D53换元法与分部积分法(IV)

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1、目录 上页 下页 返回 结束 二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 第三节不定积分一、定积分的换元法一、定积分的换元法 换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法定积分的换元法和 分部积分法 第五五章 目录 上页 下页 返回 结束 因用凑微分法计算不定积分时自始至终可以因用凑微分法计算不定积分时自始至终可以不引入新变量不引入新变量,故用凑微分法计算定积分时故用凑微分法计算定积分时,也也应自始至终不改变积分限。下面举例说明。应自始至终不改变积分限。下面举例说明。例例1 1 计算计算1201xx dx1211222001 1(1)(1)2xx dxxdx解32211 2(1)02 3x

2、3322221(11)(10)31(2 21)3目录 上页 下页 返回 结束 一、定积分的换元法一、定积分的换元法 1(),():1(),()2()()()()()baf xa bxtabttf x dxftt dt 定理 设函数在上连续，满足（）；（）在,或,上单调，且有连续的导函数。则：()()d()()()d.bbaaftttFtF xf xx 证证()(),F xf xa b设设是是在在上上的的一一个个原原函函数数，()()()()()FtFttftt的一个原函数的一个原函数.()()()Ftftt 是是在在,上上目录 上页 下页 返回 结束(3)(3)求出求出 ()()()()的的一

3、一个个原原函函数数ftttFt在应用换元公式计算定积分时在应用换元公式计算定积分时,应应注意注意以下几个问题以下几个问题:(1)(1)所选择的代换式所选择的代换式x=(t)必须满足定理中的两个条件必须满足定理中的两个条件;(2)(2)换元积分的关键是换限。记住换元积分的关键是换限。记住“上限对上限上限对上限,下限下限对下限对下限”;不必象求不定积分那样把不必象求不定积分那样把 (t)还原成还原成 x 的函数的函数,而只须而只须直接将直接将 t 的上、下限代入相减即可的上、下限代入相减即可.后后,tfxxfbadd)()(t)(t目录 上页 下页 返回 结束 例例2.计算).0(d022axxa

4、a解解:令,sintax 则,dcosdttax;0,0tx时当.,2tax时 原式=2attad)2cos1(2202)2sin21(22tta0242a20ttdcos2O22xayxyaS且目录 上页 下页 返回 结束 例例3.计算.d12240 xxx解解:令,12 xt则,dd,212ttxtx,0时当 x,4时x.3t 原式=ttttd231212ttd)3(21312)331(213tt 13322;1t且 目录 上页 下页 返回 结束 例例4 4 设设221211,22(),(1).11,2xxexf xf xdxx求解解 设设x=t+1,则则 t=x1,dx=dt211122

5、(1)()f xdxf t dt1121122()()f t dtf t dt12 211211221tte dtdt1120|t 2004 2004研考题研考题目录 上页 下页 返回 结束 2200(1)(sin)(cos)fx dxfx dx ,22xttx dxdt 证令则有0202(sin)(cos)fx dxft dt 0,022xtxt且00(2)(sin)(sin)2xfx dxfx dx例例5 5设设(x)在在0,1上连续上连续,则则20(cos)fx dx目录 上页 下页 返回 结束 ,xttx dxdt 证 令则有0,0 xtxt且00(2)(sin)(sin)2xfx d

6、xfx dx00(sin)()sin()xfx dxt ft dt 00(sin)(sin)ft dttft dt00(sin)(sin)fx dxxfx dx00(sin)(sin)2xfx dxfx dx2200sinsin.1 cos21 cosxxxdxdxxx目录 上页 下页 返回 结束 例例6.,)(aaCxf设证证:(1)若,)()(xfxfaaaxxfxxf0d)(2d)(则xxfaad)(2)若,)()(xfxf0d)(aaxxf则xxfad)(0 xxfad)(0ttfad)(0 xxfad)(0 xxfxfad)()(0,d)(20 xxfa时)()(xfxf时)()(x

7、fxf,0偶倍奇零偶倍奇零tx令274222(arctan)cos2?5xxxdxx目录 上页 下页 返回 结束 例例7.设 f(x)是连续的周期函数,周期为T,证明：xuT令 xxfxxfTTaad)(d)()1(0解解:(1)xxInd2sin10),(d)(d)()2(0NnxxfnxxfTnTaa并由此计算00()()()()a TTa TaaTf x dxf x dxf x dxf x dx0()()a TaTf x dxf uT du00()()aaf x dxf x dx0()()a TTaf x dxf x dx0()af u du目录 上页 下页 返回 结束 xxfxxfTT

