小学经典奥数举一反三.ppt

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1、小学经典奥数举一反三 学奥数 爱数学 长智慧 能跨越 每天多学一小时 十年奋斗当博士 目录： 归一问题 归总问题 和差问题 和倍问题 差倍问题 倍比问题 相遇问题 追及问题 植树问题 年龄问题 行船问题 列车问题 时钟问题 盈亏问题 鸡兔同笼问题 最大公约数最小公倍数 分解质因数问题 周期问题 工程问题 正反比例应用题 综合练习 一 .归一问题 【含义】 在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然 后以单一量为标准，求出所要求的数量，这类应用题叫做 归一问题。 例 1：买 5支铅笔要 0.6元钱，买同样的铅笔 16支，需要多 少钱？ 解题思路与方法：先要求出 1支铅笔多少钱，再求出 16支 铅

2、笔多少钱。 解 （ 1）买 1支铅笔多少钱？ 0.6 5 0.12（元） （ 2）买 16支铅笔需要多少钱？ 0.12 16 1.92 （元） 列成综合算式 0.6 5 16 0.12 16 1.92（元） 答：需要 1.92元。 练习 1： 1. 3台拖拉机耕地 600平方米，照这样计算， 5台拖拉机能耕地多少平方米？ 2. 一辆卡车 5次运煤 22.5吨，照这样计算，再增加 2次能运多少吨煤？ 3. 制鞋厂 30个人一个月生产皮鞋 2250双，照这样计算，现在要生产 7950双皮鞋， 需要多少人？ 例 2. 3台拖拉机 3天耕地 90公顷，照这样计算， 5台拖拉机 6 天耕地多少公 顷？

3、解 （ 1） 1台拖拉机 1天耕地多少公顷？ 90 3 3 10（公顷） （ 2） 5台拖拉机 6天耕地多少公顷？ 10 5 6 300（公顷） 列成综合算式 90 3 3 5 6 10 30 300（公顷） 答： 5台拖拉机 6 天耕地 300公顷。 练习 2. 1. 5台磨面机 6小时磨面粉 42吨， 10台磨面机磨面粉 98吨，需要几小时？ 2. 一辆卡车 5次运煤 22.5吨， 5辆同样的卡车 6次可以运煤多少吨？ 3. 一个钢铁厂，一号炉前 3天每天产钢 354.5吨，后 5天共生产钢 18005吨，平均每天生 产钢多少吨？ 例 3. 5辆汽车 4次可以运送 100吨钢材，如用同样的

4、 7辆汽车运送 105吨 钢材，需要运几次？ 解 （ 1） 1辆汽车 1次能运多少吨钢材？ 100 5 4 5（吨） （ 2） 7辆汽车 1次能运多少吨钢材？ 5 7 35（吨） （ 3） 105吨钢材 7辆汽车需要运几次？ 105 35 3（次） 列成综合算式 105 （ 100 5 4 7） 3（次） 答：需要运 3次。 练习 3 1.修一条公路，全长 15千米，开工 4天修 1.6千米。照这样计算，修完这条公路要 多少天？ 2.一个编织组，原来 30人 10天生产 1500顶草帽，现在增加到 120人，按照原来的 工效，要生产 9000顶草帽需要多少天？ 3. 修一条公路，原计划每天修

5、120米， 30天可以修完，如果要提前 5天修完，每 天要修多少米？ 二 .归总问题 【含义】 解题时，常常先找出“总数量”， 然后再根据其它条件算出所求的问题，叫 归总问题。所谓“总数量”是指货物的总 价、几小时（几天）的总工作量、几公亩 地上的总产量、几小时行的总路程等。 例 1 服装厂原来做一套衣服用布 3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布 2.8米。原来做 791套衣服的布，现在可以做多少套？ 解 （ 1）这批布总共有多少米？ 3.2 791 2531.2（米） （ 2）现在可以做多少套？ 2531.2 2.8 904（套） 列成综合算式 3.2 791 2.8 904（套） 答：现

6、在可以做 904套。 练习 1. 1. 搬运一堆红砖，小冬一次搬 5块，要 16次才能搬完，如果小冬每次多搬 3块， 几次就可搬完？ 2.小华每天读 24页书， 12天读完了 红岩 一书。小明每天读 36页书，几天可 以读完 红岩 ？ 3.食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃 50千克， 30天慢慢消费完这批蔬菜。后来 根据大家的意见，每天比原计划多吃 10千克，这批蔬菜可以吃多少天？ 例 2. 3台拖拉机 3天耕地 90公顷，照这样计算， 5台拖拉机 6 天耕地多 少公顷？ 解（ 1） 1台拖拉机 1天耕地多少公顷？ 90 3 3 10（公顷） （ 2） 5台拖拉机 6天耕地多少公顷？ 10 5

7、6 300（公顷） 列成综合算式 90 3 3 5 6 10 30 300（公顷） 答： 5台拖拉机 6 天耕地 300公顷。 练习 2. 1.面粉厂用汽车装运一批面粉，原计划用每辆装 24袋的汽车 9辆 15次可以运完， 现在改用每辆装 30袋的汽车 6辆来运，几次可以运完？ 2.修一条公路，原计划每天工作 7.5小时， 8个人 6天可以修完，实际增加了 2个 工人，准备 4天完成，这样每天要工作几小时？ 3.用 5台拖拉机 6小时耕地 75亩。现在要耕地 200亩，且要求 8小时耕完，需要同 样的拖拉机多少台？ 例 3. 修一条公路，原计划每天工作 7.5小时， 8个人 6天可以 修完，实

8、际增加了 2个工人，准备 4天完成，这样每天要工作几小 时？ 分析：要求每天工作几小时，先要求出这条公路的总工作量，即由 1个工人来做共需要多少小时， 7.5 8 6=360 再求如果 1人每天工作多少小时 360 4=90 再求最后问题。 90 （ 8+2） =9小时 答：每天要工作 9小时 . 练习 3. 1.一项工程，预计 30人 15天可以完成任务。工作 4天后，又增加 3人。如果每人工作效率 相同，这样可以提前几天完成任务？ 2.一项工程原计划 8个人每天工作 6小时， 10天可以完成。现在为了加快工作进度，增加 2 人，每天工作时间增加 2小时，这样可以提前几天完成这项工程？ 3.

