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1、数学教案下学期 4，4 同角三角函数的根本关系式 同角三角函数的根本关系式 教学目标： 1。掌握同角三角函数之间的三组常用关系，平方关系、商数关系、倒数关系。 2。会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值或化简三角式。教学重点： 理解并掌握同角三角函数关系式。教学难点： 某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择； 教学用具： 直尺、投影仪。教学步骤： 1。设置情境 与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化。2。探索研究 1复习任意角三角函数定义 上节课我们已学习了任意角三角函数定义，如图1
2、所示，任意角 的六个三角函数是如何定义的呢？ 在 的终边上任取一点 ，它与原点的距离是 ，那么角 的六个三角函数的值是： ； ； ； ； 2推导同角三角函数关系式 观察 及 ，当 时，有何关系？ 当 且 时 、 及 有没有商数关系？ 通过计算发现 与 互为倒数： 。 由于 ， 这些三角函数中还存在平方关系，请计算 的值。 由三角函数定义我们可以看到： 。 ，现在我们将同角三角函数的根本关系式总结如下： 平方关系： 商数关系： 倒数关系： 即同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角 的正切，同一个角的正切、余切之积等于1即同一个角的正切、余切互为倒数。上面这三个关系式，我们称之为恒等式，即
3、当 取使关系式两边都有意义的任意值时，关系式两边的值相等，在第二个式中， 在第三个式中， 的终边不在坐标轴上，这时式中两边都有意义，以后解题时，如果没有特别说明，一般都把关系式看成是意义的。其次，在利用同角三角函数的根本关系式时，要注意其前提“同角的条件。3同角三角函数关系式的应用 同角三角函数关系式十分重要，应用广泛，其中一个重要应用是根据一个角的某一个三角函数，求出这个角的其他三角函数值。【例1】 ，且 是第二象限角，求 ， ， 的值。解： ，且 ， 是第二或第三象限角。 如果 是第二象限角，那么 如果 是第三象限角，那么 ， 说明：此题没有具体指出 是第几象限的角，那么必须由 的函数值决
4、定 可能是哪几象限的角，再分象限加以讨论。 【例2】 ，求 的值。 解： ，且 ， 是第二或第三象限角。 如果 是第二象限角，那么 如果 是第三象限角，那么 。 说明：此题没有具体指出 是第几象限角，那么必须由 的函数值决定 可能是哪几象限的角，再分象限加以讨论。 【例3】 为非零实数，用 表示 ， 。 解：因为 ，所以 又因为 ，所以于是 由 为非零实数，可知角 的终边不在坐标轴上，考虑 的符号分第一、第四象限及第二、三象限，从而： 在三角求值过程中应尽量防止开方运算，在不可防止时，先计算与函数有平方关系的三角函数，这样可只进行一次开方运算，并可只进行一次符号说明。 同角三角函数关系式还经常
5、用于化简三角函数式，请看例4 【例4】化简以下各式： 1 ；2 。 解：1 2 3。演练反响投影1： ，求 的其他各三角函数值。2 ，求 ， 。3化简： 解答：1解： ，所以 是第二、第三象限的角。 如果 是第二象限的角，那么： 又 如果 是第三象限的角，那么 2解： 是第二或第四象限的角由【例3】的求法可知当 是第二象限时 当 是第四象限时 3解：原式 4。本课小结 1同角三角函数的三组关系式的前提是“同角，因此 ， 。 2诸如 ， ，它们都是条件等式，即它们成立的前提是表达式有意义。 3利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论。课时作业：1。 ， ，那么 等于 A。 B。 C。 D。 2。假设 ，那么 的值是 A。2 B。2 C。2 D。 3。化简 4。化简 ，其中 为第二象限角。5。 ，求 的值。6。 是三角形的内角， ，求 值。参考答案：1。D； 2。B； 3。1； 4。 ； 5。3； 6。 注：4。略解：原式 在第二象限 。6。略解： 由 ，平方得， ， 是三角形内角 只有 ， 由 及 ，联立，得： ， ，
数学教案下学期 44 同角三角函数的基本关系式
