3第三章微分中值定理与导数的应用1

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1、第三章 微分中值定理与导数的应用考试要求】1掌握罗尔中值定理、拉格朗日中值定理并了解它们的几何意义2.熟练掌握洛必达法则求“ / 、“g / g ” “ 0 8 “、“ i “、“1 8 ” “ 0 0 ”和“ 8 ”型未定式极限的方法.3掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减 性证明简单的不等式4理解函数极值的概念,掌握求函数的极值和最值（最大值和最小值）的方法，并且会解简 单的应用问题5会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点6会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线考试内容】一、微分中值定理1罗尔定理如果函数y = f （X）满足下述的三个条件：（1）在闭区间a,

2、b上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；（3）在区间端点处的函数值相等， 即 f （a） = f （b）, 那么在（a,b）内至少有一点E （a b），使得f G）二0.说明：通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点,临界点），即若f（x）= ，则称 点x 为函数f（ x）的驻点.2拉格朗日中值定理如果函数y = f (x)满足下述的两个条件：(1) 在闭区间a,b上连续；(2) 在开区间(a，b)内可导，那么在(a，b)内至少有一点匕(a b)，使得下式(拉格朗日中值公式)成立：f (b) - f (a) =)(b - a).说明当f (b) = f (a)时，上式的左端为零,右端式(b

3、 一 a)不为零，则只能F&) = 0, 这就说明罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形.此外，由于拉格朗日中值定理在微分学 中占有重要的地位，因此有时也称这定理为微分中值定理.3两个重要推论(1) 如果函数f (x)在区间1上的导数恒为零，那么f (x)在区间1上是一个常数.证：在区间1上任取两点x1、x2(假定珥x2同样可证)，应用拉格朗日中值 公式可得f (x )- f (x ) = f ( )(x -x )(x g X时f(x)及F(x)都存在且F(x)丰0.(3)lim忠存在(或为无穷大),xTg F x那么-語=-駕g说明：我们指出，对于x T a或x时的未定式“ g ”也有相应的洛

4、必达法则0g3使用洛必达法则求“ 0 ”型或“ g ”型极限时的注意事项0g(1)使用洛必达法则之前要先判断所求极限是不是“ 0 ”型或“ g 型，如果不是则不能sin x使用洛必达法则.例如：lim就不能运用洛必达法则，直接代入求极限即可，故兀 xXT2sin x.兀 sin2 _ 20（2）洛必达法则可多次连续使用，也就是说，如果使用一次洛必达法则后算式仍然是“0 ” 型或“ g ”型则可再次使用洛必达法则，依此类推.0g洛必达法则是求“ 0 ”型或“ g ”型未定式极限的一种有效方法，但最好能与其他 求极限的方法结合使用，例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极.tan

5、 x 一 x限时，应尽可能应用，这样可以使运算简便.例如：求lim时，可先用x tan xxT0 x2 tan x进行无穷小的等价替换，然后再用洛必达法则,故tan x 一 xlimxT0 x 2 tan xtan x 一 x=limxT0= limxT0sec2 x 一 13 x 2= limxT0tan2 x3 x 2（4）如果求极限的式子中含有非零因子,则可以对该非零因子单独求极限（即可以先求出这lnsin 2 x 部分的极限），然后再利用洛必达法则，以便简化运算.例如：求lim-jin_xt0+ lnsin3 x“ lnsin 2x,. sin3x-cos2x-2 2sin3 x “

6、2-3x ,时 lim= lim= lim= lim= 1 从xT0+ lnsin3 x xT0+ sin 2x - cos3 x - 3 xT0+ 3sin 2x xT0+ 3 - 2x第二步到第三步的过程中,分子上的因子cos2x和分母上的因子cos3x当x T 0 +时极限均为1 ，故可先求出这两部分的极限以便化简运算（5）当洛必达法则的条件不满足时，所求极限不定不存在，也即是说，当limf，( x)存在时（等于无穷大的情况除外）,仍可能存在例如：极限x + sin x “(x + sin x)“1 + cosxlim lim= lim=lim(l+ cos x)极限是不存xx1xfgx

