立体几何知识点

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1、立体几何知识点一、空间几何体1. 多面体：由若干个多边形围成的几何体，叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.2. 棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。两个互相平行的面叫做底面,其余各面叫做侧面.3棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫 做棱锥。底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形的棱锥叫做正棱锥。正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心。4

2、棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。由正棱锥截得 的棱台叫做正棱台。正棱台的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；正棱台的两底面以及平行于底面的截 面是相似的正多边形5旋转体：由一个平面图形绕一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体，这条定直线叫做旋转 体的轴，6圆柱、圆锥、圆台：分别以矩形的一边、直角三角形的直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在 的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台。圆柱.圆锥.圆台的性质：平行于底面的截面都是圆；过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、 等腰三角形、等腰梯形。注：在处理圆锥、圆台的侧

3、面展开图问题时，经常用到弧长公 式l = a R7球:以半圆的直径为旋转轴，旋转一周所成的曲面叫做球面球面所围成的几何体叫做球体（简称 球）8 简单空间图形的三视图：一个投影面水平放置，叫做水平投影面，投影到这个平面内的图形叫 做俯视图。一个投影面放置在正前方，这个投影面叫做直立投影面，投影到这个平面内的图形叫做 主视图（正视图）。和直立、水平两个投影面都垂直的投影面叫做侧立投影面，通常把这个平面放在 直立投影面的右面，投影到这个平面内的图形叫做左视图（侧视图）。三视图的主视图、俯视图、左 视图分别是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形。（1）. 三视图画法规则

4、：高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐长对正：主视图与俯视图的长应对正宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等空间几何体三视图：正视图（从前向后的正投影） 侧视图（从左向右的正投影）；正视 乙侧视俯视图（从上向下正投影例题1.某四棱锥底面为直角梯形，1条侧棱与底面垂直，四棱锥的三视图如右图月i示1则其体积为例题2.右图是底面为正方形的四棱锥，其中棱PA垂直于底面，它的三视图正确的是（俯视A6)Va正前方图5空间几何体的直观图一一斜二测画法特点:斜二测坐标系的y轴与x轴正方向成45角;原来与X轴平行的线段仍然与X平行，长度不变;原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半.常用结论：平面图形面积

5、与其斜二侧直观图面积之比为2迈:1.例.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45 ,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是（）.C2+屮 2* 2D. 1+、：29特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，h为斜高，1为母线）：S圆台表C +讥+ Rl + R2）S球面=471R210. 柱体、锥体、台体和球的体积公式：11V -（S + TFF + S）hV 飞（S *SS + S）h 二丁 （r2 + rR + R2）hV = 4加台 3圆口 33球3例题3:已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图

6、（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形例4.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是（）A. 16kB. 20kC. 24兀D. 32n例 5半径为 R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为.练习：1 .已知一个几何体的三视图及其大小如图1,这个几何体的体积V =（.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据,可得该几何体的表面积是（）A . 32kb . 16kC. 12k d . 8k俯视图.某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（）A 20A. n3B6n10n34 . 一个几何体的三视图是三个边长为1

7、的正方形和对角线,如图所示，则此几何体的体积为（）115A. 6B. 3C. 6D . 15. 个空间几何体的三视图如图所示，根据图标出的尺寸，可得这个几何体的体积为（）A . 4B . 8C . 12D . 246. 若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示,则这个棱柱的体积为（）A. 12 朽B . 6 C. 27 朽 D. 36朽二、立体几何点 线 面的位置关系T 11 2T左视图A. 12kB. 16kC. 18kD. 64k1111 11中点，则以下结论中不成立的是（）A. EF与BB垂直B. EF与BD垂直1C. EF与CD异面D. EF与A C异面1 1例2已

