统计量与抽样分布

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1、统计量与抽样分布第四章 统计量与抽样分布统计量与抽样分布4.1 总体和样本的统计分布p1.总体分布和样本性质 总体总体 研究对象全体元素组成的集合 所研究的对象的某个(或某些)数量指标的全体,它是一个随机变量(或多维随机变量).记为X.统计量与抽样分布即总体的每个数量指标,可看作随机变量 X 的某个取值.用 表示.iX样本样本 从总体中抽取的部分个体.称 为总体 X 的一个容量为n的样本观测值,或称样本的一个实现.),(21nxxx),(21nXXX用 表示,n 为样本容量.样本空间样本空间 样本所有可能取值的集合.统计量与抽样分布若总体 X 的样本 满足:),(21nXXX一般,对有限总体,

2、放回抽样所得到的样本为简单随机样本,但使用不方便,常用不放回抽样代替.nXXX,21(1)与X 有相同的分布nXXX,21(2)相互独立),(21nXXX则称 为简单随机样本.简单随机样本简单随机样本统计量与抽样分布设总体 X 的分布函数为F(x),则样本niinxFxxxF121)(),(总若总体X 的密 d.f.为 f(x),则样本niinxfxxxf121)(),(总的联合 d.f.为),(21nXXX的联合分布函数为统计量与抽样分布例如例如 设某批产品共有N 个,其中的次品数为M,其次品率为 NMp/若 p 是未知的,则可用抽样方法来估计它.所取的产品不是次品所取的产品是次品,0,1X

3、X 服从参数为p 的0-1分布,可用如下表示方法:1,0,)1(),(1xpppxfxx从这批产品中任取一个产品,用随机变量X来描述它是否是次品:统计量与抽样分布设有放回地抽取一个容量为 n 的样本),(21nXXX),(21nXXX的联合分布为niiniixnxniinppxfxxxf11)1()(),(121总),(21nxxx其样本值为,2,1,1,0),(21nixxxxin样本空间为统计量与抽样分布设 是取自总体X 的一个样本,),(21nXXX),(21nrrrg),(21nxxxg为一实值连续函数,且不含有未知参数,),(21nXXXg则称随机变量为统计量统计量.),(21nxx

4、x若是一个样本值,称),(21nXXXg的一个样本值为统计量定义定义4.2 统计量统计量统计量与抽样分布例例 是未知参数,22,),(NX若 ,已知,则为统计量是一样本,),(21nXXXniiniiXXnSXnX122111,1是统计量,其中),(2NXi则但niiX1221不是统计量.统计量与抽样分布常用的统计量常用的统计量niiXnX11)1(为样本均值样本均值niiXXnS12211)2(为样本方差样本方差niiXXnS1211为样本标准差样本标准差),(21nXXX设是来自总体 X 的容量为 n 的样本,称统计量统计量与抽样分布nikikXnA11)3(为样本的k 阶原点矩原点矩ni

5、kikXXnB11)4(为样本的k 阶中心矩中心矩例如21222111nniiSXXnSnnBXA统计量与抽样分布顺序统计量顺序统计量设),(21nXXX为样本,),(21nxxx为样本值,且*2*1nxxx当),(21nXXX取值为),(21nxxx时,定义 r.v.nkxXkk,2,1,*)(则称统计量)()2()1(,nXXX为顺序统计量顺序统计量.其中,max,min1)(1)1(knknknkXXXX称)1()(XXDnn为极差极差统计量与抽样分布11()()nkkiiE AE Xn()(1,2,)kkE Xk11()(1,2,)nkkiE Xkn12 ,nXXX12 ,kkknXX

6、XkX11,nkikkiPAXnn 1212(,)(,),kkPg A AAgn 1,2,k12,nX XX)(xFXkg统计量与抽样分布X12,nXXXX222(),(),()E XD XE Sn11()()niiE XEXn11()niiE Xn11()()niiD XDXn211()niiD Xn2n2 (1)nS2(),()E XD X21()()niiXX21()niiXX2211()2()()()nniiiiXXXnX221()()niiXn X2221()2()()niiXn Xn X2221 (1)()()()niinE SE XnE X221ninn2(1)n22 ()E S

