最新感受“模型”的力量

《最新感受“模型”的力量》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新感受“模型”的力量（8页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、感受“模型”的力量“鸡兔同笼”教学新解许卫兵/执教 朱乐平/评析【备课思考】“鸡兔同笼”作为一种经典名题，在国标新教材中，不少版本都有编排。比 如，北师大版五年级上册“尝试与猜测”中用它来让学生学会表格列举；苏教版 六年级上册将之作为一道练习题来巩固“假设和替换”的策略；而人教版则是浓 墨重彩，在六年级上册“数学广角”中用6 个页码详细介绍了“鸡兔同笼”问题 的出处、多种解法及实际应用。除此之外，还有名师在二年级用“画图法”、在 六年级用“二元一次方程组”来生动地演绎它。近来，我在思考如下几个教学疑问时，也将目光聚焦到“鸡兔同笼”：一是 学生对各门学科的学习方法有着一定的共性，但对数学的学习是

2、否有着“属于数 学”的方法？这种方法是不是应该在各年级的教学中有所渗透，到高年级有所明 示，作为小学向初中在学习上的一种过渡？二是尽管“鸡兔同笼”各年级都可以 作为教学内容，且有着不同的目标指向，但对于六年级而言，是否可以用来让学 生“从已有的经验出发，经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和应用的过 程”，从而更好地认识数学？好多小学生升入初中后学习数学时表现出极大的不 适应，是否与他们缺乏必要的“模型”意识和举一反三的能力有关？三是郑毓信 教授在数学教育哲学中说：“数学是模式的科学”，“数学教学的基本任务 就在于帮助学习者逐步建立与发展分析模式、应用模式、建构模式与欣赏模式的 能力”，我们

3、怎样将这样的理性论断转化为可感的教学行为，让学生在学习中感 受到一些数学问题所具有的“模型”的力量呢？带着这样的思考，我在六年级进 行了“鸡兔同笼”数学活动课的教学尝试。【教学过程】一、揭示课题。师：同学们请看屏幕，今天我们要研究（生齐）鸡兔同笼。（板书：鸡 兔同笼）。知道“鸡兔同笼”是什么意思吗？生 1 ：就是把鸡和兔关在一个笼子里。生 2 ：鸡兔同笼是一种数学题目，就是告诉我们鸡和兔的头共有几只，脚共 有几只，求鸡兔各有几只。师：是的，鸡兔同笼是一种数学问题（板书：问题）。早在1500 多年以前， 我国的古典著作孙子算经中就记载着这样的数学趣题。（出示：今有鸡兔同笼，上有8 头，下有22

4、足。问鸡有几只？兔有几只？） 师：题目中告诉了我们哪些信息？生：鸡和兔共有 8 个头，22 只脚。生：还有两个条件：鸡有两只脚，兔有四只脚。师：很好，你还看到隐藏着的两个条件。大家会解答这个问题吗？动笔试一 试吧。不能解决的，也可以同桌先交流交流。二、尝试探究。1自主练习，展示做法。生1 :我先用22 - 8x2=6 （只），我是想假设全部是鸡的话，8只鸡就有 16只脚，而22减去16还多出6只。也就是有些兔也当成鸡了，一只兔当成一 只鸡就会少算2只脚，再用6-2=3，就是兔有3只，鸡有8 -3=5只。师:大家听懂了吗？他是把鸡和兔全部假设成鸡了，这种方法（板书:方法） 很不错。生 2:我是全

5、部假设成兔，总共有 8x4- 22=10（只）脚，一只鸡当成一只 兔就会多算 2 只脚，再用 10-2=5（只），就是鸡有 5 只，兔有 8- 5=3 只。师:这两位同学的方法有什么相同之处吗？生:都是用的假设法。（板书:假设）师:还有和他们的解法不一样的吗？（学生还提出用方程、画图等方法解决，教师一一加以评价并让学生比较不 同的解法，说一说自己喜欢哪种方法）生 1:我喜欢方程解法，因为方程顺着题目的意思想起来比较方便。生 2:我喜欢画图的方法，因为画图既有趣又方便，还特别好懂。师:这些解法各有各的特点，它们既有联系又有区别，既有优长也有缺陷。 你们有没有发现，画图的方法、方程的方法和刚才这两