9、一个工地上有 120名工人，食堂为这些工人准备了 30天的粮食。实际工作 5天后，由于 工期紧张，又调来 30名工人，食堂原来准备的粮食只够吃几天？ 三 .和差问题 【 特点 】 已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多 少，这类应用题叫和差问题。 例 1 甲乙两班共有学生 98人，甲班比乙班多 6人，求两 班各有多少人？ 解 如果甲班减少 6人，就和乙班人数相等；或者乙班增 加 6人，就和甲班人数相等。 乙班人数（ 98 6） 2 46（人） 甲班人数 98 46=52,或 （ 98 6） 2 52（人） 答：甲班有 52人，乙班有 46人 。 解题关键：小数 =（和 差） 2，大数 =（和

10、 +差） 2 练习 1 1.甲乙两个工程队合挖一条长 48千米的水渠，甲队比乙队多挖了 6千米，求甲、乙工程队各挖了多少千米？ 2.有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重 32千克，乙丙两袋共重 30千 克，甲丙两袋共重 22千克，求三袋化肥各重多少千克。 3. 甲乙两车原来共装苹果 97筐，从甲车取下 14筐放到乙车上， 结果甲车比乙车还多 3筐，两车原来各装苹果多少筐 ？ 例 2.长方形的 周长是 36厘米，长比宽 多 2厘米，求长方形的面积。 解 先要求出长和宽各是多少 因为长和宽的和是 36 2=18厘米 所以 长 （ 18+2) 2=10厘米 宽 =18-10=8厘米 面积 =10 8 80

11、（平方厘米） 答：长方形的面积为 80平方厘米。 练习 2 1.甲、乙两个仓库共运进货物 1260吨，如果从甲仓库调出 120吨货物到乙仓 库，则两个仓库的货物一样多，求甲乙两仓库原来运进货物各多少吨？ 2.电视机厂一、二、三车间共有工人 360人，第一车间比第二车间多 12人， 第三车间比第二车间少 18人，三个车间各有工人多少人？ 3.养兔场共养兔 8800只，有白兔、黑兔和灰兔三品种，白兔比黑兔多 600只 ，黑兔比灰兔少 400只，求白兔、黑兔、灰兔各有多少只？ 四 . 和倍问题 【 特点 】 已知两个数的和及大数是小数的几倍（或 小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少 ，这类应

12、用题叫做和倍问题。 例 1 果园里有杏树和桃树共 248棵，桃树的棵数是 杏树的 3倍，求杏树、桃树各多少棵？ 解 把杏树棵树看作 1份，总棵树就是 3+1份 （ 1）杏树有多少棵？ 248（ 3 1） 62（棵） （ 2）桃树有多少棵？ 62 3 186（棵） 答：杏树有 62棵，桃树有 186棵。 解题关键： 1倍数 =和 （ 1+倍数） 练习 1 1. 某校四年级和六年级的同学参加植树活动，两个年级共栽树苗 141棵。已知六年级同学栽的树苗是四年级同学载树苗棵数的 2倍， 四年级栽树苗多少棵？ 2. 大小两辆卡车 8次共运货物 64吨，大卡车一次运货的吨数是小卡 车一次运货吨数的 3倍，

13、大小卡车每次各运货多少吨？ 3. 甲、乙两箱苹果共重 84千克，从甲箱取出 15千克的苹果放入乙箱 ，乙箱的重量就是甲箱的 3倍，两箱原来各有苹果多少千克？ 例 2 甲站原有车 52辆，乙站原有车 32辆，若每天从甲站开往 乙站 28辆，从乙站开往甲站 24辆，几天后乙站车辆数是甲站的 2 倍？ 解 分析： 每天从甲站开往乙站 28辆，从乙站开往甲站 24辆，相 当于每天从甲站开往乙站（ 28 24）辆。 把几天以后甲站的车辆数当作 1倍量，这时乙站的车辆数就是 2 倍量，两站的车辆总数（ 52 32）就相当于（ 2 1）倍， 那么，几天以后甲站的车辆数减少为 （ 52 32）（ 2 1） 2

14、8（辆） 所求天数为 （ 52 28）（ 28 24） 6（天） 答： 6天以后乙站车辆数是甲站的 2倍。 练习 2 1.学校中四、五年级的学生为“希望工程”共捐款 241元，从五 年级捐款的总数中取出 25元后，就是四年级捐款数的 2倍，五 年级比四年级的学生多捐款多少元？ 2.甲、乙两个仓库共存货物 238吨，如果从乙库中运出 84吨放入 甲库，则甲库存货比乙库的存货吨数多 5倍。原来甲、乙两个 仓库的货物吨数各是多少？ 3.果园里有桃树、梨树、苹果树共 552棵 .桃树比梨树的 2倍多 12棵，苹果树比梨树少 20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少 棵？ 例 3.甲乙丙三数之和是 170，

15、乙比甲的 2倍少 4，丙比甲的 3倍多 6，求三数各是多少？ 解 乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为 1倍量 。 因为乙比甲的 2倍少 4，所以给乙加上 4，乙数就变成甲数 的 2倍； 又因为丙比甲的 3倍多 6，所以丙数减去 6就变为甲数 的 3倍； 这时（ 170 4 6）就相当于（ 1 2 3）倍。 那么， 甲数（ 170 4 6）（ 1 2 3） 28 乙数 28 2 4 52 丙数 28 3 6 90 答：甲数是 28，乙数是 52，丙数是 90。 练习 3 1.果园里一共种 340棵桃树和杏树，其中桃树的棵数比杏 树的 3倍多 20棵，两种树各种了多少棵？ 2.图书馆共有故