8、aad)(d)()1(0另解另解:记,d)()(xxfaTaa)()()(afTafa0无关，与可见aa)(),0()(a因此则即xxfxxfTTaad)(d)(0目录 上页 下页 返回 结束(2)xxfnTaad)(xxfTkTakTankd)(10 xxnd2sin10),(d)(d)()2(0NnxxfnxxfTnTaa并由此计算,)1(akTa中的看作将)(d)(0NnxxfnT为是以x2sin1周期的周期函数xxnd2sin10 xxnd2sin10 xxfxxfTTkTakTad)(d)(0则有xxfxxfTTaad)(d)()1(0目录 上页 下页 返回 结束 xxnxxnd2s

9、in1d2sin100 xxxnd)sin(cos02xxxndsincos0 xxnd)sin(2044 xt令ttndsin2454ttndsin20ttndsin20n22xxfxxfTTaad)(d)()1(0目录 上页 下页 返回 结束 二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 定理定理2.,)(,)(1baCxvxu设则)()(d)()(xvxuxxvxubaabbaxxvxud)()(证证:)()()()()()(xvxuxvxuxvxu)()(xvxuabxxvxuxxvxubabad)()(d)()(baxxvxud)()()()(xvxuabbaxxvxud)()(上积

10、分两端在,ba目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例8.计算.darcsin210 xx解解:原式=xx arcsin021210 xxxd1212)1(d)1(212022121xx1221)1(2x02112231目录 上页 下页 返回 结束 例例9 9 sin()()0 设设，求求xtf xdtf x dxt sin()xtf xdtt 解解：sin()xfxx()()()f x dxxf xxdf x000()()fxfx dx0 sin()xfxdxx0 ()sinfxdx0 ()cosfx0 ()f2sin()tfdtt 0()f x dx02 见到见到“

11、变限积分变限积分”就想到求导数！就想到求导数！2220yxedy dx求求？目录 上页 下页 返回 结束 例例10 10 设设 在在0,10,1上连续上连续,求求()fx1()01().f xxfx edx解解 11()()00()()f xf xxfx edxxedf x1()0 1()f xxfx edx故1()0f xxde1()()010f xf xxeedx()(1)10f xfxee目录 上页 下页 返回 结束 20dcosttn20dcosxxn例例11.证明证明20dsinxxInn证证:令20dcosxxn,22143231nnnnn 为偶数,3254231nnnnn 为奇数

12、,2xt则20dsinxxn022d)(sinttn令,sin1xun,sin xv 则,cossin)1(2xxnunxvcossincos1xxInn022022dcossin)1(xxxnn0目录 上页 下页 返回 结束 2022dcossin)1(xxxnInn2022d)sin1(sin)1(xxxnn2)1(nInnIn)1(由此得递推公式21nnnnII于是mI2mm21212mI122mm而0I20dx,220dsinxxInn201dsinxxI1故所证结论成立.0I1I22mI2232mm42mI 214312mI1222mm32mI3254目录 上页 下页 返回 结束 内

13、容小结内容小结 基本积分法换元积分法分部积分法换元必换限配元不换限边积边代限思考与练习思考与练习1.提示提示:令,txu_d)(sindd0100ttxxx则ttxxd)(sin0100ud0 xu100sinx100sin目录 上页 下页 返回 结束 2.设,0)1(,)(1fCtf,lnd)(31xttfx(e).f求解法解法1.31d)(lnxttfx)1()(3fxf)(3xf,3xu 令3ln)(uuf得uln3131(e)f解法解法2.对已知等式两边求导,xxfx132)(3,3xu 令uuf31)(得)1(d)(e)e1fuuffe1131duu31思考思考:若改题为xttfxl

14、nd)(313?(e)f提示提示:两边求导,得331)(xxfe1d)(e)xxff得目录 上页 下页 返回 结束 3.设,1,0)(连续在xf ,3)2(,1)0(ff且,5)2(f求.d)2(10 xxfx 解解:xxfxd)2(10)2(d2110 xfx10)2(21xfx xxfd)2(102510)2(41xf2(分部积分分部积分)目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1.证明 证：证：2dsin)(xxxxxf是以 为周期的函数.2dsin)(xxuuxf tu令2d)sin(xxtt2dsinxxtt2dsinxxxx)(xf)(xf是以 为周期的周期函数.目录 上页 下页 返回 结束 证：证：2.右端,)(上有连续的二阶导数在设baxf)(af且试证 babaxxfbxaxxxfd)()(21d)(baxfbxax)(d)(21abxfbxax)()(21xbaxxfbad)2)(21分部积分积分)(d)2(21xfbaxba再次分部积分xxfbad)(abxfbax)()2(21=左端,0)(bf