6、位同学使用的假设法有共 同的地方吗？生:都含有“假设”的意思。师:看得很准。“假设法”确实是解决“鸡兔同笼”问题的典型思路。2资料介绍，沟通联系。师:你想知道古人是如何解答这个问题的吗？（屏幕显示:足数-2-头数=兔数 头数-兔数=鸡数）师：看起来很复杂的“鸡兔同笼”问题，古人解起来就这么简单啊。咱们用这 种方法口算一下上面这道题，结果和我们刚才算的一样吗？学生口算，教师板书：22-2 -8=3（只）兔 8-3=5 （只）鸡师：老祖宗的方法真是太简单了，其中的道理你能讲清楚吗？（学生多人讲，但均说不清楚）师：这个方法看起来很简单，要理解它还真不容易呢。其实对这个问题，不 但咱们中国人有研究，外

7、国人对它也有关注，在匈牙利出生的美国教授波利亚， 他讲了一个很有趣的故事解释了这种解法的道理。（课件演示，教师相机解释）：草地上有一群鸡兔在玩耍，突然，鸡对兔说： “我们的本领可大了，可以做金鸡独立”。说着每只鸡就抬起一只脚，只用一只脚 站着。兔子们见了，也不甘示弱：“这有什么了不起，看看我们兔子作揖。”说完， 每只兔就把两只前脚提起来，只留下两只后脚站着。哈哈，这下有趣了，原来的 鸡都变成了“独角鸡”，原来的兔都变成了“双脚兔”。看着图示，你发现什么了？生 1：现在草地上鸡和兔的头数没变，站立的脚数只剩下原来的一半，也就 是“足数-2”。生 2 ：现在草地的脚数再和头数比，只有一只兔子多出1

8、 只脚，所以，足数 -2-头数=兔的只数。师：都看明白了吗？你们觉得我们老祖宗的方法怎么样？ 生：方法很简单，蕴含的道理很深刻！ 师：不过，大家也要小心哦，这种看起来很简单的方法也是有局限的。三、责疑引思。师：通过刚才的学习，鸡兔同笼问题都会解决吗，有没有什么疑问？ 生（都摇头）：没有！ 师：老师有一个疑问，在生活中我们很少看到有人把鸡和兔放在一个笼子里 养吧，就是放在一起养，也没谁去数头数脚做这种无聊的事。我们的老祖宗干嘛 煞费苦心地研究来研究去的，一千多年过去了，还作为宝物似的流传到今？“鸡 兔同笼”有什么独特的魅力吗？”（显示：“鸡兔同笼”有什么独特的魅力？）（学生回答不清，老师提议带着

9、这个问题来继续进行下面的研究）四、初步建模。 师：据资料显示，日本人也研究鸡兔同笼，称它叫“龟鹤问题”。 （出示：龟鹤同游，共有 40 个头， 112 只脚，求龟、鹤各有多少只？）思考：日本人说的“龟、鹤”和我们说的“鸡、兔”有联系吗？生：龟和兔一样的，有四只脚。鹤和鸡一样的，都是两只脚。师：那这道“龟鹤同游”问题会解决？（学生试做后，交流算法）古人法：112+2 - 40=16 （只）龟40 - 16=24 （只）鹤假设法：（112-40x2 ） +2=16 （只）龟40 - 16=24 （只）鹤比较后得出：“龟鹤同游”和“鸡兔同笼”是同一类型的数学问题。 师：老师昨天晚上还看到这样一首儿歌