16、事书、科技书和连环画三种图书 1252本， 其中科技书是故事书的 3倍，连环画的本数比科技书的 2 倍多 40本。三种书各有多少本？ 3. 549是甲、乙、丙、丁 4个数的和 .如果甲数加上 2，乙 数减少 2，丙数乘以 2，丁数除以 2以后，则 4个数相等 .求 4个数各是多少？ 五 .差倍问题 【 特点 】 已知两个数的 差 及大数是小数的几倍（或 小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少 ，这类应用题叫做 差 倍问题。 例 1 果园里桃树的棵数是杏树的 3倍，而且桃树比杏树多 124棵。求杏树、桃树各多少棵？ 解 桃树的棵数是杏树的 3倍 ，也就是 桃树 比杏树多（ 3-1）倍 （

17、1）杏树有多少棵？ 124（ 3 1） 62（棵） （ 2）桃树有多少棵？ 62 3 186（棵） 答：果园里杏树是 62棵，桃树是 186棵。 解题关键： 1倍数 =差 （倍数 1） 练习 1 1、服装厂的女工比男工多 78人，女工人数是男工人数的 3倍，求有男工、女工各多少人？ 2.甲仓库比乙仓库多存粮 240千克，甲仓库存粮是乙仓库 存粮的 4倍，两仓库各存粮多少千克？ 3.有两层书架，第二层的书是第一层的 4倍，如果从第二 层取 236本放第一层，两就一样多 .那么两层书架各有多少 本书？ 例 2.粮库有 94吨小麦和 138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是 9吨，问几 天后剩下的玉

18、米是小麦的 3倍？ 解 由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数 量差（ 138 94）。把几天后剩下的小麦看作 1倍量，则几天后剩下的玉米就 是 3倍量，那么，（ 138 94）就相当于（ 3 1）倍，因此 剩下的小麦数量（ 138 94）（ 3 1） 22（吨） 运出的小麦数量 94 22 72（吨） 运粮的天数 72 9 8（天） 答： 8天以后剩下的玉米是小麦的 3倍。 练习 2. 1. 甲桶酒是乙桶的 5倍，如从甲桶中取出 20千克倒入乙桶，那么两桶酒重量 相等。两桶酒原来各有多少千克？ 2.仓库里存放大米和面粉两种粮食，面粉比大米多 3900千克，面粉的千克

19、数 比大米的 2倍还多 100千克，问仓库有大米和面粉各多少千克？ 3.果园里种了一批苹果树和桃树，已知苹果树比桃树多 1600棵，苹果树的棵 树比桃树的 3倍多 100棵。苹果树和桃树各种了多少棵？ 六 .倍比问题 【含义】 有两个已知的同类量，其中一个量是另一个 量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方 法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题 . 例 1. 100千克油菜籽可以榨油 40千克，现在有油菜籽 3700千克 ，可以榨油多少？ 解 （ 1） 3700千克是 100千克的多少倍？ 3700 100 37（倍） （ 2）可以榨油多少千克？ 40 37 1480（千克） 列成综合

20、算式 40（ 3700 100） 1480（千克） 答：可以榨油 1480千克。 这类题目与归一问题类似，往往在用归一法难解时用倍比法 练习 1 1.今年植树节这天，某小学 300名师生共植树 400 棵，照这样计算，全县 48000名师生共植树多少 棵？ 2. 凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家 4亩果 园收入 11111元，照这样计算，全乡 800亩果园共 收入多少元？全县共收入 277775元，全县共 多少 亩果园 ？ 3.某厂运来一批煤，计划每天用 5吨， 40天用完， 如果改进锅炉，每天节约 1吨，这批煤可以用多少 天？ 例 2. 8个工人 3小时制作机器零件 360个，如果人数缩

21、小了 2倍，时间增加了 5 小时，可制作机器零件多少个？ 解：此题中人数缩小了 2倍指现在的人数是 8 2=4（人）；时间增加了 5小时 指现在的时间是 3 5=8（小时）。 故：可制作 36O 8 3 （ 8 2） （ 3+ 5） =15 4 8 = 480（个） 答：可制作机器零件 480个。 练习 2. 1. 12人 25天挖了一个长 60米、宽 2米、高 2.8米的防空洞，照这样的速度计 算， 30人用 20天挖防空洞可以挖土多少立方米？ 2. 某工地的一项工程，原计划由 30人工作，每天工作 8小时， 45天完工。为 了提前完工，实际由 54人工作，每天工作 10小时，可以提前几天完

22、工？ 3.某车间用 4台车床 5小时生产零件 600个，照这样算， 7台同样车床 8小时可 以多生产多少个零件？ 七 .相遇问题 例 1 南京到上海的水路长 392千米，同时从两港各开 出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行 28 千米，从上海开出的船每小时行 21千米，经过几小 时两船相遇？ 解 两船 1小时共行（ 28+21）小时 392（ 28 21） 8（小时） 答：经过 8小时两船相遇 。 解题关键：相遇时间 =总路程 速度和 速度和 =总路程 相遇时间 总路程 =相遇时间 速度和 练习 1. 1、两辆汽车从 A、 B两地同时出发、相向而行，甲每 小行 50千米，乙每小行 60千

23、米，经过 3.5小时相遇。 A、 B两地相距多少千米？ 2、客车和货车同时从两城出发，相向而行，客车每 小时行 45千米，比货车每小时多行 3千米，经过 4小 时两车相遇。两城相距多少千米？ 3、客轮、货轮从武汉和上海两地同时出发，相对开 出，货轮每小时行 40千米，客轮的速度是货轮的 1.2 倍，两地相距 862.4千米。请问几小时两船可以相遇？ 例 2 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行， 甲每小时行 15千米，乙每小时行 13千米，两人在 距中点 3千米处相遇，求两地的距离。 解 “两人在距中点 3千米处相遇”是正确理解本题题 意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了 中点 3千米