8、矢U m,n是两条不同直线，a, p,y是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A.若m II a,n II a,则m II nB.若a 丄丫, P 丄丫,则a II pC.若m II a,m I P,则a II PD.若m 丄a,n 丄 a,则m II n练习：1 设直线m与平面a相交但不垂直，则下列说法中正确的是（）A.在平面a内有且只有一条直线与直线m垂直 B.过直线m有且只有一个平面与平面a垂直C.与直线m垂直的直线不可能与平面a平行D.与直线m平行的平面不可能与平面a垂直2设a, b为两条直线,a， p为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A.若a b与a所成的角相等，则a bB

9、.若a /a , b p , a p，则 a bC.若 a ua , b up , a b，则 a pD.若a丄a , b丄p , a丄p，则a丄b3给出下列四个命题： 垂直于同一直线的两条直线互相平行. 垂直于同一平面的两个平面互相平行. 若直线l,l与同一平面所成的角相等，则l,l互相平行.1 2 1 2 若直线l,l是异面直线，则与l,l都相交的两条直线是异面直线.1 2 1 2其中假命题的个数是()(A)1 (B)2 (C)3 (D)44设a、p、y为平面，m、n、l为直线，则m丄0的一个充分条件是()(A) a 丄 0二l,m丄l(B) acy 二m,a 丄y,0 丄y(C) a 丄

10、 y, 0 丄 y, m 丄 a(D) n 丄 a,n 丄 0,m 丄 a5. 设m、n是不同的直线,a、0、y是不同的平面，有以下四个命题： 若a / 0, a / y,则0 / y若a丄0 , m /a，则m丄0 若m丄a,m/ 0，则a丄0若m/n, n ua ,则m/a其中真命题的序- 号是()A.B.C.D.三、线线平行的判断：(1) 三角形中位线定理；(2) 构造平行四边形，其对边平行；(3) 对应线段成比例，两直线平行；(4) 平行于同一直线的两直线平行；(平行的传递性)(5) 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；(线面平行的性质

11、)(6) 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，所得交线平行；(面面平行的性质)(7) 垂直于同一平面的两直线平行；(线面垂直的性质)线面平行的判断：(1) 如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。(2) 两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。例1、(三角形中位线定理)如图，在正方体ABCD - ABCD中，E是AA的中点，求证：AC/平1 1 1 1 1 1面 BDE 。D1连接O，/-E；J1才、/ | 八礼/丄亠证明：连接AC交BD于O,E为AA的中点，O为AC的中点1EO为三角形A AC的中位线EO / AC11又EO在平面BDE内，AC

12、在平面BDE外1AC/平面BDEo1例2、(证明是平行四边形)已知正方体ABCD-ABCD , O是底ABCD对角线的交点求证：CO1 1 1 1 1面 ABD ;i i证明：（1）连结AC，设AiCi cBiD广Oi，连结AO1 1 1.ABCD - ABCD是正方体 /. A ACC是平行四边形1111 1 1.AC /AC 且 AC 二 ACi i11又O , O分别是AC , AC的中点，0C /AO且OC二AO111i i11AOCO 是平行四边形C1OAO1，AO1 u 面 ABD , CO 农面 ABD .CO 面 ABD1111111i113、面面平行的判断：(i)个平面内的两

13、条相交直线分别平行于月一个平面，这两个平面平行。(2)垂直于同一条直线的两个平面平行。例4、如图，在正方体ABCD - ABCD中，E、F、G分别是1111AB、AD、CD的中点求证：平面DEF 平面BDG.1 1 1证明：E、F分别是AB、AD的中点，EF II BD又EF平面BDG, BD u平面BDG . EF 平面BDGDG空EB 四边形DGBE为平行四边形1 1,DE II GB1又 DE 农平面 BDG, GB u 平面 BDG DE 平面 BDG EF c D1E 二 E , 平面 DEF 平面 BDG1 1 1练习：1、(利用三角形中位线)如图，已知四棱锥P - ABCD的底精

