第三章正弦交流电路

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1、3-2周期 交流电量 的有 效值设有一个直流电流I,通过同一电阻R，一个周期时间内消耗的电能为W = 12RxT。若二者一周期内消耗的电能相等，则有12R x T = RJ Ti2dt0即I丄 J Ti（t）2dt（ 3-2-1）T o式中，I称为周期交流电流i （t）的有效值，它等于瞬时值i （t）的平方在一个周期内的平均值 再取平方根，因此有效值又称为均方根值。从物理意义上讲，周期电流的有效值是从功耗 相等的观点来衡量一个周期电流的大小。它把交流电流等效成一个相应的直流电流。当这 一直流电流通过同一电阻时， 在一个周期时间内产生与交流电流同样的电能消耗。对于周期性变化的电压u （t），它的

2、有效值U也有类似的定义，即U = Ju（t）2dt（ 3-2-2）o当周期性电流为正弦电流时， 设i = I sin（e t +屮）m把电流代入式（ 3-2-1 ）， 得占 J：的2t +屮)dt =莖 JT 1Ze t +不0Im3-2-3)可见正弦电流的有效值等于最大值Im除以、厅。 类似地可以得到正弦电压的最大值与它的有效值之间的关系U = *（ 3-2-4）这样， 我们可以把式（3-1-1 ） 重新表示成i = ：2 I sint +屮）（3-2-5）式中，I为正弦交流电流的有效值。电气工程上一般所说的正弦电压电流的大小都是指它们的有效值。通常所说的单相交 流电压为 220V， 电流为

3、 10A 等， 都是指正弦交流电的有效值。 一般工程上的电气测量仪 表所指的值也大都是指有效值。3-3正弦 交流 电 量的 相 量 表 示正弦量除了用波形和瞬时表达式来表示以外，利用欧拉公式还可以表示成复指数的形 式。一个正弦交流电流i = 72 I sin（外屮，）可以表示为复指数形式i = 2 I sint +屮）=Im&2 IejVejrot （ 3-3-1 ）方括号内是一个复数，符号Im表示取复数的虚部。复指数的模即为正弦函数的幅值2 I,0+1图 3-3-1幅角为正弦函数的相位t +V，它随时间以角度增长。若把复数J2 IeNeJ在复平面上 的对应点与原点之间用一带箭头的有向线段相连

4、， 如图 3-3-1 所示， 则可得到一个幅角随 时间变化的旋转矢量。这条用来表示正弦函数的矢量称为正弦量的相量。相量在复平面上 的图形称为相量图。图中画出了该相量在t = 0和t = ti时的位置。当t = 0时，该相量与实轴 夹角为正弦函数的初始相位角V。该相量以角速度随时间向逆时针方向旋转，当t = ti时 刻，相量转到图中虚线所示位置。此时与实轴夹角为 t1 +V。由图可以看出，该相量在虚 轴上的投影长度等于*21 sin（t +V，）即等于对应的正弦函数在该时刻的瞬时值。在用复平面上的相量表示正弦函数时，只要确定其初相位时的相量即可，即相当于取 t = 0时的复指数函数空2 Ie j

5、V。实际的正弦时间函数只要把该复数乘以e阿，再取其虚部就 可以得到。 在电工计算中， 复数中的模一般取为正弦量的有效值， 即可以把复数表示为 Ie V，这里I为有效值，V为初相角。这样我们可以把式（3-1-1）的正弦交流电流表示成 相量形式为I = IeV（ 3-2-2）3-2-3)或I = I Zv掌握正弦函数的瞬时值表达式，相量表示图形和复数表达式，并理解它们之间的内在转换 关系和意义， 是稳态正弦交流电路中相量计算的基础。下面来讨论两个同频率正弦量的计算问题。 对于图 3-3-2 所示的电路， 若已知两条支路中 的电流为sin（rot +V1）i2 =42 12 sin（ t +V 2）

6、由前面分析得i = 1 + Ji = i + i12=Im 迈I ejv1e+ Im迈 I e j2e1 -11-2=Im42 (11 + 12 )e jt = Im=、2 I sin(t +屮)这里I = IZ屮=I1 +12( 3-3-4 )丄Z/由上式可知，要计算合成电流i只要知道合成电流的相量I即可，于是两个同频率的正弦 电流相加问题，就转化成这两个正弦电流对应的相量的相加问题，即把三角函数的相加转 化为两个复数的相加运算。量、我们还可以在相量图上直观地来分析两个正弦量的相量相加的意义。电流i 1与i2的相当t = 0时相量处于初始位置。按两个相量相加的平行四边形法则，作I与I2的合成

7、相 量I，如图3-3-3b所示。由图可见I在虚轴上的投影即为与12相量在虚轴上的投影值之 和，合成相量I在虚轴上的投影即为+的瞬时值。经过时刻t1，相量与12都沿着逆时1 2 1 1 2针方向旋转了t1角度，如图3-3-3a所示，由于I1与I2的相对位置没有变化，因此其合成 相量I的长度也没有变化。与t = 0时刻相比，I也逆时针旋转了t1相角。此时I与I2在虚 轴上的投影值之和仍等于合成相量在虚轴上的投影。在任意时刻都可以用合成相量I在虚 轴的投影来表示I与I2的投影之和。相量在虚轴的投影即为该相量对应的正弦函数的瞬时 值，这样两个正弦函数瞬时值相加之和就等于合成相量所表示的正弦函数瞬时值，