24、，乙距中点 3千米，就是说甲比乙多走的路 程是（ 3 2）千米，因此， 相遇时间（ 3 2）（ 15 13） 3（小时） 两地距离（ 15 13） 3 84（千米） 答：两地距离是 84千米。 练习 2、 1、 小李和小刘在周长为 400米的环形跑道上跑步，小 李每秒钟跑 5米，小刘每秒钟跑 3米，他们从同一地点 同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相 遇需多长时间？ 2、甲、乙二人同时从 A地 B地，甲每分钟行 120米，乙 每分钟行 100米，甲到 B后立即返回，在距 B地 80米处 与乙相遇。甲、乙两地的路程是多少米？ 3、甲乙二人从相距 200千米的 A、 B两地同时出发，相

25、向而行， 10小时后相遇，已知甲每小时比乙快 2千米， 求两人的速度 . 八 .追及问题 例 1、小明从甲地到乙地，每分钟走 70米， 8分钟后 小武骑自行车以每分钟 150米的速度从甲地出发追小 明。多少分钟才能追上小明？ 解小明 8分钟行 70X8米 小武每分钟比小明多行 (150-70）米 追上小明时间 70X8 (150-70） =7（分钟） 答： 7分钟追上小明 . 解题关键：追击时间 =路程差 速度差 练习 1. 1、 好马每天走 120千米，劣马每天走 75千米，劣马 先走 12天，好马几天能追上劣马？ 2、 甲乙二人分别从相距 48千米的两地同时向西而行， 甲车每小时行 36千

26、米，乙每小时行 20千米，几小时后 甲追上乙 ? 3、甲乙两人分别从 A村和 B村同时向东而行，甲骑车 每小时行 14千米，乙步行每小时行 5千米， 2小时后甲 追上乙，求 A、 B两村的距离 ? 例 2 小明和小亮在 200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用 40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次 追上小亮时跑了 500米，求小亮的速度是每秒多少米。 解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即 200米， 此时小亮跑了（ 500 200）米，要知小亮的速度，须知追 及时间，即小明跑 500米所用的时间。又知小明跑 200米用 40秒，则跑 500米用 40（ 500 200）秒，所

27、以小亮 的速度是 （ 500 200） 40（ 500 200） 300 100 3（ 米） 答：小亮的速度是每秒 3米。 这道题的解题关键是求出追击时间 练习 2. 1.我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午 16点开始 从甲地以每小时 10千米的速度逃跑，解放军在晚上 22点接 到命令，以每小时 30千米的速度开始从乙地追击。已知甲 乙两地相距 60千米，问解放军几个小时可以追上敌人？ 2. 兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走 90米，妹妹每分 钟走 60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路 回家去取，行至离校 180米处和妹妹相遇。问他们家离学校 有多远？ 3.孙亮打算上课前

28、 5分钟到学校，他以每小时 4千米的速度从 家步行去学校，当他走了 1千米时，发现手表慢了 10分钟， 因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下， 如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早 9分钟到学校。 求孙亮跑步的速度。 九 .植树问题 例 1 一条河堤 136米，每隔 2米栽一棵垂柳，头尾都栽， 一共要栽多少棵垂柳？ 解 由于头尾都栽，所以棵数等于段数加 1 136 2 1 68 1 69（棵） 答：一共要栽 69棵垂柳 。 练习 1. 1、 一个圆形池塘周长为 400米，在岸边每隔 4米栽一棵白杨树， 一共能栽多少棵白杨树？ 2、两座楼房之间距离 50米，要在之间每 2.5米

29、栽果树，一共可栽 多少棵？ 3、 一个正方形的运动场，每边长 220米，每隔 8米安装一个照明 灯，一共可以安装多少个照明灯？ 例 2、 一座大桥长 500米，给桥两边的电杆上安装路灯， 若每隔 50米有一个电杆，每个电杆上安装 2盏路灯， 一共可以安装多少盏路灯？ 解 （ 1）桥的一边有多少个电杆？ 500 50 1 11（个） （ 2）桥的两边有多少个电杆？ 11 2 22（个） （ 3）大桥两边可安装多少盏路灯？ 22 2 44（盏） 答：大桥两边一共可以安装 44盏路灯。 练习 2 1、爷爷带着豆豆在人行道上散步，从第 1盏路灯到第 12盏路灯处共用了 12分钟，当 他们走了 40分钟

30、时，走到了第（）盏路灯旁。 2、在 150米的田埂上植树，两端各植一棵，每隔 6米中一棵柳树，两棵柳树之间又 种 3棵槐树，那么，柳树植（）棵槐树植（）棵。 3、护士为病人每 5小时量一次体温，做第 12次测量时，时钟时针指向 9.那么做第一 次时，时针指向（）。 十 .年龄问题 特点 ：两个人的年龄差不变 例 1. 爸爸今年 35岁，亮亮今年 5岁，今年爸 爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？ 解 35 5 7（倍） （ 35+1）（ 5+1） 6（倍） 答：今年爸爸的年龄是亮亮的 7倍， 明年爸 爸的年龄是亮亮的 6倍。 例 2 母亲今年 37岁，女儿今年 7岁，几年后母亲的年龄是女儿的 4倍？

31、 解 （ 1）母亲比女儿的年龄大多少岁？ 37 7 30（岁） （ 2）几年后母亲的年龄是女儿的 4倍？ 30（ 4 1） 7 3 （年） 列成综合算式 （ 37 7）（ 4 1） 7 3（年） 答： 3年后母亲的年龄是女儿的 4倍。 练习 2 1、 3年前父子的年龄和是 49岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的 4倍，父子今 年各多少岁？ 2、小强今年 13岁，小军今年 9岁，当两个人的年龄和是 40岁时，两个人各多 少岁？ 3、 甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才 4岁”。乙对甲说： “当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将 61岁”。求甲乙现在各是多少 岁？ 十一 . 行船问题 这

