高数复习资料完整

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1、高等数学（向量代数无穷级数）知识点向量与空间几何向量：向量表示（a）;向量运算（向量积）；向量的方向和投影空间方程：曲面方程（旋转曲面和垂直柱面）；直线方程（参数方程和投影方程） 平面方程：点法式（法向量）、一般式、截距式；平面夹角和距离 直线方程：一般式、对称式（方向向量）、参数式；直线夹角；平面交线（法向量积） 切平面和切线：切线与法平面；切平面与法线多元函数微分学多元函数极限：趋近方式，等阶代换偏微分和全微分：高阶微分（连续则可等）；复合函数求导（Jacobi行列式）；多元函数极值：偏导数判定；拉格朗日乘数法（条件极值）重积分二重积分：直角坐标和极坐标；对称性；换元法三重积分：直角坐标、

2、柱坐标和球坐标；对称性重积分的应用：曲面面积；质心；转动惯量；引力曲线与曲面积分曲线积分：弧长积分；坐标曲线积分（参数方程）；格林公式 面积积分：对面积积分；坐标面积积分；高斯公式无穷级数级数收敛：通项极限正项级数：调和级数；比较法和比较极限法；根值法；极限法；绝对收敛和条件收敛 幂级数：收敛半径和收敛域；和函数；麦克劳林级数（二次展开）Fourier 级数：傅里叶系数（高次三角函数积分）；奇偶延拓；正弦和余弦级数；一般周期的 傅里叶级数矢量分析与场论（空间场基础）方向导数与梯度方向导数：向量参数式；偏导数；方向余弦梯度（grad）:方向导数的最值；梯度方向；物理意义（热导方向与电场方向）格林

3、公式：曲线积分二重积分；曲线方向与曲面方向全微分原函数：场的还原；折线积分通量与散度高斯公式：闭合曲面三重积分；曲面外侧定向；曲面补齐；向量表达（通量）散度（div）:通量的体积元微分；物理意义（有源场（电场）斯托克斯公式：闭合曲线一曲面积分；向量积定向；行列式表达；向量表达；物理意义（环 通量）旋度（rot）：行列式斯托克斯公式；物理意义（有旋场（磁场）第八章向量与解析几何向量代数定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示向量有大小、有方向.记作a或ABa = a i + a j + a k = (a , a , a )xyzx yza = prj a, a = prj a, a = pr

4、j a xxyyzz模向量a的模记作a” =J a 2 + a 2 + a 2Y xyz和差c = a + bc = abc = a + b = a 土 b , a 土 b , a 土 b xx yy zz单位向量八aa主0，则e十 a lal(a , a , a ) e = fxyz二a Ja 2 + a 2 + a 2 耳xyz方向余弦设a与x, y, z轴的夹角分别为a, P，y , 则方向余弦分别为cos a, cos0, cosy(cos a =e = (co,acos2a +cac aah, cosp =守,cosy =aaa$a, cosp, cosy):os 2 p + cos

5、2y = 1点乘（数量积）a -b = ab cose ,0为向量a与b的夹角a - b = a b + a b + a bx xy yz z叉乘（向量积） c = a x bC = a|b| sin 00为向量a与b的夹角 向量c与a , b都垂直a x b = a1ijkzaaxyz7bbxyz定理与公式垂直a 丄 b o a - b = 0a 丄 b o a b + a b + a b = 0x xy yz z平行a / b o a x b = 0aaaa II b Of=y=ybbbxyz交角余弦门a - b两向量夹角余弦cos0 - -abcose =-a b + a b + a b

6、x xy yz zJa 2 + a 2 + a 2 - Jb 2 + b 2 + b 27 xyz xyz投影向量a在非零向量b上的投影prj a = a| cos（a人b） =bb.a b + a b + a bprj a =-z-bJb 2 + b 2 + b 2 xyz平面直线法向量 “ =A, B, C 点 MA，y n, J)方向向量 T =m, n,p点 M or y n,z n)方程名称方程形式及特征方程名称方程形式及特征x = 9 (t )，：y =屮(t)，z(t),(a t p)切向量T = (t)，屮(t),心(t)0 0 0空 间 曲 线 ry =申(x) z =屮(x