7、fgxfgxs在 的 , 但 是 原 极 限 是 存=1+0=1x + sin xsin xsin xlim= lim(1+) = 1 + lim -xxx4其他类型的未定式0g除了“ 0 ”型或g 型未定式之外，还有其他类型的未定式，如 “1g ”、“ 00及“g0 型等.对于“0 8 ”和“gg ”型的未定式，处理方法为将它0g们直接转化成“tv或“一型;对于“1g ”、“00”及“g0型的未定式，处理方法为先0g取对数将它们转化成“0 80型，然后再转化成“ 0 ”g型或“一”型未定式.g三、函数单调性的判定法1单调性判定法设函数y = f (x)在a,b上连续，在(a b)内可导，(1

8、)如果在(a,b)内f (x) 0，那么函数y = f (x)在a,b上单调增加；(2)如果在(a，b)内f(x) 0(或广(x) 1时2弋x 3 x11证明:原不等式即为 Jx -3 +，故令/(x) = 2ix -3 + ，x 0,xx111则 f f(x)二- 二(xjx -1)，f (x)在l,+8)上连续，在(1,+a)内x x 2x 2广(x) 0，因此在1,+Q上f (x)单调增加,从而当x 1时，f (x) f，又由. 1 1于 f =0，故 f (x) 0，即 2、jx 3 + 0xx四、函数的凹凸性与拐点1函数凹凸性的定义设函数f (x)在区间1上连续，如果对1上任意两点x

9、 1、x2，恒有r x + x 12I 2丿f (x ) + f (x )12，那么称/(x)在1上的图形是(向上)凹的(或凹(x + x、弧)；如果恒有f1 c 2 V 2丿,那么称f (x)在1上的图形是(向上)凸的(或凸弧).如果函数f (x)在1内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性，如下所示2函数凹凸性的判定法设函数f (x)在区间a,b上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么(1) 若在(a,b)内f(x)0，则f (x)在a,b上的图形是凹的；(2) 若在(a，b)内f(x) 0，则f (x)在a，b上的图形是凸的.说明：若在(a,b)内除有限个点上f

10、(x)= 0外,其它点上均有f(x)0 (或 f (x) 0),则同样可以判定曲线y = f (x)在a,b上为凹曲线(或凸曲线).3曲线的拐点的求法一般地，设y = f(x)在区间1上连续，x0是1的内点(除端点外1内的点).如果 曲线y = f(x)在经过点(x0,f(x0)时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点 (x0,f ( xo)为这曲线的拐点.我们可以按照下述步骤求区间1上的连续函数y = f (x)的拐点：(1) 求 f (x);(2) 令f (x) = ,解出这方程在区间1内的实根,并求出在区间1内f (x)不存在的点;(3) 对于(2)中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点x0，

11、检查f (x)在x0左、右两 侧邻近的符号，当两侧的符号相反时，点(x0,f(xo)是拐点，当两侧的符号相同时，点 (x0，f (x0)不是拐点在a，b上单3基本初等函数的微分公式说明：若要求函数y = f (x)的凹凸区间，则用(2)中求出的每一个实根或二阶导数不存 在的点把区间1分成若干部分区间，然后在这些部分区间上判定 f(x)的符号，若f(x)0 ，则该部分区间为凹区间， 若门x) 0， 则该部分区间为凸区间五、函数的极值与最值1函数极值的定义O设函数f (x)在点x0的某邻域U(xo)内有定义，如果对于去心邻域U(x0)内任一 x，有f(x) f(x0)(或f(x)f(x0)，那么就