14、心整理D面ABCD是菱形，PA丄平面ABCD,点F为PC的中点.求证：PA/平面BDF ;2、（构造平行四边形）如图，在三棱柱ABC - ABC中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点,1113、E为侧棱CC的中点，求证：CD 平面AEB ;1 1 A （线面平行的性质）如图，四面体ABCD被一平面所截，截面EFGH求证：CD平面EFGH（1）证明：截面EFGH是一个矩形,EFGH, 又GH?平面BCD.EF 面BCD,而EF?面ACD,面 ACDn 面 BCD=CD.EFCD, A CD 平面EFGHBEEDBCCD4（对应线段成比例，两直线平行，面面平行得到线面平行）如下图设p为长方形A

15、BCD所在平面外一点，m、n分别为ab、pd上的点且MB=dn求证：直线MN平面PBC。分析：要证直线MN平面PBC,只需证明MN平面PBC内的一条直线或MN所在的某个平面平面PBC证法一：过N作NRDC交PC于点R,连结RB,依题意得DC NR = DN = AM = AB - MB = DC MB = NR二MB,NR NP MB MBMBNRDCAB, A四边形MNRB是平行四边形A MN RB.又. RB 平面PBC, A直线MN 平面PBC证法二：过N作NQAD交PA于点Q,连结QM,am=dn = aq ,QMPB 又 NQADBC, A 平面 MQN平面 PBC 直线 MN平面

16、PBCMB NP QP棱AB、PD的中点.求证：AF/平面PCE;CB如CB5、（中位线定理、平行四边形）如图，四棱锥P - ABCD的底面是平行四边形，点E、F分 别为分析：取PC的中点G,连EG., FG,则易证AEGF是平行四边形BC的中点。求证：EF/面ADCo6、（平行的传递性）已知正方体ABCD-A、B、C、D中，E, F分别是A、B、,四、立体几何垂直总结1、线线垂直的判断：线面垂直的定义：若直线垂直于一平面，这条直线垂直于平精心整理/C补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。2、线面垂直的判断：（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直

17、于这个平面。（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。4）如果两个平面垂直，那么在个平面内垂直于交线的直线必垂直于另个平面3、面面垂直的判断：一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。证明线线垂直的常用方法:例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形ABCD中，BC二AC, AD二BD , E是AB的中点。求证：（1） AB丄平面CDE;（2）平面CDE丄平面ABC。A证明：BC = ACAE = BEn CE 丄 AB AD = BD、 同理，AE = BE又CE c DE = E（

18、2）由（1）有AB丄平面CDE又 AB匸平面ABC,CDAB丄平面CDEB平面CDE丄平面ABC例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形.PB = PD , E为PA的中点.（I）求证：PC /平面BDE ; （II）求证：平面PAC丄平面BDE .例3、（线线、线面垂直相互转化）已知AABC中ZACB二90 , SA丄面ABC, AD丄SC，求证：AD丄B是圆O的直径，C是圆O的圆周上异于A、B的任意一点，且图2PA = AC，点E是线段PC的中点求证：AE丄平面PBC证明： PA丄口 O所在平面，BC是口 O的弦，BC丄PAC又 AB是口 O的直

19、径，ZACB是直径所对的圆周角，BC丄AC PApAC = A, PA u 平面 PAC , AC u 平面 PAC BC丄平面PAC , AEu平面PAC，： AE丄BC PA = AC，点E是线段PC的中点AE丄PC PCBC = C, PC u平面 PBC , BC u平面 PBC AE丄平面PBC例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，ABCD, ZDAB=60 , AE 丄 BD，CB = CD = CF. 求证：BD 丄平面 AED；证明 因为四边形ABCD是等腰梯形，ABCD , ZDAB = 60,所以ZADC= ZBCD 二 120.又 CB

20、 二 CD ,所以ZCDB 二 30,因此ZADB = 90,即 AD丄BD.又 AE丄BD，且 AEQAD 二 A , AE , AD?平面 AED ,所以BD丄平面AED.例6、（勾股定理的逆定理）如图7-7-5所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，AABC为等腰 直角三角形，ZBAC = 90。，且AB=AA, D、E、F分别为BJ、CQ、BC的中点.求证：（1）DE平面ABC; （2）B/丄平面AEF.例7、（三垂线定理）证明：在正方体ABCD-ABCD 中, AC丄平面BCDi证明：连结ACBD丄AC .I AC为AC在平面AC上的射影练习；1、如图在三棱锥PABC中，AB=AC,

