数学物理方法09级考试要求

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1、整理课件2010.6.1709-10年第二学期数学物理方程年第二学期数学物理方程 复习大纲复习大纲整理课件第一章第一章 定解问题定解问题初始条件初始条件边界条件边界条件定解条件定解条件稳定场方程稳定场方程热传导方程热传导方程波动方程波动方程泛定方程泛定方程整理课件（1）三类泛定方程）三类泛定方程222)(xx,tua 22),(ttxu 一维波动方程一维波动方程 222xuatu一维热传导方程一维热传导方程.022222 yuxuu二维二维laplace方程方程整理课件初始时刻的温度分布：初始时刻的温度分布：B B、热传导方程的初始条件、热传导方程的初始条件0(,)|()tu M tMC C、

2、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件不含初始条件，只含边界条件条件不含初始条件，只含边界条件条件00|()()ttuxuxtA A、波动方程的初始条件波动方程的初始条件（2）三类方程的初始条件）三类方程的初始条件整理课件第一类，第一类，直接给出物理量在边界上的分布：直接给出物理量在边界上的分布：.),(|),(tMftMuM ,),(n tMfu 其中其中 n 为边界的法线方向。为边界的法线方向。第二类，第二类，给出物理量的梯度在边界上的分布：给出物理量的梯度在边界上的分布：,0)(xunu第三类，第三类，给出物理量及其边界上法线方向导数的给出物理量及其边界上法线

3、方向导数的线性关系线性关系（3）三类边界条件）三类边界条件整理课件(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。A、波动方程的边界条件(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：0|0,xu(,)0u a t 或：0 x auTx0 x aux(,)0 xu a t(3)弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。x ax auTkux 或0 x auux整理课件B、热传导方程的边界条件(1)给定温度在边界上的值|sufS给定区域v 的边界(2)绝热状态0sun(3)热交换状态牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比

4、。11()d dd dudQk uuS tkS tn 交换系数；周围介质的温度1k1u1SSuuun1kk第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件整理课件2.能认出不同维数，不同坐标系（直角坐标，极坐标，能认出不同维数，不同坐标系（直角坐标，极坐标，柱坐标，球坐标）中各类方程柱坐标，球坐标）中各类方程 .cos ,0|)(0 11 0 22222 Euuauuua二维极坐标系圆二维极坐标系圆盘外盘外laplacelaplace问题问题.0 ,0|,0|0 0022222byyyyaxxuuyAuuyuxuu二维直角坐标系二维直角坐标系矩形域矩形域laplacelaplace问问题题整理课件.

5、1|,0|,0|)0 (),(20 0 0 2buuuubuuautttbtt二维极坐标系下二维极坐标系下圆形薄膜振动问圆形薄膜振动问题题.|,0|,0|)0 ,0 (,00 20 uuuuhzauuuahzzzz三维柱坐标系下三维柱坐标系下laplacelaplace问题问题.),(|,0|)0 (),(0 0 2yxfuuubuuautbt二维极坐标系下二维极坐标系下圆盘热传导问题圆盘热传导问题轴对称整理课件三维球坐标系下三维球坐标系下laplacelaplace问题问题 .|),(|0sin1)(sinsin1)(102222222rarufuururrurrr整理课件第二章第二章 分离

6、变量法分离变量法处理的是两个自变量的函数（弦振动，杆上热处理的是两个自变量的函数（弦振动，杆上热传导，二维传导，二维Laplace方程）的定解问题方程）的定解问题整理课件定解问题选择合适的坐标系边界条件非齐次，转换为齐次边界条件非齐次方程，齐次边界条件齐次方程，齐次边界条件直接用驻波法非齐次方程，齐次定解条件固有函数法应用分离变量法求解定解问题的步骤整理课件用分离变量法求解定解问题包括以下几个基本步骤：用分离变量法求解定解问题包括以下几个基本步骤：1.1.将偏微问题通过分离变量化为常微问题将偏微问题通过分离变量化为常微问题2.2.确定特征值和特征函数确定特征值和特征函数3.3.求解其它常微分方

7、程，进而得到满足边值条求解其它常微分方程，进而得到满足边值条4.4.令级数解满足初始条件，以确定其它参数，令级数解满足初始条件，以确定其它参数，件的偏微分方程的级数解。件的偏微分方程的级数解。最终得到定解问题的解。最终得到定解问题的解。整理课件第三章第三章 二阶常微级数解法，本征值问题二阶常微级数解法，本征值问题0)()(yxqyxpy2.会求解本征值问题（本征值，本征函数）会求解本征值问题（本征值，本征函数）自自然然周周期期条条件件自自然然有有限限条条件件三三类类条条件件齐齐次次边边界界条条件件方方程程方方程程欧欧拉拉方方程程二二阶阶常常系系数数常常微微方方程程LegendreBessel不

