!函数的对称性与周期性

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1、1函数的对称性与周期性、相关结论1关于x轴、y轴、原点、yx对称2周期性(内同)1若f(x+T)=f(x)(T,0),则f(x)为周期函数，T为一个周期。2若f(x+a)=f(x+b)(a,b)，则f(x)为周期函数，Ib-aI为一个周期。3若f(x+a)=-f(x)(a,0),则f(x)为周期函数，2a为一个周期。4若f(x+a)=(a,0)，则f(x)为周期函数，2a为一个周期。f(x)3自对称性(内反)1若f(a+x)=f(b-x)，则f(x)的图像关于直线x=苓？对称；特别地，若f(a+x)=f(a-x)，则f(x)的图像关于直线x=a对称；a=0为偶函数。2若f(a+x)-f(b-x

2、)，则f(x)的图像关于点(纟$，0)对称；特别地，若f(a+x)=-f(a-x)，则f(x)的图像关于点(a,0)对称；a=0为奇函数。a+bc3若f(a+x)+f(b-x)=c，则f(x)的图像关于点(一迈)对称。4互对称性b-a1函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图像关于直线x=对称；b-a2函数y=f(a+x)与函数y=-f(b-x)的图像关于点(,0)对称；3函数y=f(a+x)与函数y=f(a-x)的图像关于直线x=0对称。5对称性与周期性的关系1若f(x)的图像有两条对称轴xa和xb(a,b)，则f(x)为周期函数，2IbaI为一个周期。2若f(x)的图像有两个对称中心

3、(a,0)和(b,0)(a,b)，则f(x)为周期函数，2IbaI为一个周期。3若f(x)的图像有一条对称轴xa和一个对称中心(b,0)(a,b)，则f(x)为周期函数，41b-aI为一个周期。26.三角函数图像的对称性(kWZ)函数对称中心坐标对称轴方程y=sinx(kn,0)x=kn+n/2y=cosx(kn+n/2,0)x=kny=tanx(kn/2,0)无二、基础练习1.已知定义在xIx0上的奇函数f(x)，在区间(0,+Q上单调递增，且f(2)=0,若AABC的内角A满足f(cosA)0，则角A的取值范围是()启兀、/兀兀、/兀2兀、/兀兀2兀、A.(亍兀)B(3,)C(3,)D-(

4、3,2)(亍兀)2.定义在R上偶函数f(x)满足f(x)=f(x,2)，当3xf(cos升)Cf(sin1)f(cosl)Df(sin孑)f(cos孑)2233223.设f(x)是以3为周期的奇函数，若f(1)1，f(2)=a，则下列结论正确的是()A.a2B.a-2C.a1D.a-14.定义在R上的函数y=f(x)满足：f(-x)=-f(x),f(1,x)=f(1-x)，且当xe-1,1时，f(x)二x3，则f(2010)=()A.-1B.0C.1D.25.设y=f(x)是R上的偶函数，f(0)=0，y=g(x)是R上的奇函数，且对于xeR恒有g(x)=f(x,1)，则f(2008)=6.对

5、于定义在R上的函数f(x)，有下列三个命题：若f(x)是奇函数，则y=f(x-1)的图像关于直线x二 1对称；若对于任意xeR有f(x,1)=f(x-1)，则y=f(x)的图像关于点(1,0)对称；y=f(x-1)的图像关于直线x=1对称，则y=f(x)为偶函数。其中正确命题的序号为7.若存在常数p0，使得函数f(x)满足f(px)=f(px-2)(xeR)，则f(x)的一个周期为8定义在-2,2上的偶函数f(x)，在区间0,2上单调递减，若f(1-m)f(m)，贝y实数3m的取值范围是4三、补充练习1设了对对任意，满足且方程恰有6个不同的实根,则此六个实根之和为()A.18B.12C.9D.

6、02若的图象关于直线对称，则()A.B.C.D.3定义在R上的非常数函数满足：(10+x)为偶函数，且f(5x)=f(5+x)，则f(x)定是()(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数4设定义域为 R 的函数 y=f(x)、y=g(x)都有反函数，并且 f(x1)和 g-l(x2)函数的图像关于直线 y=x 对称，若 g(5)=1999，那么 f(4)=()。1999；(B)2000；(C)2001；(D)2002。5.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x+2)=f(x),当 OWxWl 时，f(x)=x

7、,则 f(7.5)=()7已知是定义在实数集R上的偶函数,是常数)；(2)，则8.函数的图象关于直线对称，且时，则当时,的解析式为。9已知定义在实数集R上的函数满足：(1)；(2)(3)当时解析式为，当时，求函数的解析式。参考答案：p11D，2C，3D，4C；5.0；6.；7.；8.T,J厶厶提示：3.Vf(x-3)=f(x):,f=f(一2)=-f(1-3)=-f(1)14.f(1x)，f(1-x)，f-(x-1)，-f(x-1)，:,f(2x),f1(x1),-f(x1)一1=-f(x)，(A)0.56函数y=sin(2x+(B)0.5(C)1.552(D)1.5)(A)x=25(B)x=