32、类问题的特点是船速水速，船顺水和逆水速度是不一样的。 其中顺水速度 =船速 +水速、逆水速度 =船速 -水速 例 1. 一只船顺水行 320千米需用 8小时，水流速度为每小时 15千 米，这只船逆水行这段路程需用几小时？ 解 由条件知，顺水速船速水速 320 8，而水速为每小时 15千米，所以 ，船速为每小时 320 8 15 25（千米） 船的逆水速为 25 15 10（千米） 船逆水行这段路程的时间为 320 10 32（小时） 答：这只船逆水行这段路程需用 32小时 。 这类问题的数量关系是： 船速 （顺水速度逆水速度） 2 水速 （顺水速度逆水速度） 2 顺水速船速 2逆水速逆水速水速

33、 2 逆水速船速 2顺水速顺水速水速 2 练习 1 1、 甲船逆水行 360千米需 18小时，返回原地需 10小时；乙 船逆水行同样一段距离需 15小时，返回原地需多少时间？ 2.一只船每小时行 14千米，水流速度为每小时 6千米，问这 只船逆水航行 112千米，需要几小时？ 3. 一只船顺水每小时航行 12千米，逆水每小时航行 8千米， 问这只船在静水中的速度和水流速度各是多少？ 例 2. 甲、乙两港相距 192千米，一艘轮船从甲港顺流而下行 16 小时到达乙港，已知船在静水中的速度是水流速度的 5倍，求 水流速度和船速。 解 由已知条件可知顺水速度是每小时 192 16=12（千米） 因为

34、顺水速度 =船速 +水速 而船速是水速的 5倍 所以水速 =12 （ 1+5） =2 船速 =2 5=10 答：水流速度是每小时 2千米；船速是每小时 10千米。 练习 2. 1. 甲、乙两码头相距 72千米，一艘轮船顺水行需要 6小时，逆水行 需要 9小时，求船在静水中的速度和水流速度。 2. 静水中，甲船速度是每小时 22千米，乙船速度是每小时 18千米， 乙船先从某港开出顺水航行， 2小时后，甲船同地同方向开出，若水 流速度为每小时 4千米，求甲船几小时可以追上乙船？ 3.一艘轮船在静水中的速度是每小时 15千米，它逆水航行 88千米用 了 11小时。问：这艘船返回原地需要用几小时？ 十

35、二 .列车问题 例 1.一座大桥长 2400米，一列火车以每分钟 900米 的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共 用了 3分钟，这列火车长多少米？ 解 : 火车 3分钟共行的路程就是桥长与火车车身长 度之和，所以 车身长度 900 3-2400=300（米） 答：火车车身长 300米 练习 1. 1.一列长 200米的火车以每秒 8米的速度通过一座大桥，用 2分 5秒的时间，求大桥的长度是多少米？ 2.一列火车以同一速度驶过两座大桥，第一座桥长 300米，用 了 20秒；第二座桥长 450米，用了 25秒。这列火车长多少米 ？ 3.一列火车通过一座 1000米的大桥要 65秒，如果用同样

36、的速 度通过一座 730米的隧道要 50秒，求这列火车前进的速度和 火车的长度？ 例 2.一列长 225米的慢车以每秒 17米速度行驶，后面一辆长 140米的快车以每秒 22米速度开来，求快车从追上到通过慢 车需要多长时间 ? 解：从追上到追过快车比慢车要多行（ 225+140）米， 而快车比慢车每秒多行（ 22-17） 所以要求的时间为（ 225+140） （ 22-17） =73（秒） 答：需要 73秒。 练习 2. 1.一列长 150米的列车以每秒 22米的速度行驶，有一 个扳道工人以每秒 3米的速度迎面走来，那么从工人 身旁驶过需要多长时间？ 2.在一段两轨铁路上，两列火车相向驶过，若

37、 A火车 全长 180米， B列火车全长 160米，两列火车的错车时 间为 4秒，已知 A列车的速度比 B列车每秒快 5米，则 A、 B两车的速度分别是多少？ 3.长 180米的客车速度是每秒 15米，他追上并超过长 100米的货车用了 28秒，如果两列火车相向而行，从 相遇到完全离开需要多长时间？ 十三 .时钟问题 时钟问题是钟面上时针和分针关系的问题，钟 面一周 60格，当分针走 60格时，时针正好走 5格 例 .现在是 3点，什么时候时针与分针第一次重合？ 分析 3点时，分针指向 12，时针指向 3.要使分针与时针 重合，即使分针比时针多走 15格，需要 15 （ 60-5） =3/11

38、（小时）即 16又 4/11分钟 解： 15 （ 60-5） =3/11 （小时） =16又 4/11分钟。 答： 3点 16分多时针与分针第一次重合。 练习 . 1、 4点和 5点之间，时针与分针时候成直角？ 2、 6点与 7点之间什么时候与分针重合？ 3、在 9点与 10之间的什么时刻时针与分针成一条直线？ 十四 .盈亏问题 例 .给幼儿园分苹果，若每人分 3就余 11个；若 每人分 4个就少 1个，问有多少小朋友？有多少 个苹果？ 解 每人多分一个，就多分 11+1个所以是 12个人 即人数 =（ 11+1） （ 4-3） =12（人） 苹果数 =12 3+11或 12 4-1=47（个

39、） 答：有 12个小朋友， 47个苹果。 解这类问题的关键是抓住盈和亏及两次的分配差 练习 . 1、修一条公路，如果每天个 260米，修完全程就得 延长 8天；如果每天修 300米，修完全程还得延长 4天 ，这条路全长多少米？ 2、学校组织春游，如果每辆车坐 40人，就余下 30人 ，如果每辆车坐 45人，就刚好坐完。有几辆车 ?问有 多少人？ 3、雷锋小组为学校搬砖。如果每人搬 18块，还剩 2 块 ;如果每人搬 20块，就有一位同学没砖可搬。共有 多少块砖 ? 十五 .鸡兔同笼问题 例 1.长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在笼里，数数头有三十五， 脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？ 解