7、统计量与抽样分布11niiXXn2211()1niiSXXn12,nX XX12,nX XX12,nX XX12,nX XX统计量与抽样分布4.3 抽样分布12,nX XX12(,)ng X XX2,t,F统计量与抽样分布0 ,0 0,)2/(21)(2/12/2/yyeynyfynn222212nXXX3 2 1 O6 5 49 8 721 11 0151 41 3101.002.003.004.0y)(yf1n2 n4n6n11n2)1 ,0 (NX12,nX XX2222.()nn210()(0)xz zxe dxz22221212()nn22221122(),(),nn2212,222

8、21212()kknnn22(),1,2,iinik22212,k222212nYYY122212nXXX122212nXXX222212nYYY22(),n22(),()2En Dn12r.v,nXXXn)1,0(N222212nXXX221()()niiXEE21()niiE X1()niiD X11nin21()nD X42211()()n E XE X2421(1)2xnxedxnn2)13(221()()niiDD X2统计量与抽样分布()()fxf x()0 (0)fxx()0 (0)fxx (0,1)N/XtY nt,X Y2(0,1),(),XNYntt.()tt nnt 2(

9、1)/2(1)/2()1+,(/2)nnxf xxnn n lim()0 xf xO1x()fx234512345)2(t)9(t)1,0(Nlim()0 xf x22xe()n ()n 1222 (1)lim()2xnfexxn()(0,1)(45)t nNn统计量与抽样分布12/nUFnVF,U V2212(),(),UnVnFF12.(,)FF n n12(,)n nF()f x112121212/2/21212212()/2,0(/2)(/2)()nnnnnnnxnnx n nn xn0 ,0 x()fxO0.1x0.2)4,10(F)50,10(FF 12(,),FF n n211(

10、,)F nnFF 统计量与抽样分布2.抽样分布定理2(,)XN 12,nX XX2,2,12(,)ng XXX?12(,)ng XXX统计量与抽样分布),(2NX12,nXXX2(,)XNn121()nXXXXn2(,)N 12 ,nXXX2(),()E XD Xn2 (,)XNn统计量与抽样分布),(2NX12,nXXX2,X S222(1)(1)nSn2,X S2221 (1)()()niinSXn X2 2 2 221/niiXXn22221(1)/niinSXXn2 (,)XNn(0,1)/XNn2 /Xn2(1)(0,1)iXN21 niiX2()n2()n2(1)2(1)n统计量与

11、抽样分布),(2NX12,nXXX2,X S)1(/ntnSX)1 ,0 (/NnXY 2222(1),(1)nSn Y2t2/YS n22/(1)/1XnnSn/XSn(1)t n222(1)(1)nSn2222(1)(1)1,2(1)nSnSEnDn42222 (),()1E SD Sn2S22S2)1 ,0 (/NnX)1(/ntnSX,统计量与抽样分布211(,)XN 112,nXXX222(,)YN 212,nY YY2212,.X Y SS2221,SS211121222222(1)(1)(1)(1)nSnnSn22112222/SS12(1,1)F nn2211122222/(1

12、,1)/SF nnS22112222122212(1)(1)(1),(1)nSnSnn统计量与抽样分布21(,)XN 112,nXXX22(,)YN 212,nY YY2212,.X Y SS121212()()(2)11XYt nnSnn2211222212(1)(1),2nSnSSSSnn.221212 (,),(,)XNYNnn,X Y221221 (,)XYNnn12()()(0,1)XYN2111 nn221122221222(1)(1)(1),(1)nSnSnn2212,SS2222112212212222(1)(1)(2)(2)nSnSnnSnnF12()()XY1211nn 1

13、2(2)t nn212122(2)/(2)nnSnn 1212()()11XYSnn统计量与抽样分布Oxy)(xfy ffdxxffXP)(f)(xf(),Xf x 01,f(0,1)Nz统计量与抽样分布fdxxffXP)(f)(xf(),Xf x 01,f(0,1)NzOz05.0z645.1265.164.195.0z05.0z645.1025.0z96.11z1zz统计量与抽样分布fdxxffXP)(f)(xf(),Xf x 01,f ()t n ()tnO()tn1()tn1()()tntn)6(05.0t9432.1)12(90.0t3562.1)12(1.0t)55(05.0t645.105.0 z221()(),()(45)2xf xentnzn 统计量与抽样分布fdxxffXP)(f)(xf(),Xf x 01,f12(,)F n n12(,)Fn nFO12,()nFn)12,5(05.0F11.3)25,2(1.0F)10,6(95.0F53.2)6,10(105.0F0.24606.4112(,)FF n n121(,)FF n n),(1),(12121nnFnnF