8、4(C)x=8(D)x=4是R上的奇函数，又知(1)的值为)的图像的一条对称轴的方程是(5 f(4,x)f2,(2,x)=-f(x,2)ff(x)f(x),T=45.g(-x)-g(x)nf(-x,1)-f(x,1),f(-x)f(x)nf(-x,1)f(x-1),:,f(x1)-f(x,1)即f(x)-f(x,2),f(x,4)f(x)即T47.令tpx-p，则f(t,p)f(t),Tp&f(11-mI)f(ImI)n-1,：厶补充练习答案：1 解：依条件知/匚)图象关于直线对称，方程六个根必分布在对称轴两侧，且两两对应以(3,0)点为对称中心，故，所以，选A。2 解：由得-cos(兀-2x

9、),asin(兀-2x)44-cos2(x-兀)-asin2(x-兀)88即3解：Tf(10+x)为偶函数，f(10+x)=f(10 x),f(x)有两条对称轴x=5与x=10，因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，x=0即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数。故选(A)4 解：Ty=f(x1)和 y=g-1(x2)函数的图像关于直线 y=x 对称，.y=g-1(x2)反函数是 y=f(x1)，而 y=g-1(x2)的反函数是:y=2+g(x),f(x1)=2+g(x),.有 f(51)=2+g(5)=2001,故 f(4)=2001,应选(C)5 解：Ty=f(x)是定

10、义在R上的奇函数，.点(0,0)是其对称中心；又 Tf(x+2)=f(x)=f(x),即f(1+x)=f(1x),直线x=1是y=f(x)对称轴，故y=f(x)是周期为4的周期函数。f(7.5)=f(80.5)=f(0.5)=f(0.5)=0.5故选(B)556解：函数y=sin(2x+2)的图像的所有对称轴的方程是2x+2=5+?6k x=2，显然取k=1时的对称轴方程是x=-2故选(A)7 解：由条件(2)知=+令，则9解当时，当时,1 1.函数对称性与周期性知识归纳：一.函数自身的对称性结论结论 1.1.函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是f(x)+f(2ax)=2b

11、证明：(必要性)设点P(x,y)是y=f(x)图像上任一点，点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点P(2ax，2by)也在y=f(x)图像上，.2by=f(2ax)即y+f(2ax)=2b故f(x)+f(2ax)=2b,必要性得证。(充分性)设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0)f(x)+f(2ax)=2bf(x0)+f(2ax0)=2b，即2by0=f(2ax0)。故点P(2ax0，2by0)也在y=f(x)图像上，而点P与点P关于点A(a,b)对称，充分性得征。推论：函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+f(x)=0a+b结论 2 2.若函

12、数y=f(x)满足f(a+x)=f(bx)那么函数本身的图像关于直线x=2对称，反之亦然。证明：已知对于任意的x,y都有f(a+x)=f(bx)=y00000令a+x=x,bx=x”00则人(x，y0)，B(x，y0)是函数y=f(x)上的点a+b显然，两点是关于x=2对称的。ab反之，若已知函数关于直线x=r对称，在函数y=f(x)上任取一点卩(x,y)那么P(x,y)0000ab关于x=2对称点P(a+bx,y)也在函数上00,故，所以8 解：依条件即为以4为周期的周期函数，又由，设，贝y7故f(x)=f(a+bx)Of(a+(x-a)=f(b-(x-a)0000所以有f(a+x)=f(b

13、x)成立。推论1：函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(ax)即f(x)=f(2ax)推论2：函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(x)结论3.若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称(ab(ab),则y=f(x)是周期函数，且21abl是其一个周期。2若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称(abab),则y=f(x)是周期函数，且2labl是其一个周期。3若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称(abab),则y=f(x)是周期函数，且41abl是其一

14、个周期。的证明留给读者，以下给出的证明：T 函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称，.*.f(x)+f(2ax)=2c，用2bx代x得：f(2bx)+f2a(2bx)=2cx)=2c(*)又 T 函数y=f(x)图像直线x=b成轴对称，f(2bx)=f(x)代入(*)得：f(x)=2cf2(ab)b)+xx(*)，用2(ab)x代x得f2(ab)+x=2cf4(ab)+x代入(*)得：f(x)=f4(ab)+x,故y=f(x)是周期函数，且4|ab|是其一个周期。二不同函数的对称性结论结论 4.4.函数y=f(x)与y=2bf(2ax)的图像关于点A(a,b)成中心对称。结论 5.

