相等四边相等对角线相等对角线相等 互相垂直平分互相垂直平分每条对角线平分一每条对角线平分一组对角组对角四个角相等且都是直角四个角相等且都是直角角角正方形性质正方形性质正方

3、形具有平行四边形、矩形、菱正方形具有平行四边形、矩形、菱 形的一切性质。形的一切性质。正方形的性质定理正方形的性质定理1 1：正方形的四个角都是直角，四条边都 相等且对边平行。正方形的性质定理正方形的性质定理2 2：正方形的两条对角线相等，并且互相 垂直 平分，每条对角线平分一组对角。二、正方形的性质三段论形式：四边形ABCD是正方形 DABABC BCD CDA90 ABBCCDDA ADBC，ABCD AC BD，ACBD，AO CO BO DO AC平分BAD和BCD BD平分 ABD和ADCADBCO对称轴对称轴思考：1、平行四边形、矩形、菱形、正方形分别有哪些性质？这些性质可以从哪几

4、个角度概括？平行四边形矩形菱形对边平行且相等 四条边都相等对角相等四个角都是直角对角线互相平分对角线互相垂直对角线相等每条对角线平分一组对角性质图形有有有有有有有有有有有正方形有有有有有有有有有有有有有有有有有有有请用这四种图形填空A表示：B表示：C表示：D表示：平行四边形矩形（菱形）菱形（矩形）正方形有一个角有一个角是直角是直角有一组邻边有一组邻边相等相等有一组邻边有一组邻边相等相等有一个角是有一个角是直角直角有一组邻边相等且有有一组邻边相等且有一个角是直角一个角是直角正方形、矩形、菱形及平正方形、矩形、菱形及平行四边形四者之间的关系行四边形四者之间的关系3、正方形的判定:1.定义法2.先判

5、定是矩形,再判定是菱形，或先判定是菱形,再判定是矩形。动动脑脑想想一一想想、对角线相等的菱形是正方形对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？吗？为什么？、对角线互相垂直的矩形是正对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？方形吗？为什么？、对角线互相垂直且相等的四对角线互相垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？不是，应该加上什么条件？、能说能说“四条边都相等的四边四条边都相等的四边形是正方形吗？形是正方形吗？”为什么？为什么？、能说能说“四个角都相等的四边四个角都相等的四边形是正方形吗？形是正方形吗？”为什么为什么？例题例题1:四边形四边形ABC

6、D是正方形是正方形,两条对角线两条对角线相交于点相交于点O,(1)求求AOB,OAB的度数。的度数。8解：解：四边形四边形ABCD是正方形是正方形 ACBDAOB=900 BAC=DAC OAB=450 ABCDOEF(2)若若AC=4，则正方形边长，则正方形边长 ;正方正方形的面积是形的面积是4(3)正方形的面积正方形的面积64cm2，则对角线交点，则对角线交点到正方形一边的距离到正方形一边的距离22例例2求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的 等腰直角三角形。已知：四边形ABCD是正方形，对角 线AC、BD相交于点O 求证：ABO、BCO 、CDO、DAO是全等的等腰直角三角形 证

7、明：四边形ABCD是正方形 ADBCO 由于正方形的面积等于ABO 面积的4倍，所以正方形的面积等于对角线的平方的一半正方形的面积等于对角线的平方的一半。ACBD，ACBD，AO CO BO DO 正方形的对角线相等，并且互相垂直平分ABO、BCO 、CDO、DAO 都是等腰直角三角形，并且ABO BCO CDO DAO做一做做一做n现在请大家做一做这样一个现在请大家做一做这样一个实验：将一张长方形纸对折实验：将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正开，怎样剪才能剪出一个正方形？方形？2、周长为、周长为20cm的正方形的正方形,边长是边长是 对

8、角线长是对角线长是 面积是面积是 。1）一组邻边相等）一组邻边相等,一个角是直角的四边形是正方形。一个角是直角的四边形是正方形。2）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。自我检测自我检测1、下列说法对吗？、下列说法对吗？525cm2ABCDO3、如图，有、如图，有 个等个等腰直角三角形腰直角三角形852 cm 解：四边形ABCD是正方形 AB BC 2cm，ABC 90正方形的四个角都是直角，四条边都相等 22BCABACABCRt中，在cmAC222222对角线练习练习 1、已知：正方形的一条边长为2cm，求这个正方形 的周长、对角线长和正方形