12、称/(x0)是函数f (x)的一个极 大值(或极小值)函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点说明：函数的极大值与极小值概念是局部性的，如果/(x0)是函数f (x)的一个极大值，那 只是就xo附近的一个局部范围来说,/(xo)是f (x)的一个最大值，如果就f (x)的整个 定义域来说，/(x0)不见得是最大值关于极小值也类似.2函数取得极值的必要条件设函数f (x)在xo处可导，且在x0处取得极值，那么f( x0)= 0 .说明：这也就是说，可导函数f (x)的极值点必定是它的驻点.但反过来，函数的驻点却不 一定是极值点例如， f (x) = X3 的导数 f (

13、x) = 3x2，f (0) = 0， 因此x=0是这 函数的驻点，但x = 0却不是这函数的极值点，所以，函数的驻点只是可能的极值点.此外, 函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值.例如，函数f (x) = xl在点x = 0处不可 导，但函数在该点取得极小值3判定极值的第一充分条件O设函数f (x)在x0处连续，且在x0的某去心邻域U (x0)内可导.(1)若x(x0 -8，x)时，广(x)0，而x(x,x +5)时，广(x)0,则 f (x)在 x0 处取得极大值；( 2)若 x (x0 -8,x0)时，广(x) 0,而x (x0,x0 +8)时，广(x)0，则 f (x)在 x0 处

14、取得极小值；若x eU(X0，5)时，广(x)的符号保持不变，则f(x)在x0处没有极值.4用第一充分条件求极值点和极值的步骤设函数f (x)在所讨论的区间内连续，除个别点外处处可导，则用第一充分条件求极值点和相应的极值的步骤如下：(1)求出导数f (x)；(2) 求出f (x)的全部驻点与不可导点；(3) 考查f(x)的符号在每个驻点或不可导点的左右邻近的情形，以确定该点是否为极值 点;如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点；(4) 求出各极值点的函数值，就得函数f (x)的全部极值.5判定极值的第二充分条件设函数f (x)在x0处具有二阶导数且f(x0)= 0 , f(x0)丰0，

15、那么(1) 当 f (X0 ) 0时，函数f (x)在x0处取得极小值.说明：该极值判定条件表明，如果函数f (x)在驻点x0处的二阶导数f(xo)丰0，那么 该驻点x0 一定是极值点，并且可按二阶导数f (xo)的符号来判定/(x0 )是极大值还是 极小值 但如果/ (x0) - 0 ，则该判定条件失效事实上 当 f (x0)=0,f (xo)=0 时，f (x)在x0处可能有极大值，可能有极小值，也可能没有极值.例如, f1( x) 一x 4， f (x) = x 4, f3 (x) = x 3这三个函数在x = 0处就分别属于上述三种情况.因此，如果 函数在驻点处的二阶导数为零，那么还得

16、用一阶导数在驻点左右邻近的符号来判定.6求f (x)在区间a，b上的最值的步骤设函数f (x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内除有限个点外可导，且至多有 有限个驻点，则求f (x)在闭区间a，b上的最值的步骤如下：(1)求出f (x)在(a，b)内的驻点xx，,x及不可导点x1 ， x2，,12m12计算f(x )( i = 12，m), f (x )( j = 12 ，n)及 f (a), f (b)；ij(3)比较(2)中诸值的大小，其中最大的便是f (x)在a，b上的最大值，最小的便是f (x)在 a,b 上的最小值说明：在实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定可导函数f (

17、x)确有最大值或最小 值，而且一定在定义区间内部取得.这时如果f (X)在定义区间内部只有一个驻点x0,那么不 必讨论f (x0)是不是极值，就可以断定f (x0)是最大值或最小值.六、函数的渐近线的求法1水平渐近线若lim f (x) = a (包括lim f (x) = a 或lim f (x) = a),则直线 y = a 就是函x fgx TgXT+8数f (X)的水平渐近线.2垂直渐近线(或称铅直渐近线)若 lim f (x) = g (包括 lim f (x) = g 或 lim f (x) = g)，则直线 x = x 就xT x0xTx0xTx0+是函数f (x)的垂直(铅直)