7、)切向量T = (1,0(x),屮(x)空间曲面法向量n = ( F (x , y , z ),x 000F (x , y , z ),y 000F (x , y , z )z 000x 000法“线“方程:x 一 x0一般式Ax + By + Cz + D = 0一般式A x + B y + C z + D = 0 1111A x + B y + C z + D = 0 cccc点法式A( 00000 切平“面”方程： F (x , y , z )(x x ) + F (x , y , z )(y y ) 域边界应尽量多为坐标轴，被积函数关于坐标变量易分离积分区域分块少，累次积分好算为妙 一

8、 x0)+B(y 一 y。)+C( z 一 茅=0点向式x xy yz z=0- mnp三点式x xy yz z1 1 1x xy yz z212121x xy yz z313131=0参数式x = x + mt0y = y + nt0z = z + ptJ0截距式x y z A+ 丄+ = 1 a b c两点式x xy yz z=0x xy yz z101010面面垂直AA +BB +CC = 01 2 1 2 1 2线线垂直mm + n n + p p = 01 2 1 2 1 2面面平行ABC1- 一 一1- 一 一1ABC2 2 2线线平行mnp1- = 一 一1mnp222线面垂直A

9、BC=m n p线面平行Am + Bn + Cp = 0点面距离M (x , y , z )Ax + By + Cz + D = 00 0 0 0面面距离Ax + By + Cz + D = 0Ax + By + Cz + D = 01 2I Ax + By + Cz + D| d =000LJA 2 + B 2 + C 2Id d I d =JJA2 + B 2 + C 2面面夹角线线夹角线面夹角n = A , B , C n = A , B , C 1 111。 2 2 2s = m , n , p s = m , n , p 111cis = m, n, p n = A, B, C111

10、1山山山山1AA + BB + CC 1ecQ 121212cosQ :儿丄儿厶厶厶mm +n n +p p*1n1 n1n 7厶1sin 9 =| Am + Bn + Cp|1;A2 + B2 + C2 m2 + n2 + p2V U11 21 21 2QA 2 + B 2 + C 2 A 2 + B 2 + C 21 1 1 2 2 2vm2 + n2 + p2 *m2 + n2 + p2111222x xy y z z切“线”方程. * = 亠=0-切 线 方程- 9(t)屮(t ) E(t) 0 0 0法平“面”方程：弘 o)( x 一 x o)+ 屮维 o)( y - y + ，(t

11、 o)(z - z o) = 0切“线”方程：兰工=二2 =兰二19(x )屮(x )法平“面”方程：(x x ) + 9(x ) (y y )+屮(x )(z z ) = 0z = f (x, y)n = ( f (x , y ),x 00f (x , y ),1)y 00或n = ( f (x , y ),x 00f (x ,y ), 1)y 00切平“面”方程：f (x , y )(x x ) + f (x , y )(y y ) (z z ) = 0 x 000y 0000法“线“方程：x - xy - y z - z0 = 0 = 0 f (x , y ) f (x , y ) 1x

12、 00y 00第十章重积分积分类型二重积分I 二 P f (x, y)fcD计算方法(1)利用直角坐标系ff f (x, y) dxdy = f bdxf“2( x)f (x, y) dy aJ x)ff f (x, y )dxdy = f ddy 卜2( y) f (x, y) dxc串J y)x型匕型D(2)利用极坐标系使用原则典型例题P141例 1、例 3平面薄片的质 量(1)积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧，直线段)； 被积函数用极坐标变量表示较简单(含(x2 + y2)a, a为实数)质量二面密度X面积-V I ； 2f (p cos 0, p sin 0) p d p