15、5.函数y=f(x)与y=f(2ax)的图像关于直线x=a成轴对称。函数y=f(x)与ax=f(ay)的图像关于直线x+y=a成轴对称。函数y=f(x)与xa=f(y+a)的图像关于直线xy=a成轴对称。定理4与定理5中的证明留给读者，现证定理5中的设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0)。记点P(x,y)关于直线xy=a的轴对称点为P，(X,y1),则X=a+y0,y1=x0a，:x0=a+y1,y0=x1a代入y0=f(x0)之中得8xa=f(a+y)A 点P(x,y)在函数xa=f(y+a)的图像上。同理可证：函数xa=f(y+a)的图像上任一点关于直线xy=a

16、的轴对称点也在函数y=f(x)的图像上。故定理5中的成立。推论：函数y=f(x)的图像与x=f(y)的图像关于直线x=y成轴对称。三三角函数图像的对称性函数对称中心坐标对称轴方程y=sinx(kn,0)(kn,0)x=kn+n/2x=kn+n/2y=cosx(kn+n/2,0)(kn+n/2,0)x=knx=kny=tanx(kn/2,0)(kn/2,0)无注：上表中kZ举例例1：定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5x)=f(5+x)，则f(x)一定是()(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数

17、解：Tf(10+x)为偶函数，Af(10+x)=f(10 x).f(x)有两条对称轴x=5与x=10，因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，Ax=0即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数。故选(A)例2：设定义域为R的函数y=f(x)、y=g(x)都有反函数，并且f(x1)和g-1(x2)函数的图像关于直线y=x对称，若g(5)=1999，那么f(4)=()。(A)1999；(B)2000；(C)2001；(D)2002。解：Ty=f(x1)和y=g-1(x2)函数的图像关于直线y=x对称，9*y=g-i(x2)反函数是y=f(xl),而y=g-i(x2)的反函数是:y=

18、2+g(x),Af(x1)=2+g(x),:.有f(51)=2+g(5)=2001故f(4)=2001，应选(C)1例3设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)=f(1x)，当一 1 1 仝三 0 0 时,f(x)=x,则f(8.6)解：f(x)是定义在R上的偶函数 Ax=0是y=f(x)对称轴;又 Vf(1+x)=f(1x)Ax=1也是y=f(x)对称轴。故y=f(x)是以2为周期的周期函数,Af(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(0.6)=0.3例4函数y=sin(2x+)的图像的一条对称轴的方程是()55解：函数y=sin(2x+空)的图像的所有对称轴的方程是2x+kA

19、x=兀，显然取k=1时的对称轴方程是x=2故选(A)例5.求证:若f(x)(x丘R)为奇函数，则方程f(x)=0若有根一定为奇数个。证：f(x)为奇函数f(o)=-f(一0)=f(0)2f(0)=0即兀=0是方程f(x)=0的根-x1也是方程的根即方程的根除x=0外成对出现。方程根为奇数个。练习：1.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=f(x)，当 0 x10 x1 时，f(x)=x,则f(7.5)=()(A)0.5(B)0.5(C)1.5(D)1.5解：Ty=f(x)是定义在R上的奇函数，.点(0,0)是其对称中心；又(x+2)=f(x)=f(x),即f(1+x)=f(1x),A

20、 直线x=1是y=f(x)对称轴，故y=f(x)是周期为2的周期函数。Af(7.5)=f(80.5)=f(0.5)=f(0.5)=0.5故选(B)(A)x=(B)x=-(C)x=5(D)x=牙若x1是f(x)=0的根，即f(x)=0由奇数定义得f(-x1)=-f(x1)=0102.知函数y=f(x)对一切实数x满足f(2-x)=f(4+x),且方程f(x)=0有5个实根，则这5个实根之和为(C)113.f（x）是周期为 2 的奇函数，当0 x1时，f（x）二lgX.a=f（6）,b=f（3）,c=f（5）则522（A）abc（B）bac（c）cba（D）cab解：已知f（x）是周期为2的奇函数

21、，当0 x1时，f（x）=lgx.设a=f（5）=f（，4）=，f（4），b=f（3）=f（，2）=，f（2），c=f（2）=f（;）。，cab，选D.4.定义在R上的函数fG是奇函数又是以2为周期的周期函数，则fG）+f（4）+f（7）等于（B）A.-1B.0C.1D.45.用mina,b表示a，b两数中的最小值。若函数f（x）=minlxl,lx+tl的图像关于直线x=-？对称，则t的值为（）A.-2B.2C.-1D.1I答棗】2【解析】由下图可=图象黄于直绘对称，财【爺题富图】本題通过新定义莆靈学生的创新能舟着赢函歡的图翻专幫考生数形結音的能丈 h属中洁题。log(1一x),x0则f(2

