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1、1.椭球面 2.抛物面 3.双曲面 4.椭圆锥面 三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法截痕法 其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面二次曲面.FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次项系数不全为 0)zyxO),(1222222为正数cbaczbyax(1)范围：czbyax,(2)与坐标面的交线：椭圆,012222zbyax,012222xczby 012222yczax1222222czbyax与)(11czzz的交线为椭圆：1zz(4)当 ab 时为旋转椭球
2、面;同样)(11byyy的截痕）（axxx11及也为椭圆.当abc 时为球面.(3)截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(为正数)zzyxOzqypx2222(1)椭圆抛物面(p,q 同号)(2)双曲抛物面（鞍形曲面）zqypx2222特别,当 p=q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.(p,q 同号)zyxO 2222zbyax椭圆抛物面椭圆抛物面 2222zaxby双曲抛物面所表示的曲面称为双曲抛物面或马鞍面.(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面by 1)1上的截痕为平面1zz 椭圆.时,截痕为22122221byczax(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）1yy)
3、,(1222222为正数cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情况:双曲线:zxyOxyzO虚轴平行于x 轴）by 1)2时,截痕为0czax)(bby或by 1)3时,截痕为22122221byczax(实轴平行于z 轴;1yy 相交直线:双曲线:0 xyzO),(1222222为正数cbaczbyax),(1222222为正数cbaczbyax上的截痕为平面1yy 双曲线上的截痕为平面1xx 上的截痕为平面)(11czzz椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线Ozxy222222czbyax单叶双曲面11双叶双曲面),(22222为正数bazbyax上的截痕为在平面tz 椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线.zxy1)()(2222t byt axtz,可以证明,椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换得到)xyzO三元二次方程),(同号qp 椭球面1222222czbyax 抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面zqypx2222zqypx2222 双曲面:单叶双曲面2222byax22cz1双叶双曲面2222byax22cz1 椭圆锥面:22222zbyax二次曲面
二次曲面的方程与图形