18、渐近线.兀5兀石，-上的正确性.典型例题】【例31】验证罗尔定理对函数f (x) = ln sin x在区间解:显然函数f (x) =ln sin x在闭区间兀5兀兀5兀石，-上连续，在开区间石，-)上可导,1兀5兀八x）=（lnsin x亦-cos x=cot x，且f （召）=f （石）=ln2，故满足罗尔定理的条件，由定理可得至少存在一点兀2即为满足条件的点.【例3-2】验证拉格朗日中值定理对函数/( x) = 4 x 2 8 x 2在区间，1上的正确性. 解：显然函数/(x) = 4x2 8x 2在闭区间，1上连续，在开区间(，】)内可导， 广(x) = 8 x - 8 ,根据拉格朗日

19、中值定理可得至少存在一点g匸(，】),使得1f (1)- f () = f(g )(1 -),即一6 - (-2) = 8g -8 ,可得 g = - e (0,1),】g = 2即为满足条件的点.【例3-3】不求导数，判断函数f (x) = (x 一1)(x 一 2)(x 一 3)(x 一 4)的导数有几个零 点,这些零点分别在什么范围.?，其中一1 x 0时，x ln(l+ x)成立.1x 证明:设 /(x) = x ln(1+ x)，则 f (x) =1 =,1+ x 1 + x因/(x)在区间0,+g)上连续，在(，+g)内可导，且/f(x) , 故/(x)在区间，+g)上单调增加，又

20、因为/()= ,所以当x 时，/(x) ，即 x -ln(1+ x) ,也即 x ln(1 + x)成立.2.试证当 x 1时x 2x 2证明：令 f (x) = 2/X (3 L)，贝y f(x)二丄x &因/(x)在区间1,+g)上连续，在(1,+g)内可导且广(x) ,故/(x)在区间1,+g)上单调增加,又因为f=0，所以当x 1时，f(x) 0,11即 2；x _(3_) 0，也即 2肿 3- 成立.xx【例3-8】证明方程x5 + x + 1 = 0在区间(-1，)内有且仅有一个实根.证明：令/(x) = x 5 + x +1 ,因为f (x)在闭区间-1，0上连续，且 f (-1

21、) = -1 0， 根据零点定理，f (x)在区间(0，1)内至少有一个 零点.U 八、另一方面，对于任意实数x，有f(x) = 5x4 +1 ,所以f (x)在(-8, +8)内单 调增加，因此曲线/ (x) = x 5 + x +1与 x轴至多有一个交点.综上所述，方程x 5 + x +1 = 0 在区间(-1,0) 内有且仅有一个实根.【例 39】求下列函数的极值.1. f (x) = x3 - 3x2 - 9x + 5.解：函数的定义域为(-8，+8)，且有 f( x) = 3 x 2 - 6 x - 9 = 3(x + 1)(x - 3)，令 f(x) = 0， 得驻点x1 =-1,

22、x2 -3,列表讨论如下：x(-8,-1)-1(-1,3)3(3, +8 )f，( x)+00+f (x)/极大值极小值/由上表可得，函数的极大值为f( 1) -10，极小值为f一 22.2.解：函数的定义域为(-,+8)，且有f (x) =1 - x令 f( x) = 0 ,得驻点x = 1,当x = 0时f (x)不存在，驻点x =1以及不可导点x = 0 将定义域分成三个区间，列表讨论如下：x(-8,0)0(0,1)1f，( x)+不存在(一务,一1f (x)/极大值极小值(1,+s)1由上表可得，函数的极大值为f()= 0，极小值为f (1) =一 2 -【例310】求函数/(x)=

23、2x3 + 3x2 -12x +14在区间一3,4上的最值.解：因为 f (x) = 6 x2 + 6 x -12 = 6( x + 2)( x 一 1)，令 f(x)二 0，得 x1 = 2, x2 =1，计算 f (-3) = 23，f (-2) = 34，f 二 7，f 二 142,比较上述结果可知，最大值为f=142，最小值为f (1) = 7 .例 3-11】求下列曲线的凹凸区间和拐点l f (x) = 3x4 一 4x3 +1解：函数的定义域为(一8，+8)，且有f (x) = 12x3 -12x2，f (x) = 36x(x 一 2),2令 f (x)二 0，得 x1 - 0，x

