第二讲绝对值

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1、第二讲绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式, 以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的 定义来解决这些问题.下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析.一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零.即a,务时；|a|=0,当 a = 0-a,当包CO时.绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关.在数轴上表示一 个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值.结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数.反之, 相反数的绝对值

2、相等也成立.由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负 数.例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？ I a+b I = I a I + I b I；(2) I ab I = I a II b I； (3) I a-b I = I b-a I；若 I a I =b，则 a=b；若 I a IvI b I,则 avb；若 ab，则 I a II b I.解 不对.当a，b同号或其中一个为0时成立.(2)对.(4) 不对.当a20时成立.(5) 不对.当b0时成立.(6) 不对当a+b0时成立.例2设有理数a,b,c在数轴上的对应点如图1-1所示,化简丨b-a I +

3、 I a+c I + I c-b I.* xcb o：=l燮1-1解 由图1-1可知，a0, bV0, cVO,且有I c II a II b I0.根据有理数加减运算的符号法则，有b-aVO, a+cVO, c-bVO.再根据绝对值的概念，得I b-a I =a-b, I a+c I =-(a+c), I c-b I =b-c.于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c.例 3 已知 xV-3，化简：I 3+ I 2- I 1+x III.分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号.解原式=I 3+ I 2+(1+x) II (

4、因为 1+xVO)=I 3+ I 3+x II=I 3-(3+x) I (因为 3+xVO)=I -x I =-x.例4若如 0,则占+二的所有可能值是什么？阖 |b| |u|解因为 abcHO,所以 aMO, bHO, cHO.(1) 当a, b, c均大于零时，原式=3；(2) 当a, b, c均小于零时，原式=-3；(3) 当a, b, c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；(4) 当a, b, c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1.为唏常綁有可能的值为塢士 1.说明本例的解法是采取把a, b, c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种 解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值

5、问题时很常用.例 5 若 I x I =3,1 y I =2, 且 I x-y I =y-x，求 x+y 的值.解 因为 I x-y I20,所以 y-x三0, y三x.由 I x I =3,I y I =2 可知，xVO,即 x=-3.(1) 当 y=2 时，x+y=-1 ；(2) 当 y=-2 时，x+y=-5.所以x+y的值为-1或-5.例 6 若 a, b, c 为整数，且 I a-b I 19+ I c-a I 99=1，试计算 I c-a I + I a-b I + I b-c I 的值.解a, b, c均为整数，则a-b, c-a也应为整数，且I a-b I 19,I c-a I

6、 99为两个非负 整数，和为1,所以只能是I a-b I 19=O 且 I c-a I 99=1,或由有a=b且c=a 1,于是丨b-c I = I c-a I =1 ；由有c=a且a=b1,于是丨b-c I=I a-b I =1 .无论或都有I b-c I =1 且 I a-b I + I c-a I =1,所以I c-a I + I a-b I + I b-c I =2.例丁若I -y + 3 I与t+y-1999 I互为相反数，求的值.x - y解依相反数的意义有I x-y+3 I =- I x+y-1999 I.因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有I x-y+3 I =0且I x

7、+y-1999 I =0.即,| + y-1999 = 0.由有x-y=-3，由有x+y=1999-得2y=2002,y=1001,所以x + 2y s + y+ y 1999 + 1001 =-=-1000.- y x - y- 3例 8 化简：I 3x+1 I + I 2x-1 I.分析本题是两个绝对值和的问题.解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号.若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事.例如，化简I 3x+1 I,只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号.这里我们是分4与績 -j两种情況加以讨论的舟此时良丈三是一卞分界 点.类似地对于I 2-1 I而言，W是一4分界点.为同时去掉

8、两个绝对值符号，我们把两个分界点-+和标在数轴上，把数轴分为三个部分（如图12所示），即这样我们就可以分类讨论化简了.10 132圏K解(1)当赛-时,原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；2)当-时，原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；03)当时，原式=(3x+1)+(2x-1)=5x. 1 .-5;当 -时；丨熒+ 1 I + I 2-1 I x +N 当一.-：奁签 时；11蠹当时.说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界 点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值 范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分

9、段法”.例 9 已知 y= I 2x+6 I + I x-1 I -4 I x+1 I，求 y 的最大值.分析 首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再 加以比较，从中选出最大者.解有三个分界点：-3，1,-1.(1) 当 xW-3 时，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，由于xW-3，所以y=x-1W-4, y的最大值是4(2) 当-3 WxW-1 时，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，由于-3WxW-1，所以-4W5X+11W6, y的最大值是6.(3) 当-1 WxW1 时，y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=

10、-3x+3，由于-1 WxW1,所以0W-3X+3W6, y的最大值是6.(4)当 x21 时,y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1,由于x21,所以1-xWO, y的最大值是0.综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6.例 10 设 avbvcvd,求I x-a I + I x-b I + I x-c I + I x-d I的最小值.分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦.若能利用I x-a I, I x-b I, I x-c I,I x-d I的几何意义来解题，将显得更加简捷便利.解设a, b, c, d, x在数轴上的对应点分别为A, B, C, D, X,贝,

11、x-a I表示线段 AX之长，同理，I x-b I,I x-c I,I x-d I分别表示线段BX, CX, DX之长.现要求I x-a I,I x-b I,I x-c I,I x-d I之和的值最小，就是要在数轴上找一点X,使该点到A, B, C, D四点距离之和最小.因为avbvcvd，所以A, B, C, D的排列应如图13所示：_XA B X Cd燮 1-3-所以当X在B, C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC,即(d-a)+(c-b).例11若2x+ I 4-5x I + I 1-3x I +4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值.分析与解要使原式对任何数x恒为常数，则

12、去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含 x的项相加为零，即x的系数之和为零.故本题只有2x-5x+3x=0 一种情况.因此必须有I 4-5x I =4-5x 且 I 1-3x I =3x-1.故x应满足的条件是4-5x0,W-10.解之得|x|.此时原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7.练习二1. x是什么实数时，下列等式成立：(1) I (x-2)+(x-4) I = I x-2 I + I x-4 I；(2) I (7x+6)(3x-5) I =(7x+6)(3x-5).2化简下列各式：(2) I x+5 I + I x-7 I + I x+10 I.3若 a+bV0,化简I a+b-1 I - I 3-a-b I.4. 已知 y= I x+3 I + I x-2 I - I 3x-9 I,求 y 的最大值.5. 设 T= I x-p I + I x-15 I + I x-p-15 I,其中 0VpV15，对于满足 pWxW15 的 x 来说，T的最小值是多少？6. 已知avb，求I x-a I + I x-b I的最小值.7. 不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果I a-b I + I b-c I=I a-c I，那么B点应为().(1) 在A, C点的右边；(2) 在A, C点的左边；(3) 在A, C点之间；以上三种情况都有可能.