8、要求整理课件 0)(222 yxyxyx .)()(xBYxAJy ,0)1(2)1(2 yllyxyx),()(1100 xyaxyay .)0(,ln000 mDCRDCRmmmmm .0)()()(22 RmRR整理课件第四，五章第四，五章 Bessel函数，函数，Legendre多项式多项式1.Bessel函数，函数，Legendre多项式性质的证明多项式性质的证明（递推性，正交性，模方）（递推性，正交性，模方）整理课件(1).原点处原点处)(xJm有有限值，有有限值，)(xYm无有限值。无有限值。nnnnnxxnxP1)(dd!21)(2(2).,)(d 1)(22112 Lnnnx

9、zzzi.)x(P)21(),(n212的的母母函函数数为为txttxw(3).(1)Bessel(1)Bessel函数，函数，LegenderLegender多项式初等性质多项式初等性质：整理课件(2)Bessel(2)Bessel函数满足如下函数满足如下递推公式：递推公式：1.;)()(dd1mmmmxxJxxJx 2.3.;)()()(1xxJxmJxxJmmm ;)()(dd1xJxxJxxmmmm 4.;)()()(1xxJxmJxxJmmm 5.;)()(2)(11xJxJxxmJmmm 6.)()(21)(11xJxJxJmmm 整理课件(3)Legendre 多项式满足如下递推

10、公式：多项式满足如下递推公式：1.0;)()()12()()1(11 xnPxPxnxPnnnn2.0;)()()(1 xPxPxxPnnnn3.0)()()(11 xPxxPxnPnnn4.)(1)(2)()(11xPnxPxPnnn 整理课件lklkJJblmkm,N0 d )()(m)k0 ，.)()(21)(22 222 2)(bJmbbJbNkmkkmmk .),1(22 ,0 d )()(1 1 knnknxxPxPkn(4)Bessel(4)Bessel函数，函数，Legendre 多项式模方正交性多项式模方正交性整理课件(5)(5)含含BesselBessel函数，函数，Leg

11、endre 多项式积分注意多项式积分注意 xxxJId )(01.)(1CxxJ xxJxId )(032 )(d12xxJx xxJxxJxd )(2)(1213.)(2)(2213CxJxxJx 012223334245351cos313cos1()22535cos3cos()2211()(35303)(35cos420cos29)86411()(637015)(63cos535cos330cos)8128PPxxP xxxP xP xxxP xxxx整理课件 .cos ,0|)(0 11 0 22222 Euuauuua二维极坐标系圆二维极坐标系圆盘外盘外laplacelaplace问题

12、问题.,欧拉方程欧拉方程关于关于二阶常微二阶常微关于关于整理课件.1|,0|,0|)0 (),(20 0 0 2buuuubuuautttbtt二维极坐标系下圆形薄二维极坐标系下圆形薄膜振动问题膜振动问题.|,0|,0|)0 ,0 (,00 20 uuuuhzauuuahzzzz三维柱坐标系下三维柱坐标系下laplacelaplace问题问题.),(|,0|)0 (),(0 0 2yxfuuubuuautbt二维极坐标系下圆盘热二维极坐标系下圆盘热传导问题传导问题.Bessel0方程，欧拉方程方程，欧拉方程阶的阶的为为关于关于整理课件三维球坐标系下三维球坐标系下laplacelaplace问题

13、问题 .|),(|0sin1)(sinsin1)(102222222rarufuururrurrr.Legenderxr方方程程为为关关于于为为欧欧拉拉方方程程，为为二二阶阶常常微微，关关于于关关于于整理课件4.会用分离变量法求解圆盘上的热传导，圆膜振动，会用分离变量法求解圆盘上的热传导，圆膜振动，柱面的稳定场等定解问题（采用极坐标系，柱坐标柱面的稳定场等定解问题（采用极坐标系，柱坐标系求解）系求解）注：注：球坐标系下轴对称问题可直接写通解球坐标系下轴对称问题可直接写通解3.将非标准方程通过简单变换化为标准型将非标准方程通过简单变换化为标准型(化标准化标准Bessel，化为，化为Legender)(cos)(),(0)1(nnnnnnPrBrAru 整理课件第六章第六章 行波法，积分变换法行波法，积分变换法注：注：用一维用一维DAlember公式求解公式求解daatxatxtxuatxatx)(21)()(21),(整理课件2.积分变换的定义及性质（积分变换的定义及性质（Fourier，Laplace）3.会用积分变换解定解问题前两步（变换到会用积分变换解定解问题前两步（变换到常微，求像函数），及求简单的原像（常数，常微，求像函数），及求简单的原像（常数，三角函数）。三角函数）。