24、2 -可,列表讨论如下：x(_g ,0)0（o,3）23（3,呵f( x)+00+f (x)凹对应拐点凸对应拐点凹22由上表可得，曲线/（x）的凹区间为（g，0和3,+g），凸区间为0,3,拐点为（0，1）2 11和(3,27)-2. f (x) = 3瓦f 1 _22 _ 5解：函数的定义域为（_g，+g）,当x丰0时有/（x） = 3 x_3，f （x） = _9x3当x = 0时，/ （x）和/ （x）均不存在，但在区间（_g，0） 内,/ （x） ,故曲线在（_g,上是凹的；在区间（,+g） 内,广（x） ，故曲线在0,+g）上是凸的.所以曲线的凹区间为（g,0，凸区间为, +8），拐

25、点为（,）.历年真题】一、选择题1. （2009 年, 1 分）若函数 y = /（x）满足广（x）= ,则 x = X 必为 /（x）的（）（A）极大值点（B）极小值点（C）驻点（D）拐点解：若f（x0）- 0，则x - x0必为/ （x）的驻点，选（C）.2. (2009 年，1 分)当 x0 时,1曲线 y - XSin -(A)没有水平渐近线(B) 仅有水平渐近线(C) 仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线，又有铅直渐近线11 sin_解:由limxsin = lim=1可知，y =1为曲线的水平渐近线;XT8X XT8x警sin-=0故曲线无铅直渐近线.选项正确3.(2008 年, 3

26、分)函数f (x) = lnx在区间1，2上满足拉格朗日公式中的E等于()A) ln 2B) ln1C)lne1(D) ln2解:对函数f (x) = ln x在区间1，2上应用拉格朗日中值定理， 11f f =)(2 -1)，即 ln2 - 0 二，故 g = 选(D). gln24. (2007年,3分)曲线y = x3 一 3x上切线平行于X轴的点为()( A) (-1,-4)( B) (2,2)(C) (0,0)( D) (1,-2)解：切线平行于X轴的点即为一阶导数等于零的点.由y = 3x2 一 3 = 0可得，x二士1 ； x二1时,y = -2，x = -1时，y = 2,故曲

27、线y = x3 -3x上切线平行于x 轴的点为(1,-2)和(-1,2).选项(D)正确.5. (2007 年, 3分)若在区间(a,b)内，导数f(x)0，二阶导数f(x) ,则函数 f (X)在该区间内()(A)单调增加，曲线为凸的(B)单调增加，曲线为凹的(C)单调减少，曲线为凸的(D)单调减少，曲线为凹的解：f(x)0可得f (x)单调增加，f(x) 0可得曲线为凸的，故选(A).二、填空题1. (2010年，2分)函数f(x)= 2x3 - 9x2 + 12x的单调减区间是.解：令 fl x) = 6 x2 -18 x +12 = 6( x - 1)(x - 2) = 0,得驻点 x

28、 二 1 和 x 二 2；当 x 0，当1 x 2 时，f(x) 0,故 函数的单调递减区间为1,2 .兀兀sin x函数(填“单调递增”2. (2009 年，2 分)当訂 x 2 时，f E = 丁 是 “单调递减”).兀.兀“ sin_ “ sin_x Jf (兀)二 6 二 3x Jf (兀)二 2 二 2解:当x-时，f (石)一r 云；当x 时，f (_2)一r 丘；故当6 2兀匕匕兀-、sinx6 - x - 2时，f (x) 丁是单调递减函数3. (2009年，2分)函数f(x) = 2x3 一9x2 +12x +1在区间0,2上的最大值点是.解：令 f (x) = 6x2 -1