8、从而把 三角函数运算变成为相量相加减的复数运算。 必须指出， 只有同频率的 正弦量才可以进行相量运算。图 3-3-4例 3-3-1 在图 3-3-4 中，已知 u =42x40 sine t, u = J2 x30sint + 90)，试求总电压ou的值。解：根据基尔霍夫定律有u =气+ u2 ,用相量来表示则U = U + U2,已知U = 4 0/ 0 V1 2 1 _OU2 = 30/90 V，则可求得OU = U + U = 40/0 V + 30/90 V = (40 + j30)V = 50/36.9 V1 2总电压u的瞬时表达式为u = 、I2 x 50 sin(e t + 36

9、.9 )V3-4正弦交流电路中的电阻 元件电阻元件两端的电压与通过它的电流之间关系受欧姆定律约束。当正弦电流流过电阻R 时， 如图 3-4-1 所示， 选定电压与电流的参考方向一致， 则根据欧姆定律有 u = iR（ 3-4-1 ）若选电流i为参考正弦量，则i =I sinet，代入上式有u = 丫2 IR sinet = i 2 U sinet图 3-4-1电阻的电流为正弦函数时， 电阻上的电压是与电流同频率的正弦量。 电流与电压同相位 它们的有效值也服从欧姆定律， 即U = IR（ 3-4-2 ）3-4-3 )如果用相量形式来表示， 则有U = IR上式是复数形式的欧姆定律表达式。该式同时

10、表述了电阻元件上正弦电压与电流之间的相 位关系和有效值关系 。根据式（ 3-4-3 ），可 画出电压、电流的相 量图，如图 3-4-1 所 示 。3-5正弦交流电路中的电感元件线性非时变电感元件是电路中一种重要和基本的元件，在实际电路中经常遇到由导线3-5-1 )绕制而成的电感线圈。当电流通过自感为 L 的线性电感元件时，若取电感元件两端电压与 电流的参考方向一致， 如图 3-5-1 所示， 则由楞次定律知， 电流与电压之间的关系式为 d屮diu = LLdtdt式中，L为电感值，单位为亨利（H）。图 3-5-1当通过电感的电流为正弦交流电流时，即i = 迈I sin o t,代入上式可得电感

11、元件两端的电压为u = L -= ：2 Io L sin(o t + 90 ) Ldt3-5-2 )=：2 U sin(o t + 90 )Lo由上式可见，电感端电压u是与i同频率的正弦量，电压知的相位超前电流iL 1周期，即LLLL 4兀rad 或 90。2从式（3-5-2 ）可得， 电感电流的有效值 I 与电感端电压的有效值之间有关系式3-5-3 )LU =oLILL式中，o L叫做电感线圈的自感电抗，简称感抗，它和电阻具有相同的量纲。当电感L的单位取H,角频率o的单位取rad/时，感抗的单位为O。感抗一般用字母X表示，即L3-5-4 )X l = l = o L = 2冗 fLIL例3-

12、5-1 一个电阻可忽略的线圈，其电感数值为L = 31.8x 10-3H，设流过电流i = 42 sin（o t - 60 ）A，频率f = 50Hz问线圈电压u为多少？若电流频率f = 5000Hz，重求L线圈端电压 u 。L解：设电流相量I = 1Z -60 A 当频率f = 50Hz时，感抗OX lL = 2兀 fL = 314 x 31.8 x 10-3 0 = 100由 式 3-5-5 可 得 电 压 向 量U = jX I = 10Z30 V_LL。则有 u =42x 10 sin( +30 )VLo当频率 f = 5000H 时,感抗 X = 2k fL = 3140X 31.x

13、8 -310=100 电压向量LU = jX I = 1000Z30 V ,电压瞬时式 u =41 x 1000 siW 什30)VLLL3-6正弦交流电路中的电容 元件线性非时变电容元件C两端加上交流电压u时，电容中就将有电流i流过。若取电容CC元件支路iC的参考方向与电压u的参考方向一致，如图3-6-1所示，则有CC3-6-1 )i =虬C虬C dtdt当所施加的电压为正弦交流电压u =迈UC sin（t- 90时，电容电流为CCduti = Cc2 oCU cos(ot-90 ) CdtC3-6-2 )=2 I s iant ()c丿电 容 元 件 上 的 电 压 与 电 流 的 变 化

14、波形 见 图 3-6-1 。图 3-6-1由上分析可得，电容上电压uC与电流iC为同频率的正弦量，电流iC在相位上超前电压 uC90 。 从波形图上可看出， 当电容电压过零值时， 电压的变化率最大， 此时流过电容的 C电流幅值达到最大振幅值。而当电容电压达到最大幅值时，其电压变化率为零，此时通过 电容的电流值也为零。类似于电感元件的情况，电容元件的电流与电压在某些时刻方向一 致， 而在另一些时刻方向则相反。由式（3-6-2）可见，电容元件中电流有效值I与电压有效值UC之间的关系为CC為1CCC3-6-3)式中XC二爲=爲，称为电容的电抗简称为容抗。当电容C的单位为法拉(F)，O的单位为rad/时，容抗的单位为Q ,与电阻的量纲相同。