9、的面积。ADBC 边长AB2cm 周长周长C C4AB8cm24cmS 面积练习练习 2、已知：正方形的一条对角线长为4cm 解：四边形ABCD是正方形 AB BC，ABC90 正方形的四个角都是直角，四条边都相等ADBC1 1、正方形的面积等于边长的平方。、正方形的面积等于边长的平方。2 2、正方形的面积等于等于对角线的平方的一半。、正方形的面积等于等于对角线的平方的一半。3 3、正方形的周长等于边长的、正方形的周长等于边长的4 4倍。倍。222822ABScm）（面积cmACAB2242222边长222842121cmACS或面积222ACBCAB 在RtABC中，求:它的边长和面积。练习

10、练习3、已知：在正方形ABCD中，E、F分别在BC、DC 上，且BE DF，AC与BC相交于O点，EF 与AC相交于P点 求证：EF AC，EF BD 证明：四边形ABCD是正方形 BC CD 正方形的四条边都相等 BE DF EC FC AC平分BCD 正方形的每条对角线平分一组对角 EF ACEF AC AC BD （正方形的对角线互相垂直）EF BD EF BD ABCDOPFE矩形、正方形（矩形、正方形（2）4、判断。（1）正方形一定是矩形。（）（2）正方形一定是菱形。（）（3）菱形一定是正方形。（）（4）矩形一定是正方形。（）（5）正方形、矩形、菱形都是平行四边形。（）快速反应快速反

11、应 矩形、正方形（矩形、正方形（2）1、在下列性质中，平行四边形具有的是_，矩形具有的是_，菱形具有的是_，正方形具有的是_。（1）四边都相等；（2）对角线互相平分；（3）对角线相等；（4）对角线互相垂直；（5）四个角都是直角；（6）每条对角线平分一组对角；（7）对边相等且平行；（8）有两条对称轴。自主学习自主学习 矩形、正方形（矩形、正方形（2）2、正方形两条对角线的和为8cm，它的面积为_.自主学习自主学习 矩形、正方形（矩形、正方形（2）3、如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF.（1）AE与BF相等吗？为什么？（2）AE与BF是否垂直？说明你的理由。自主学习自主学习

12、 ABCDEFG尝试练习：尝试练习：（1）已知：如图，ABCD和AKLM都是正方形，求证：MD=KB。尝试练习：尝试练习：n（2）如图，正方形）如图，正方形ABCD中，中，AC交交BD于于O，点，点M、N分别在分别在AC、BD上，且上，且OM=ON，n求证：求证：BM=CN。如何设计花坛？如何设计花坛？在一块正方形的花坛上，欲修建两条直在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三宽度），你有几种方法？（至少说出三种）种）请你当设计师请你

13、当设计师应用举例应用举例：ABCDC/A/B/D/已知：如图点已知：如图点A、B、C、D分别是正方形分别是正方形ABCD四条边上的点，并且四条边上的点，并且AA=BB=CC=DD求证：四边形求证：四边形ABCD是正方形是正方形、由已知正方形证三角形全等；、由已知正方形证三角形全等；、证得菱形；、证得菱形；、再证直角；、再证直角；、是正方形、是正方形证题思路分析证题思路分析上一页例1 已知：如图，在正方形ABCD中，AA=BB=CC=DD。求证：四边形ABCD是正方形。证明：四边形ABCD是正方形 AB=BC=CD=DA又AA=BB=CC=DD DA=AB=BC=CDA=B=C=D=90 AAD

14、 BBA CCB DDC四边形ABCD是菱形 又ADA=BAB，AAD+ADA=90 AAD+BAB=90 DAB=180（AAD+BAB）=90四边形ABCD是正方形。例2已知：如图，在矩形ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是各内角平分线，AF和BH交于E，CH和DF交于G。求证：四边形EFGH是正方形 A DHB CFEG证明：ADBC，AF、BH是角平分线AFBH同理 BHCH CHDF DFAFHEF=EFG=FGH=GHE=90四边形EFGH是矩形ABCDEFGHAF平分BAD BAF=DAF=45同理ABH=CBH=45 BCH=DCH=45 CDF=ADF=45DAF=CBH AD=BC ADF=BCHAFD BHC（ASA）AF=BHBAF=ABHAE=BEEH=EF四边形EFGH是正方形课堂练习：1、已知：正方形ABCD中，分别过A、C两点作ab,作BMa于M，DNa于N，直线MB、ND分别交b于Q、P。求证：四边形PNMQ是正方形。2、已知：如图，正方形ABCD和正方形CEFG，延长CD到H，且DH=CE=BK。求证：四边形AKFH是一个正方形 ABCDKFHEG