29、8x +12 = 6(x- 1)(x-2) = 0,得驻点x 二 1 和x 二 2 .比 较函数值 /(1) = 6, / =5, /(0) =1， 可知，函数的最大值为/(1) = 6，故函数 的最大值点为x =1.x = 124. (2007年，4分)曲线 八在t = 1处的切线方程为.y = 4t解：将t =1代入参数方程可得切点为(1，4),切线斜率kt=1= 2 ，故切线方程为 y - 4 = 2( x -1)，即 y = 2x + 2.5. (2005年,3分)y = xe-x的凸区间是解.y = (xe-x )，= e-x xe-x = (1 x)e-xy = _e-x - (1

30、-x)e-x = (x - 2)e-x. 令 y = (x - 2)e-x = 0 可得，x = 2 , 且当x2时，y 0，当x 2时，y 0,故函数y = xe-x的凸区间是(g，2.6. (2005 年, 3分)曲线y = xx通过(1，1)点的切线方程为.解：因 y = (xx) = (ex in x) = ex in x - (ln x +1) = xx (ln x +1)， 故切线斜率 k =xx (ln x +1) x=1 =1, 所以切线方程为y 一1 =1 (x一1),即y = x.三、应用题或综合题1(2010年,10 分)现有边长为96 厘米的正方形纸板，将其四角各剪去一

31、个大小相同的小 正方形，折做成无盖纸箱，问剪区的小正方形边长为多少时做成的无盖纸箱容积最大？ 解：设剪区的小正方形边长为x，则纸盒的容积y = x(96 2x)2，0 x 0,F(1) 0.若F(0) = 0，即f (0) 一0 = 0,f (0) = 0，则g = 0 ；若F(1) = 0,即f(1) 1 = 0，f(1) = 1,则g = 1；当F(0) 土 0,F(1)土 0时,F(0) - F(1) 0，而F(x)在0，1上连续，故根据零点定理可得，至少存在一点 g g (0，1)，使得F(g) = 0,即f (g) g 二 0，f (g) = E .综上， 在0,1上至少存在一点g，

32、 使得 f (g ) = g3. (2009年，10分)某工厂需要围建一个面积为512m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材 料最省？512解：设堆料场的宽为x m，则长为-x512m，设砌墙周长为y，则y = 2 x +-，令 y = 2 512 = 0，得 x2 = 256X 2x， x =16( x = 16舍去)因只有一个驻点，且原题中最值一定存在，故当X = 16时，函数有最小值即当宽为16 m，长为32 m时,时 xa ax 1 一 a才能使砌墙所用的材料最省4. (2009 年，10 分)当 X, a 1解：

33、原不等式即为 Xa aX + a 一 1 0 .设 /(x) = Xa 一 ax + a 一 1,则1)当 x =1 时， f(x) =1 一 a + a 一1 = 0 ，即 xa 一 ax + a 一1 = 0成立；1(2)当 0 x 1 时，f，(x) = aXa -1 a = a (一1)0，故 f (x)单调增加,X1a可得 f(x) f(1)=0， 即 xa 一 ax + a 一1 0成立;3)当 x 1 时f(x) = axa1- a = a (_L_xia一 1) 0，故f (x)单调减少，可得f(x) f(1)=0, 即 x a 一 ax + a 一 1 0 成立综上，当x0

34、0 a 1时不等式xa 一 ax + a 一 1 0成立，即xa 一 ax 0，函数单调增加;当x e（2,+g）时，y,函数单调减少.故函数的单调增加区间为0,2，单调减少区间为（g，0和 2,+g）；极小值f （） = ，极大值f=4.再求凹凸区间和拐点.令y = 6 一 6 x = ,得x = 1 .当x e （g ,1）时,y ,函数 为凹的；当x e（l,+g）时,yv ,函数为凸的，且当x = 1时,y = 2,故函数的凹区间为（一g,1，凸区间为l,+g），拐点为（1,2）.6. （27年，8分）求函数y = x +的单调区间、极值、凹凸区间和拐点解:函数的定义域为（一g,1）u