13、 d0P147例 5a 竹(0)cos 0, p sin 0) p d p打0：)=屮|打：00 2兀重积分D11.画出积分区域2.选择坐标系标准:3.确定积分次序原则:计算步骤及注意事项P141例 2 应用该性质更方便(3)利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D关于y轴对称时，(关于x轴对称时，有类似结论)f (x, y)对于x是奇函数, 即 f (- x, y) = f (x, y) 2ff f (x, y)dxdy f (x, y)对于 x是偶函数,即 f (- x, y) = f (x, y)D是D的右半部分14. 确定积分限方法：图示法先积一条线，后扫积分域5. 计算要简便注意：

14、充分利用对称性，奇偶性三重积分I 二f (X, y, z)dvQ空间立体物的 质量质量=密度x 面积利用直角坐标截面法投影 f (x, y, z )dV = b dxj y2( X)dyJz2( x, y)f (x, y, z )dzQayi( X)Z( X, y)P159例 1P160例 2f x = r cos 0(2) 利用柱面坐标y = r sin 0z = z相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标适用范围：Q积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如旋转体Q被积函数用柱面坐标表示时变量易分离如f (x2 + y2) f (x2 + z2)fff f (x, y, z )dV =Jb

15、 dzJ 卩 d0r2(0) f (p cos 0, p sin 0, z) pdpaar (0)Q1P161例 3f x = p cos 0 = r sin 申 cos 0(3)利用球面坐标 y = p sin0 = r sin申sin0z = rcos申 dv = r 2 sin 申 drd 申 d0 适用范围：Q积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体.Q被积函数用球面坐标表示时变量易分离.如, f (x2 + y2 + z2)I = fa2 dj 卩2 d0 Jp2(0 ,(p) f (p sin 申 cos0, p sin 申 sin0, p cos(p)p2 sindpa

16、.B.p . (0 .e)P16510-(1)(4)利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性第十一章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分积分类型计算方法典型例题第一类曲线积分I=J f (x, y)dsL曲形构件的质量 质量=线密度x 弧长参数法(转化为定积分)(1) l:y =e(x)i = fpf(e(t),e(t)Je2(t)+屮s(t)dt厂ar(2) L：兀=?(a t B ) I = Jbf(x,y(x)Jl + y2(x)dxy =e (t)af x = r (0 )cos 0(3) r =用)(a0B ) L: y = r (0 )sin 0I = JBf (r(0)cos0,

17、r(0)sin0)Jr2(0) + r2 (0)d0aP189-例 1P190-3(1) 参数法(转化为定积分)L Jx = ?(t单调地从a到B )卜=* (t)J Pdx + Qdy = jp Pg (t)，屮(t)(p(t) + Qg (t)，屮(t(t)dt LaP196-例 1、例 2、 例3、例4（2）利用格林公式（转化为二重积分）条件：L封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域D）P，Q具有一阶连续偏导数结论：J Pdx+ Qdy=(|Q-|P)dxdyLox dyP205 - 例 4平面第一类曲线 积分D满足条件直接应用P214-5(1)(4)应用：有瑕点，挖洞不是封闭曲线，

18、添加辅助线I = J Pdx+ Qdy（3）利用路径无关定理（特殊路径法）L等价条件：0 Q 0PJ Pdx+ Qdy= 00x0yLP211-例 5、例 6、J Pdx + Qdy与路径无关，与起点、终点有关例7变力沿曲线所做 的功Pdx + Qdy具有原函数u（x, y）（特殊路径法，偏积分法，凑微分法）（4）两类曲线积分的联系二i Pdx+ Qdy=i (Pcosa+QcosP)dsLL（1）参数法（转化为定积分）空间第一类曲线J Pdx + Qdy + Rdz = J卩Pg(t)，屮(t),(t)2(t) + Qg(t)，屮(t),(t(t)积分ra+ R 0 ;后侧取 “ -”，co