40、：假设 35只都是兔子，则由于每只兔子比鸡多算 4-2只脚，所以 鸡数 =（ 35 4-94） （ 4-2） =23（只） 兔子只数 =35-23=12（只） 也可以先假设 35只全是鸡，则 兔子只数 =（ 94-35 2） （ 4-2） =12(只） 鸡数 =35-12=23（只） 【 新解法：不管鸡兔都去掉两条腿，那么就剩兔子两条腿了，兔子只数就是 （ 94-35 2） 2=12（只） 】 答：兔子有 12只，鸡有 23只。 解题关键：用假设法找出其差 练习 1 1、老师用 69元，给学校买作业本和日记本，作业每 本 3.2元，日记本每本 0.7元，问作业本和日记本各买 了多少本？ 2、

41、2亩菠菜施肥 1千克， 5亩白菜施肥 3千克，两种菜 共 16亩，施肥 9千克，求白菜多少亩？ 3、某学校学生要栽树 256棵，要求学生共 50名，男 生每人栽 8棵，女生每人栽 4棵，应派多少男生多少 女生？ 例 2.鸡兔共有 100只，鸡的脚数比兔的脚数多 80 只，问鸡和兔子各多少只？ 解法 1：由于鸡比兔脚数多 80，则多的部分全是鸡，剩下 的鸡和兔脚数相等，但每只兔脚数是鸡的 2倍，所以兔子 只数是 (100-80 2) (1+2)=20(只 ) 解法 2：设有 X只兔，则有（ 100-X）只鸡 则列方程 (100-X) 2=4X+80 解之得， X=20，所以鸡是 100-20=8

42、0只 解法 3：设有鸡 X只，则有（ 100-X）只兔 列方程 2X-80=4 （ 100-X） 解之得 X=80 所以兔的只数是 100-80=20只 答：鸡有 80只，兔子 20只 。 练习 2. 1、有 100个馍分给 100个和尚吃，大和尚一人吃 3个 ，小和尚 3人吃 1个，问大小和尚各多少人？ 2、三年二班 45个同学向爱心基金会共计捐款 100元 ，其中 11个同学每人捐 1元，其他同学每人捐 2元或 5 元，求捐 2元和 5元的同学各有多少人？ 3、一次数学竞赛共有 20道题。做对一道题得 5分， 做错一题倒扣 3分，刘冬考了 52分，你知道刘冬做对 了几道题？ 十六 .最大公

43、约数最小公倍数 例 1.一个长方形的长是 80厘米，宽是 60厘米，要 把它分成最大的正方形，正方形的边长是多少？ 解：要分成最大的正方形其边长就是 80和 60的最 大公约数，因为最大公约数是 20.所以所求边长 是 20厘米。 练习 1 1、 用 96朵红玫瑰花和 72朵白玫瑰花做花束。若每个花束里 的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以 做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？ 2、有三根铁丝，一根长 18米，一根长 24米，一根长 30米。 现在要把它们截成同样长的小段。每段最长可以有几米？ 3、有一个两位数，除 50余 2，除 63余 3，除 73余 1。求这个两 位数

44、是 多少？ 例 2.公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。第 一路车每隔 5分钟发车一次，第二路车每隔 10分 钟发车一次，第三路车每隔 6分钟发车一次。三 路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再 同时发车？ 分析与解： 这个时间一定是 5的倍数、 10的倍数、 6的倍数，也就是说 是 5、 10和 6的公倍数，“最少多少时间”，那么，一定是 5、 10、 6的最小公倍数。 解答： 5、 10、 6 30 答：最少过 30分钟再同时发车 。 练习 2 1、同学们参加野餐活动准备了若干个碗，如果每人 分得 3个碗或 4个碗或 5个碗，都正好分完，这些碗最 少有多少个？ 2、某厂加工一种零件要经

45、过三道工序。第一道工序 每个工人每小时可完成 3个；第二道工序每个工人每 小时可完成 12个；第三道工序每个工人每小时可完 成 5个。要使流水线能正常生产，各道工序每小时至 少安排几个工人最合理？ 3、有一批机器零件。每 12个放一盒，就多出 11个； 每 18个放一盒，就少 1个；每 15个放一盒，就有 7盒 各多 2个。这些零件总数在 300至 400之间。这批零件 共有多少个？ 例 3.两个数的最大公约数是 15，最小公倍数是 90， 求这两个数各是多少 ? 分析 我们在求最大公约数最小公倍数时知道，两个 数的最大公约数与最小公倍数的乘积正好等于这两 个数的积 .设所求的两个数是 a,b

46、 由短除法 a1b1= 90 15=6 =2 3=1 6 当 a1， b1分别为 2和 3时， a,b分别为 15 2=30， 15 3=45；当 a1， b1分别为 1和 6时， a,b分别为 15和 90. 练习 3 1、两个数的最大公约数是 9，最小公倍数是 90，求 这两个数分别是多少？ 2、两个数的最大公约数是 12，最小公倍数是 60求 这两个数的和是多少？ 3、两个自然数的和是 52，它们的最大公约数是 4， 最小公倍数是 144，求这两个数各是多少？ 十七 .分解质因数问题 例 1.王老师带五年级学生去植树，老师和学生植树每 人植树同样多，他们一共植树 539棵 .这个班有多少

47、学 生？每人植树多少棵 ? 解 :根据每人植树棵数 人数 =总棵数 把 539分解质因数， 539=7 7 11，得到总人数是 7 7=49或 7 11=77，这个班是 49-1=48或 77-1=76人 答：这个班有 48人，每人植树 11棵；或者 76人每人 植树 7棵。 练习 1 1、 3月 12日是植树节，李老师带同学排成两路人数相等的纵 队去植树，已知李老师和同学们每人植树的棵数相等，一共 植了 111棵，求有多少个同学 ? 2、小青去看电影，他买的票的排数与座位号数的积是 391， 而且排数比座位号数大 6，小青的电影票是几排几座？ 3、把一篮苹果分给四人，使四人的苹果数一个比一个