21、 D为BC的中点，PO丄平面ABC,垂足O落在线段AD上证明：AP丄BC;PAD三棱锥 EABD 的侧面积.= AD .求证：(1)CD丄PD；EF丄平面PCD./ ;3 .如图，平行四边形 ABCD 中，ZDAB = 60, AB = 2, AD = 4.将ACBD 沿BD折起到AEBD的位置，使平面EBD丄平面ABD.(l)求证：AB丄DE;求 內4、在正二棱柱ABC - ABC中，若AB=2, AA = 1，求点1 1 1 1A到平面A BC的距离。15、如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点,五、直线与方程 直线的倾斜角定义

22、：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为 0度。因此，倾斜角的取值范围是0 0 ; 当。,180。丿时，k 0时，方程表示圆，此时圆心为P + E2 -4F半径为当D + E2 - 4F=0时，表示一个点；当D +E2 -4F o l与 C 相离:y,A2 + B2d = r o l与C相切；d r o l与C相交表示切点坐标，r表示半(2 )设直线l : Ax + By + C = 0，圆C : (x - a )2 +(y - b )2 = r 2，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别 式为A，则有 注：如

23、果圆心的位置在原点，可使用公式xx + yy = r 2去解直线与圆相切的问题，0 0 “径。(3)过圆上一点的切线方程：圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0, y0)，则过此点的切线方程为xx + yy = r2 (课本命题).圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0, y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y；-b)(y-b)=匕(课本命题的推广).4、圆与圆的位关系：通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d )之间的大小比较来确定。设圆 C : C-a + J-b = r2 , C : (x 一 a+(y - b=R21 1 1 2 2 2两圆的位置关系常通过两圆

24、半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。当d R + r时两圆夕漓，此时有公切线四条;当d = R + r时两圆夕沏，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条;当 R - r d R + r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条夕公切线；当d = R 一 r时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当d 3B.二 k 2或k 二 D. k 24 447 与直线7 x + 24 y二5平行，并且距离等于3的直线方程是&点P (1,-1)到直线x y +1 = 0的距离是.9 点P (x, y)在直线x + y 一 4二0上，则x2 + y2的最小值是-10 求经过直线l ：

25、2x + 3y 一 5 = 0, l :3x 一 2y 一 3 = 0的交点且平行于直线2x + y - 3二01 2的直线方程。1 口 C:(x + 4)2 + (y-2)2二9的圆心坐标与半径分别为()(A) (4,2), 9(B) (-4,2) , 3(C) (4, -2), 3(D)(-4,2) , 92 圆心为(3,-4)且与直线3x- 4y -5二0相切的圆的方程为()3 圆(x - 3)2 + (y + 2)2二13的周长和面积分别为()4 若点(1,2)在圆(x - 2)2 + (y +1)2二m的内部，则实数m的取值范围是()5自点A（-1,4）作圆（x- 2）2 + （y

26、- 3）2二1的切线，则切线长为（）6.圆x2 + y2 - 2x - 2 y +1二0上的点到直线x - y二2的距离最大值是（）A 2 B 1 + 込 C 1 + 2 D 1 + 2 巨7 已知两圆方程为x 2 + y2 + 2 x+8 y - 8 = 0,x 2 + y2 - 4 x - 4 y -1 = 0，则两圆的位置关系是A 内切 B 外切 C 相交 D 相离8求直线2x - y -1 = 0被圆 x2 + y2 2 y 1 = 0所截得的弦长9 已知两圆 x2 + y2 10 x 10 y = 0, x2 + y2 + 6 x 2 y 40 = 0，求（1）它们的公共弦所在直线的方程；（2）公共弦长