19、s 丫 0 ；左侧取 “-”，cos 0 0 ；下侧取“ 一 ”，cosa 0DP226-例 2流体流向曲面一 侧的流量（2）高斯公式右手法则取定E的侧条件：E封闭，分片光滑，是所围空间闭区域。的外侧P, Q，R具有一阶连续偏导数结论：JJ Pdydz + Qdzdz + Rdxdy = JJJ (11)dxdy dzEQJ满足条件直接应用i不是封闭曲面，添加辅助面两类曲面积分之间的联系 JJ Pdydz-Qdzdx- Rdxdy=JJ(Pcosa+Qcos3 + Rcosf )dSEEQzQz转换投影法：dydz = (- -)dxdy dzdx = (- -)dxdyQxQyP231-例

20、1、例 2应用:（3）P228-例 3所有类型的积分：Q1 定义：四步法分割、代替、求和、取极限；Q2 性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；Q3 对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性第十二章 级数O若级数收敛，各项同乘同一常数仍收敛O两个收敛级数的和差仍收敛用收敛定义，lim s存在n注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散.O去掉、加上或改变级数有限项不改变其收敛性般 项 级 数常 数 项 级 数常数项级数的基本性质交错 级数O若级数收敛 则对这级数的项任意加括号后所 成的级数仍收敛，且其和不变。推论如果加括号后所成的级数发散 则原来级 数也发散注：收敛级数去括号后未必收敛.

21、正 项 级 数an + 1c R = , p 工 0; R = +8 , p = 0; R = 0 , p = +8 . P P无穷级数缺项级数用比值审敛法求收敛半径傅立叶级数展成幕级数T = 2兀T = 21直接展开:泰勒级数间接展开:六个常用展开式= Xn (-1 X 1)1 Xn=1兀一兀n =1Xn ( g X +8) n!周期 延拓cos nx + bnn=1f ( x) cos nXdX1 fsin nX) a =f ( X ) dX0兀一兀b =丄J f (x)sin nXdX收敛定理n 一兀x是连续点,收敛于f (x) ；x是间断点，收敛于丄f (X- ) + f (X + )

22、 2f(x)为奇函数，正弦级数，奇延拓；f(x)为偶函数，余弦级数、偶延拓.s(x)的性质O在收敛域I上连续;O在收敛域(R , R)内可导，且可逐项求导;O 和函数s(X)在收敛域I上可积分，且可逐项积分.(R不变,收敛域可能变化).高等数学公式导数公式： 基本积分表：(tgx) = sec2 x(ctgx) = -CSC2 x (sec x) = sec x - tgx (csc x) = - csc x - ctgx (ax) =axlna(log x)= 1-axln a(arcsin x)=1(arccos x)=-(arctgx)=(arcctgx)=三角函数的有理式积分J tgx

23、dx = - In | J ctgxdx = ln|sin x| + CJ sec xdx = ln|sec x + tgx| + CJ csc xdx = ln|csc x - ctgx| + C|cos x| + C1x=arctg +Caa1x a ln+ C2ax + a1a+xln+ C2aa-xJ dxx2 - a 2J dxa 2 + x 2J dX = J sec2 xdx = tgx + Ccos2 xJ dx = Jcsc2 xdx = -ctgx + Csin2 xJ sec x - tgxdx = sec x + CJ csc x - ctgxdx = - csc x

24、+ CJ dxa2 - x2dxx=arcsm + Ca 2 - x 2aJ axdx =+ ClnaJ shxdx = chx + CJ chxdx = shx + CJ . dx= ln(x +/x2 土a2) + C-;x 2 土 a 2= Jsinn xdx =Jcosn xdx = nnn -20J、； x 2 + a 2 dx =0xa 21x 2 + a 2 +ln( x + 、： x 2 + a 2) + C2 2f i, x ； a 2;小J x 2 - a 2 dx =十 x 2 - a 2 - ln x + 寸 x 2 - a 2 + C2 2r ； x i a 2xM