48、多 2， 且他们的苹果个数之积是 1920，这篮苹果共有多少个？ 例 2.将下面八个数平均分成两组，使这两组数的乘 积相等 . 2， 5， 14， 24， 27， 55， 56， 99 解：由于两组数的乘积相等，所含质因数的个数应 相等 .14=2 7， 24=2 2 2 3， 27=3 3 3， 55=5 11， 56=2 2 2 7， 90=3 3 11，可 以看出这八个数中共有 8个 2， 6个 3， 2个 5， 2个 7和 2 个 11.所以每数中应该有 4个 2， 3个 3， 1个 5， 1个 7和 1个 11，再挑选可将其分为（ 5， 99， 24， 14）和（ 55， 27， 5

49、6， 2)两组 . 练习 2 1、把 40， 44， 45， 63， 65， 78， 99， 106这 八个数平均分成两组，使两组中四个数的乘 积相等。 2、把 39， 45， 49， 56， 60， 70， 78， 84， 91 这九个数平均分成三组，使每组中三个数的 乘积相等。 3、有三个自然数 a,b,c.已知 a b=35,b c=63,a c=45,求 a b c=? 十八 .周期问题 例 1.今天是星期三，再过 40天是星期几？ 解：一个星期共 7天， 40 7=55 因为今天星期三，再过 5天是星期一， 所以再过 40天是星期一。 解答这种问题的关键是找出周期和余数，然后 根据题

50、目特点求出答案。 练习 1. 1、 5月 1号星期四， 10月 1号星期几？ 2、 1 7 0.142857142857，小数点后面第 100个 数字是多少？ 3、现在是早晨 8点，再过 145小时是几点？ 例 2.有 249朵花，按 5朵红花， 9朵黄花， 13朵绿花的 顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这 249朵 花中，红花、黄花、绿花各有多少朵？ 解：周期是 5+9+13 249 （ 5 9 13） 9（组） 6（朵） 这六朵花包括 5朵红花和 1朵黄花。 最后一朵是黄花 红花： 5 9 5 50（朵） 黄花： 9 9 1 82（朵） 绿花： 13 9 117（朵） 练习 2 1、

51、有 47盏彩灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯 的顺序排列着。最后一盏灯是什么颜色？三种颜色 的灯各有多少盏？ 2、在 100米的跑道两侧每隔 2米站着一个同学。这些 同学从一端开始，按两女生，再一男生的规律站立 着。问这些同学中共有多少个女生？ 3、有一盒彩色乒乓球，按三红，二绿的顺序取出， 取 14次以后，绿色的取光了，还剩 6个红色的。这一 盒乒乓球一共有多少个？ 十九 .工程问题 特点 :工程问题，一般不告诉具体的工作总量，也不告 诉具体的工作效率。解题的关键是根据分数的意义， 把工作总量看作 1，用完成工作总量所需时间的倒数 表示工作效率。 例 1.一项工程 ,甲队独做要 10个月完

52、成 ,乙队独做 要 15个月完成 ,两队合做几个月完成？ 解：甲每月完成全部工程的 1/10，乙每月完成 全部工程的 1/15，合作每月完成（ 1/10+1/15） 需要 1 （ 1/10+1/15） =6（个月） 答：两队合作 6个月完成。 练习 1 1、一项工程，甲对单独做 20天完成，乙单独做 15天 完成，现在由甲、乙合作若干天后，剩下的部分由乙 独做，先后用 20天，问甲做几天？ 2、某项工程由甲乙两队完成，甲单独完成需 24天， 乙单独完成需 16天，先由甲对单独做 5天，然后两队 合作，问再做多少天可以完成全工程的八分之五？ 3、一项工程，甲队单独做 10小时完成，乙队单独做 1

53、5小时完成，丙队单独做 20小时完成，开始三队合作 ，中途甲队另有任务，由乙丙两对完成，从开始到工 程完成共用了 6小时，问甲队实际做了几小时？ 例 2.一项工程，甲单独做需要 12小时完成，乙单独 做需要 18小时完成，若甲先做 1小时，然后乙接着做 1小时，再由甲接着做 1小时， ，两人如此交替工 作，问完成任务时，共用了多少小时？ 解：每人做 1小时，共做 1/12+1/18=5/36 1 5/36=7又 1/5，这就是说每人做 7小时，还剩 1/36 （ 1-5/36 7=1/36）再由甲做 1/3小时即完成。 答：共用 14小时零 20分钟。 练习 2. 1、一件工作甲、乙两队合做

54、30天可以完成，共同做 了 6天后，甲有事离开了，由乙继续做了 40天才完成 。如果这件工作由甲乙单独完成，各需要多少天？ 2、甲、乙两人共同做一批需要 10小时完成，在共同 工作 4小时后，甲因故离开，由乙单独 18小时完成了 全部任务。如果甲、乙单独做这件工作各需要多少 小时？ 3、生产一批零件，甲单独做 10完成，乙单独做 8天 完成。甲先做了若干天后，剩下的甲、乙合做两天 完成全部任务，甲先做了几天？ 二十 .正反比例应用题 【 特点 】 两种相关联的量，一种量变化，另一 种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两 个数的比一定（即商一定），那么这两种量就 叫做成正比例的量；如果这两种量

55、中相对应的 两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的 量。解决这类问题的关键是找出并判断应用题 中两种量的关系。 例 1.张晗做 4道应用题用了 28分钟，照这样计算，他 91分钟可以做几道应用题？ 解：这道题中有做题数量的时间两种关系，单位时 间做题数量不变（一定），所以做题数量与时间成 正比例关系 设 91分钟可以做题 X道题，则有 28： 4=91： X 28X=91 4 X=91 4 28 X=13 答：他 91分钟可以做 13道题。 很显然，这类问题就是我们开始讲的归一问题，只是解法不同。 练习 1. 1、甲乙两地相距 22.5千米，如果 3小时走 13.5千米， 照这样的速度，走完