10、。（出示：一队猎人一队狗，两列并成一队走。数头一共五十五，数脚共有一 百九。）师：我们研究了鸡兔同笼、龟鹤同游，也来给这首儿歌取个名字？ 生：人狗同行。师：看了“人狗同行”的儿歌，和“鸡兔同笼”比较，你有什么话想说? 生：我觉得它和鸡兔同笼的问题仍然是一样的。猎人相当于鸡，狗相当于兔。 师：他的这个理解可以吗？生：可以。师：虽然把猎人看作鸡有些不雅，但是从研究的角度大家确实是找到了他们 数量上的联系。显示：猎人鸡（两只脚） 狗兔（四只脚）师：回想一下，从 鸡兔同笼”到“龟鹤同游”，再到“人狗同行”，你发现了什么 呢？（再次显示：“鸡兔同笼”有什么独特的魅力？）生 1 ：鸡兔同笼是多方面的。生

11、2 ：“鸡兔同笼”可以表示好多种和“鸡兔同笼”相同的情况。师：是啊，鸡兔同笼不只是代表着鸡兔同笼的问题（老师在课题上加上双引 号），它就好像是一个模型！（板书：模型）我们可以找到很多它的影子。想想 看，鸡兔同笼问题还可以变化成什么问题？生 1 ：鸭猫问题。（大家都笑起来）生 2 ：猪鹅问题。生 3 ：马鹰问题。师：鸡、鸭行不行？生：不行的，它们都是两条腿，数量没有区别。五、强化体验。1拓展。师：这个信封里放的是 5 元和 2 元的钞票，共8 张，34 元，你能算出信封 里5 元和 2 元的钞票各有多少张吗？（学生尝试解答后交流用假设法和古人算法的情况，发现古人算法不好用了。 教师引导思考揭示：

12、古人算法只能用于 2 腿、4 腿的“鸡兔问题”。回应前面提示 的：古人的方法也是有局限的）师：这个问题和我们研究的鸡兔同笼问题有联系吗？生：其实这也是鸡兔同笼问题，这里的 2 元的钞票就相当于鸡有 2 只脚，而5 元的钞票就相当于兔，是五只脚的“怪兔”！ 师：（故作神秘状）是这个意思？（课件动态演示：将 2 元钞票换成鸡，将 5 元钞票换成五只脚的“怪兔”）师：同学们真是联想丰富，把兔子给“整成”了五条腿。看来我们的鸡兔同笼 问题不仅包括4 只脚的兔子，还可以是 5 只脚的怪兔。你能把这个题目改成“鸡 兔同笼”的数学问题吗？（显示：鸡有 2 脚，怪兔有 5 脚。共 8 头，34脚。鸡有多少只？

13、怪兔有多 少只？）看来“鸡兔同笼”中的“鸡”和“兔”也可以转换成好多脚的“怪鸡”和“怪兔”。能联 系实际举个例子吗？2应用。师：让我们带上这样的眼光再到身边去看一看吧。（课件出示：工地运来长度分别为8米和5米的水管25根，用它们一共铺设了173 米长的管道。运来两种水管各多少根？）学生抽象变题：怪鸡5脚，怪兔8脚，共25头， 173脚。问：怪鸡有多少兔？只。选做题，全班讲评，好坐满，每条大船坐 6 人，每条小船坐 4 人，问大船和小船各租了几条？） 学生抽象变题：怪鸡4 脚，怪兔6 脚，共10 头，42 脚。问：怪鸡？只，怪琐丸円SL冋理一* 于澹卓处忌貝形成全课板书。*的挞羊古和六、总结全课。师：经过一节课的研究，现在再来回答这个问题（第三次显示“鸡兔同笼”有 什么独特的魅力？），你有什么想说的吗？生 1：我觉得鸡兔同笼问题的解法可以应用到很多问题中去。生 2：鸡兔同笼只是一种问题的模型，好多生活中的问题都可以看成是变化 的鸡兔同笼。师：（对着板书）从一个具体的数学问题出发，研究解法，并上升到一种模 型，最后进行广泛的运用，数学就是这样发展起来的。同样，如果我们在学习各 种数学问题时能有“模型”的意识，举一反三，能触类旁通，那么你必将会走向数 学学习的自由王国。