25、a2 - x2 dx =a2 - x2 + arcsin + C22a2usin x =1+ u 21-u2cos x =1+ u 2xu = tg ,22dudx =1 + u 2一些初等函数：两个重要极限：倍角公式：sin 2a = 2 sin a cosacos 2a = 2 cos2 a -1 = 1 一 2 sin2 a = cos2 a 一 sin2 asin3a = 3sin a - 4 sin3 actg 2a 一1ctg 2a = 一cos3a = 4cos3 a - 3cosa2ctgatg 3a = 3tga-tg 3a2tgatg 2a =1 - 3tg 2a双曲正弦:

26、shx=宁双曲余弦:血=丁sin xlim = 1xtO xlim(l + -) x = e = 2.718281828459045xSx双曲正切:thx =shx _ ex - e-x chx ex + e - xarshx = ln( x +、. x 2 +1)archx = ln(x + x2 一 1)arthx =1 1+xIn2 1 一 x三角函数公式：诱导公式：函数 角A、sincostgctg-a-si nacosa-tga-ctga90-acosasi nactgatga90+acosa-si na-ctga-tga180-asi na-cosa-tga-ctga180+a-s

27、i na-cosatgactga270-a-cosa-si nactgatga270+a-cosasi na-ctga-tga360-a-si nacosa-tga-ctga360+asi nacosatgactga和差化积公式：和差角公式：sin(a P) = sin a cos P cosa sin P cos(a P) = cosa cos P + sin a sin P tg (aP)=晋叫1 + tga tg卩ctg (aP)=吧 ctg卩壬1ctgP ctgaa +Pa-Psin a + sin P = 2 sin cos 2 2a +Pa -Psin a 一 sin P = 2

28、cos sin 2 2a + P a - Pcos a + cos P = 2cos cos 22a+Pa-Pcos a 一 cos P = 2sin sin 2 21- tg2a半角公式：.a ,1 - cosa sm = 土2 2a ：1 + cosa cos = 2 2a1 - cosa1 - cosa sin atg = = 一21 + cosasin a 1 + cosaa.1 + cosa1 + cosasin actg = 21 - cosa sin a1 - cosa正弦定理:a b csin Asin Bsin C余弦定理：c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos

29、C反三角函数性质：兀arcsin x = 一 arccos x2兀arctgx =- arcctgx高阶导数公式莱布尼兹(Leibniz)公式:(uv)(n) =Y Cku (n-k) v(k)n k 0. n(n -1)n(n -1)(n - k +1)=u (n) v + nu (n-1) v +u (n-2) V HFU (n-k) V(k) HF UV (n)2!k!中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f (b)-f(a) = f(g)(b-a)柯西中值定理：f(b) 一 f=厶字F (b) - F (a) F 崔)当尸(x) = x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：弧微分

30、公式：ds = x. 1 + ySdx,其中y = tga Aa平均曲率:K=.Aa :从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；As： MM弧长。 AsM点的曲率:Aadalim=AstO AsdsKv(1+y 2)3直线：K = 0;半径为a的圆：K =丄.a定积分的近似计算：矩形法：f (x)aa (y + y + + y )n 01n -1a梯形法：f(x)aa匸(y + y ) + y + + y n 2 0 n 1n -1a抛物线法：f (x)aa (y + y ) + 2( y + y + + y ) + 4( y + y + + y )3n0 n24n-213n-1a定积分应用相关公

31、式：功：W=F-s 水压力：F = p - A引力：F = k,k为引力系数r2函数的平均值：=丄f f (x)dx b - aa均方根:f f 2(t)dtb - aa空间解析几何和向量代数：空间2点的距离：d = M M |= Y(x x )2 + (y y )2 + (z z )2 12*21 2 1 2 1uPr j (a + a ) = Pr ja + Pr ja_u 1 _212a - b = |a| - b cos0 =1=a b + a b + a b ,是一个数量，x x y y z za b + a b + a bx x y y z z向量在轴上的投影:Pr j AB =