56、这段路还要多少小时？ 2、 .用一台织布机织布， 4小时织布 22.4米，照这样 计算，再织 3小时，一共可以织布多少米？ 3、修一条公路，已修的是未修的 1/3，再修 300米后 ，已修的变成未修的 1/2，求这条公路总长多少米？ 例 2.一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶 60千米 ， 4小时到达。如果要 3小时到达，每小时需行驶多 少千米？ 解：题中速度和时间是两种相关联的量，路程是一 定的量（就是说甲乙两地的路程是一定的），因为 速度 时间 =路程（一定），所以速度和时间是成反 比例的量，它们之间的关系是反比例关系。 设 每小时需行驶 X千米，则有 60 4=3X X=60 4 3 X

57、=80千米 答：每小时需行驶 80千米。 这类问题就是我们开始讲的归总问题 练习 2 1、同学们做操，每行站 30人，正好站 12行，如果每 行站 36人，可以站多少行？ 2、甲种铅笔每支 0.25元，乙种铅笔每支 0.20元，买 甲种铅笔 32支的钱，可以买乙种铅笔多少支？ 3、一艘货轮每小时航行 20千米， 6小时可以到达目 的地。如果要 5小时到达，每小时应该快多少千米？ 例 3.一间房子要用瓷砖铺地，用边长 3分米的正方形 瓷砖需要 3200块，用边长 4分米的瓷砖需要多少块？ 解：铺地面积不变（一定），每块瓷砖的面积与需 要的瓷砖数乘积正好是铺地面积，所以每块瓷砖的 面积与瓷砖数成反

58、比例 . 设需要瓷砖 X块 ,则 3 3 3200=4 4 x x=3 3 3200 4 4 x=1800 答：需要 1800块瓷砖。 练习 3. 1、买甲、乙两种铅笔共 208支，甲种铅笔每支 3角， 乙种铅笔每支 5角，两种铅笔用去的钱数相同。问甲 种铅笔买了几支？ 2、甲、乙、丙三人进行 100米赛跑， (假设他们各自 的速度不变），甲到终点时，乙离终点，还有 20米 ，丙离终点还有 25米。问乙到终点时，丙离终点还 有多少米？ 3、甲运输公司有大卡车 8辆，乙运输公司有同样的 大卡车 6辆，在一天内两个运输公司共运送货物 112 吨，这一天两个运输公司各运送货物多少吨？ 综合练习 通过

59、这段学习，我们每道题在解答之前，先要判断是哪种类型的应用题。然 后再做 . 1、 红花衬衫厂要制做一批衬衫，原计划每天生产 400件， 60天 完成。实际每天生产的件数是原计划每天生产件数的 1.5倍。完 成这批衬衫的制做任务，实际用了多少天？ 2、 东风机器厂原计划每天生产 240个零件， 18天完成。实际比 原计划提前 3天完成，实际每天比原计划每天多生产多少个零件 ？ 3、图书馆共有图书 358本，共两层若从上层拿 35本放下层，两 层就同样多，上下两层各有多少本？ 4、儿童服装厂生产红上衣和黄上衣。每件红上衣需要 2个钮扣 ，每件黄上衣需要 4个钮扣。做成的两种颜色的上衣，每 30件装

60、 成一箱，每箱衣服共需要钮扣 72个。每箱中有红上衣和黄上衣 各多少件？ 5、主人的篮子里放着苹果和桃。苹果的个数是桃的 3倍。一 群顽皮的小猴，趁主人不注意的时候，每只小猴子都拿了 8 个苹果和 3个桃。主人发现时，桃子已被小猴拿光了，还剩 下 10个苹果。这群顽皮的小猴一共有多少只？ 6、幼儿园小朋友过“六一”儿童节，阿姨给小朋友分苹果 ，开始每人分 3个，结果有 15个人只分到 2个；后来又买来 40 个苹果，又分给小朋友，结果正好每个分到 4个。幼儿园一 共有多少个小朋友？ 7、一个箱子里装满了实心球，连箱子共重 12千克。从箱中 取出实心球的 1/4后，剩下的实心球连箱共重 9.5千

61、克。问箱 子重多少千克？ 8、有 7袋米，它们的重量分别是 12千克、 15千克、 17千克 、 20千克、 22千克、 24千克、 26千克。甲先取走一袋，剩下 的由乙、丙、丁取走。已知乙和丙取走的重量恰好一样多， 而且都是丁取走重量的 2倍。那么甲先取走的那一袋的重量 是多少千克？ 9、一件工程，如果甲先独做 12天，然后乙再单独做 9天，正 好完成；如果乙先独做 21天，然后甲再独做 8天，也正好完 成。如果这件工程由甲单独做，几天可以完成？ 10、妈妈共买水果 38千克，其中桔子比香蕉的 2倍还多 2千克 ，桔子和香蕉各多少千克？已知桔子的单价比香蕉贵 1元， 共花去 102元，香蕉单

62、价多少元？ 11、从 A城到 B城，甲要行 2小时，乙要行 1小时 40分钟。如果 甲先行 10分钟，那么乙出发后多少分钟，在何处追上甲？ 12、一条小河流过 A、 B、 C三镇。 A、 B两镇之间有汽船来往 ，汽船在静水中的速度为每小时 11千米。 B、 C两镇之间有木 船摆渡，木船在静水中的速度为每小时 3.5千米。已知 A、 C两 镇水路相距 50千米，水流速度为每小时 1.5千米。某人从 A镇 上船，顺流而下到 B镇，吃午饭用去 1小时，接着乘木船又顺 流而下到 C镇。从 A镇到 C镇前后共用了 8小时，那么 A、 B两镇 间相距多少千米？ 13、一辆客车和一辆货车同时从甲、乙两地相向开出，客车 行了甲、乙两地间全程的 3/5时，恰好和货车相遇。相遇后货 车仍以原来每小时行 40千米的速度向甲地驶去，又用了 18小 时到达甲地。求客车的速度。 14、