35、（1,+g）.先求单调区间和极值.令y 二1 一1(X + 1)2x( x + 2)(X + 1)2=,得驻点 x = 2,x = ,用驻点将整个定义域分为三个区间（g,2），（2,T），（1,），（,+g）.当x e （g,2）时，y ，函数单调增加;当x e （2,T）时,y,函数单调减少； 当 x e （1,）时，y，函数单调减少；当x e （,+g）时，y ，函数单调增加.故函数的单调增加区间为（g,2和,+g），单调减少区间为2,1）和(一 1,；极大值 f (2) = 3，极小值 f () =1.再求凹凸区间和拐点.因-2(x +1) _ 2(X + 1)4(X + 1)3故当 X

36、e(g,1) 时y“V,函数为凸的；当Xe （1,+g）时,y,函数为凹的，故函数的凸区间为 （g,1），凹区间为（一1,+g）.凹凸性改变的点为X_1,不在定义域内，故函数没 有拐点.7. （27年，8分）在周长为定值1的所有扇形中，当扇形的半径取何值时所得扇形的面积最大?设扇形的面积为y，则由题意解：设扇形的半径为x，则弧长为I - 2x11lly = (l - 2x)x = 一x2 + _ lx .令 yf = 一2x + = 0 得，x = 4l唯一的极值点即为最大值点.故当扇形的半径为4时，扇形的面积最大.8. （2006年,10分）求函数y = x3 一 x2 一 x + 1的单调

37、区间、极值及凹凸区间、拐点.解：函数的定义域为（一8，+8 ）.1先求单调区间和极值.令y = 3x2 2x 1 =(3x + 1)(x 1) = 0，得驻点x = 311x =1，用驻点将整个定义域分为三个区间11x G （一8,3）时，y0，函数单调增加；当x G函数单调减1少；当x G （1,+8）时，y0，函数单调增加.故函数的单调增加区间为（一8，一3和11321，+8），单调减少区间为一3，1；极大值f（一3）= 27，极小值f（1） = 0-11再求凹凸区间和拐点.令y 二6 x _ 2二0，得x = 3 .当x G（ _83）时,y 0,/1、门_1_16，故函数函数为凸的;当

38、x G（3,+8）时,y0，函数为凹的，且当x = 3时,y = 27的凸区间为（一8,；，凹区间为【；，+8）,拐点为（|,2|）.9 . （ 2006年，10分）设函数/（x）在0,1上连续，且/（x）0 .证明方程Jxf (t) dt + fx01 f (t)1dt 0在（0,1）内有且仅有一个根.证明：先证存在性 设 F(x) = Jxf (t)dt + Jx-dt, x g 0,1.因 f (x)在0,1 01 f (t)上连续， 故F(x)在0,1上也连续，且F(0) = 0 + J0)dt = -J 1丄)dt 0，故由零点定理可得,至少存在一点E $(，1) 00使得FG )

39、= 0，即在(0，1)内方程至少存在一个根.1再证唯一性，即证F(x)的单调性.F(x) = f (x) + 0，故F(x)单调增加,f ( x )LL 1所以结合上面根的存在性可知，方程Jxf(t)dt+Jx话dt=0在(0，1)内有且仅有01 f (t)一个根e-12dt在(，)处切线相同,写出该010(2005 年， 8 分)已知 y = f (x)与 y = J arctan x切线方程并求lim nf(-).ns narctan x2解：切线斜率k = e-t dt0x=0( e- arctan2 x 1 + x 2丿x=0=1 ， 故切线方程为y-0 =1 -(x-o)，即 y = x.因 y = f( x)过点(0,0)，故 f(0) = 0，且广(0)= 1,2/(?)广(?)(?y故 limnf( ) = lim I = lim ： n = 2f()= 2n*nn* 1n)nn