32、AB -cos申，申是AB与u轴的夹角。两向量之间的夹角:cos0 = =a 2 + a 2 + a 2 b 2 + b 2 + b 2xyz xyzaxbxjaybyazbz,|C = 0卜 |b| sin 0 .例:线速度：v = w x r.向量的混合积:abc = (a x b)- c =aybycyaz bzcz=a x b - |c|cosa,o为锐角时,代表平行六面体的体积。其中n 二A,B,C,M (x ,y ,z )0000平面的方程：1、点法式：A(x x ) + B(y y ) + C(z z ) = 0, 0 0 0 厶一般方程：Ax + By + Cz + D = 0

33、 3、截距世方程:：+ + = 1abc平面外任意一点到该平面的距离：d二lAxo.+ Byo + CzolDA2 + B2 + C2空间直线的方程：xyzx = x + mtr八s 、o=t,其中s = m,n,p;参数方程:y = y + nt oz = z + pto二次曲面：1、椭球面：兰+21 +兰二1a 2 b2 c 22、抛物面：兰+兰二z,(p,q同号)2 p 2q3、双曲面： 单叶双曲面:乂 +兰兰二1a 2 b2 c 2双叶双曲面：兰竺+兰=1(马鞍面)a 2 b2 c 2多元函数微分法及应用全微分：dz = dx + 竺 dydu = udx + 竺 dy + 竺 dzd

34、xdydxdydz全微分的近似计算：Az - dz = f (x, y)Ax + f (x, y)Ay xy多元复合函数的求导法：dzdz du dz dvz = fu(t),v(t) .dtdu dtdv dtz= fu(x,y),v(x,y)dzdxdz dudz+ du dxdvdvdx当u = u(x, y), v = v(x, y)日寸,du =dududx + dydxdydv =dvdvdx + dydxdy隐函数的求导公式：隐函数F (x, y) = 0,隐函数F (x, y, z) = 0,-y _ Fx ,dx FydzF_ x ,dxFzd 2 y _ d dx 2 dx

35、FdT)+石(F ) dy)-F dxydzdyFyFzdFdF0J-d (F,G)-dudv0d(u, v)dGdGdudvFuGu隐函数方程组：F( X，y，U，V)=|G (x, y, u, v)=FvGvdu _1 dxJdu _1 dyJ3( F, G)d (x, v)d( F, G)3( y, v)dv _1 dxJdv _1 dyJd (F, G)d(u, x)d( F, G)d (u, y)微分法在几何上的应用x -申(t)空间曲线y -屮(t)在点M (x , y 、z - (t)在点M处的法平面方程：0(t )(x-x ) + 屮(t )(y- y ) + w(t )(z-

36、z ) - 0 00 0, z0)处的切线方程:x 一 x00(t)屮(t) E(t)0000FyGy00若空间曲线方程为:F (x, y, z) - 0,则切向量T - |g(x, y, z) - 0曲面F(x, y,z) - 0上一点M(x , y ,z )，贝V：0 0 0过此点的法向量： n-F(x ,y ,z ),F (x ,y ,z ),F(x ,y ,z )x 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 0过此点的切平面方程： F(x ,y ,z )(x-x )+F (x ,y ,z )(y-y )+F(x ,y ,z )(z-z )-0x 0000 y 0000 z 0000过此点

37、的法线方程:-0 0-0F(x ,y ,z ) F (x ,y ,z ) F(x ,y ,z )x 000y 000z 0001、2、3、FzGz0FzGzFXGXFXGXFyGy方向导数与梯度:函数z = f (X, y)在一点p( x, y)沿任一方向l的方向导数为：f = f cos +f sin申 dldxdy其中申为X轴到方向l的转角。函数z = f (x, y)在一点p(x, y)的梯度：gradf (x, y) = f i +df j dxdy它与方向导数的关系是:f = grad f (x,y) -e,其中e = cos i + sin j，为l方向上的 dl单位向量。f是gr

38、adf (x, y )在1上的投影。 dl多元函数的极值及其求法：f (X0, y0)= B, fy (X0, y0)= C设/ (x ,y ) - f (x ,y ) - 0,令：f (x ,y ) - A,x 00 y 00xx 00a n时J A 0时o o| A 0,(x , y )为极小值00贝V： AC - B2 0)的引力：F = F ,F ,F ，其中:F = f JJ p (x, y) xdcx3d (x2 + y2 + a2)2柱面坐标和球面坐标：x = rcos9y =rsin9,z=z柱面坐标：?F = f JJ P (x，y) yd。y3d (x2 + y2 + a2

39、)2xyzF =- fa JJ p (兀 y)気z3d (x2 + y2 + a2)2B! f (x, y, z )dxdydz = JJJ F (r ,9, z )rdrd0dz,其中：F(r,9,z) = f(rcos9,rsin9,z)x = r sin ； cos9 y =rsin;sin9， z = rcos;JJJ f(x,y,z)dxdydz = JJJF(r,;,9)r2sin;drd;d9 = Jd9Jd; JF(r,;,9)r2sin;drQQ重心：x = JJJ xpdv,y =丄 JJJ ypdv,MMQQ 转动惯量：I = JJJ(y2 + z2)pdv,xQ球面坐标

40、：dv = rd申-r sin 申 d0 - dr = r 2 sin 申drd申d00 0 0z = JJJ zpdv,M =JJJ (x 2 + z 2) pdv, yQ其中M = x = JJJ pdv =JJJ (x 2 + y 2) pdv zQ曲线积分：第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：设f （x,y）在L上连续，L的参数方程为：x = 9,（a t W卩）,则: I y =屮（t）Jf区y）dSf叩仙皿跡市両Q 卩）特殊情况:y :;:（）第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)：设L的参数方程为X 7，贝V：y =屮(t)J P( x, y )dx + Q( x, y )dy =

41、f P申(t)，屮(t 加 f(t) + Q申(t)，屮(t 加 f(t )dtLa两类曲线积分之间的关系J Pdx + Qdy = J (P cosa + Q cos卩)ds，其中a和卩分别为LLL上积分起止点处切向量的方向角。格林公式-aP )dxdy = J Pdx + Qdy格林公式JJ (aQ - aP) dxdy = J Pdx + Qdyax ayax ayDLDL当P = -y,Q = x，即:：-aP = 2时，得到D的面积：A = JJdxdy = Jxdy- ydxax ay2DL平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y), Q(x,y)在G

42、内具有一阶连续偏导数，且翌=$。注意奇点，如(0,0)，应 axay减去对此奇点的积分，注意方向相反！ 二元函数的全微分求积：在axaQ aP时，Pdx + Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中： ayu(x,y) =f (x,y)dx + Q(x,y)dy，通常设x = y = 0。00(x0,y0)曲面积分：对面积的曲面积分:JJ f (x, y, z )ds = JJ f x, y, z (x, y )L.;1 + z 2( x, y) + z2 (x, y )dxdy xy对坐标的曲面积分:JJ P( x, y, z )dydz + Q( x, y, z )dzdx + R(

43、x, y, z )dxdy，其中：取曲面的上侧时取正号；取曲面的前侧时取正号；JJ R( x, y, z )dxdy = JJ R x, y, z (x, y )dxdy, JJ P( x, y, z )dydz = y, z), y, z dydz,取曲面的右侧时取正号。JJQ(x, y, z)dzdx = JJQx, y(z, x), zdzdx 两类曲面积分之间的关系：J Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = JJ (P cosa + Q cos P + R cos Y )ds高斯公式：JJJ 严 + QQ + QR) dv =Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = J

44、J (P cos a + Q cos P + R cos y)ds Qx Qy QzQEE高斯公式的物理意义 通量与散度：散度：diW = ? + QQ + QR，即：单位体积内所产生的流体质量，若divb0,则为消失 QxQyQz通量 JJ A - nds = JJ A ds = JJ (P cos a + Q cos P + R cos y)ds，n因此，高斯公式又可写 成JJJ div Adv = JJ AdsnQE 曲线积分与曲面积分的关系：)dydz + (QP - QR )dzdx + (- QP )dxdy = J Pdx + Qdy + Rdz QzQz QxQxQyrcos

45、PQQyQQR QQ斯托克斯公式JJ( QR 卫 E Qy上式左端又可写成：JJEdydzQQxPdzdxQQyQdxdycosaQzR空间曲线积分与路径无关的条件:竺=QQ Qy Qz旋度：rotA =iQQxPQyQkQQzRdxPdP= _,QzQxcos yQQzR=QPQxQy向量场A沿有向闭曲线r的环流量:J Pdx + Qdy + Rdz = J A - tdsrr常数项级数：等比数列J + q + q 2 + + qn-1 =1_1-q等差数列J + 2 + 3 + + n = (n + 1)n2调和级数J +1 +1 + +1是发散的23 n级数审敛法：1、正项级数的审敛法

46、根植审敛法(柯西判别法)p 1时，级数发散p=1时，设：p = lim：unns2、比值审敛法：设：p = lim Un+i,UnT 丿n不确定级数收敛 级数发散p 1时,p = 1时，不确定3、定义法：s = u + u + + u ;lims存在，则收敛；否则发散。n 12nnnTg交错级数u -u + u -u +(或-u +u -u +,u 0)的审敛法莱布尼兹定理:1234123f u u如果交错级数满足/Hmu ；0，那么级数收敛且其和s u，其余项：的绝对值|r |InnTunn+1绝对收敛与条件收敛：(1) u + u + u +，其中u为任意实数；12nn(2) |u I +

47、 |u I + |u I + + |u I + 123n如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数 如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。调和级数:工1发散，而攵敛； nn级数工丄收敛；n2p级数工丄+p 1时收敛幂级数：|x| 1时，发散对于级数(3)a + ax + a x2 + a xn +，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全012n/|x R时发散，其中R称为收敛半径。1 + x + x2 + x3 HF Xn HnxlX = R时不定求收敛半径的方法：设limnsan+4-an=p，其中a， ann H1p丰0时，R =丄是(3)的系数，贝旺p= 0时，R

48、 = +s:p = +x 时，R = 0函数展开成幂级数：余项：R = f (皿)n(n +1)!(x x )n+1,f (x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limR = 0n nT8x = 0时即为麦克劳林公式：f(x) = f(0) + f(0)x + 口0x2 + + f(n)(0) 0 2!一些函数展开成幂级数：m(m1)m(m1)(mn+1)(1 + x) m = 1 + mx +x 2 +xn + 2!xn Fn!n!(-1 x 1)x3x5sin x = x +3!5!欧拉公式：F ( 1)x2n1n1 F(8 x +8)(2n 1)!e ix F e ixcos x =eix 二 cos x + i sin x.eix eixsin x = 2三角级数：f (t) A + A sin(net + 申)+ 艺(a cosnx +b sinnx)0nn 2nnn=1n=1其中，a = aA , a = A sin申,b = A cos申,et = x。00 nnn nnn正交性：1, sin x, cos x, sin 2 x, cos 2 x sin nx, cos nx任意两个不同项的乘积在-兀,兀 上的积分=0。傅立叶级数： f (x)=冬 + 区(a cosnx+b2nnn=1=丄 f f (x) cos nxdx兀兀=丄 f f (x)sinnx