22、010)的值为(B)A.-1B.0C.1D.2由已知得f(-1)=哄2=1,f()=,f(1)=f(0)一f(一1)=，1f(2)=f(1)，f(0)=，1,f(3)=f(2)，f(1)=，1，(，1)=0,解析13f(4)f(3)-f(2)0-(-1)1,f(5)f-f(3)1,f(6)=f(5)-f(4)=0,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现，所以f(2010)=f(6)=0,故选C.7.定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)0，则方程f(x)=0在区间(0，6)内解的个数的最小值是()A.5B.4解析：由f(x)的周期性知，f(2)即至少有根1，2，4，5。故选择B。8._设

23、函数y=f(x)的定义域为R,且满足f(x+1)=f(1-x)，则y=f(x+1)的图象关于y对称。y=f(x)图象关于_x=1_对称。9.设y=f(x)的定义域为R，且对任意xWR,有f(1-2x)=f(2x)，则y=f(2x)图象关于对称，y=f(x)关于对称。10.设函数y=f(x)的定义域为R,则下列命题中，若y=f(x)是偶函数，则y=f(x+2)图象关于y轴对称；若y=f(x+2)是偶函数，则y=f(x)图象关于直线x=2对称；若f(x-2)=f(2-x),贝9函数y=f(x)图象关于直线x=2对称；y=f(x-2)与y=f(2-x)图象关于直线x=2对称，其中正确命题序号为_。1

24、1.设fx)是定义在R上的奇函数，且yfG)的图象关于直线x1对称，则f(1)+f(2)+2f(3)+f(4)+f(5)=.【考点分析】本题考查函数的周期性解析：f(一 0)-f,0)得f,0)0，假设f(n)0因为点(-n,0)和点(n1,0)关于x对称，所以f(n1)f(_n)=-f(n)=02因此，对一切正整数 n都有：从而：f(1)+f,2)+f(3)+f,4)+f(5)0。本题答案填写：0112.函数f(x)对于任意实数x满足条件f,x2)=f f,x)，若f(1)-5,则f(f,5)。【考点分析】本题考查函数的周期性与求函数值，中档题。11解析：由f(x2)=f,x)得f,x4)f

25、,x+2)f(x)，所以ff(1)-5,则f(f(5)f(-5)f(-1)1-1。f(-1+2)5【窥管之见】函数的周期性在高考考查中除了在三角函数中较为直接考查外，一般都比较灵1活。本题应直观理解f(x+2)fQ“只要加2,则变倒数，加两次则回原位”则一通尽通也。13.设函数f(x)的定义域为 R R,若f(x1)与f(x-1)都是关于x的奇函数，则函数yf(x)在区间o,1oo上至少有个零点.-fGM-14答案：f(2k-l)=0,kZ Z.又可作一个函数f(x)满足问题中的条件，且f(x)的15一个零点恰为x2k-1,kEZ Z.所以至少有50个零点.1,x14.设f(x)=，又记f(x

26、)=f(x),f(x)f(f(x),k=l,2,k=l,2,则f(x)=1x1k,1k2010解：f1(x)占，f2(x)11型，故选B.15.已知偶函数y=f(x)定义域为R,且恒满足f(x+2)=f(2-x),若方程f(x)=0在0,4上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间(-8,10中的根.方程的根为-6,-4,-2,0,2,4,6,8,10共9个根.16.设函数f(x)在(,+)上满足f(2x)f(2+x)，f(7x)f(7+x)，且在闭区间0,7上，只有f(1)f(3)0.(I)试判断函数yf(x)的奇偶性；(II)试求方程f(x)=0在闭区间】-2005,2005上的根的个数，

27、并证明你的结论.【考点分析】本题考查函数的奇偶性与周期性解析：由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数yf(x)的对称轴为x=2和x=7,从而知函数yf(x)不是奇函数,=f(x)f(x+10),从而知函数yf(x)的周期为T10又ff(0)0,而f(7)丰0，故函数yf(x)是非奇非偶函数;(II)又ff(0)0,f(11)f(13)f(7)f(9)0故f(x)在0,10和-10,0上均有有两个解，从而可知函数yf(x)在0,2005上有402个解，在-2005.0上有400个解，所以函数yf(x)在-2005,2005上有802个解.17.f(x)定义域为R，对于任意

28、x都有f(1+x)f(1一x且f(4+xf(4x问f(x)是否是周期函数？如是则周期是多少？解：如图可知M(1，0)，N(4，0)是对称中心，设x为f(x)的任意一点，它的关0于M的对称点是x则：1一xx一】，101If(x孑君,2据此，f(x,f4n,11x4n+2(x)1,f(xx4n,3因2010为4n+2f(2x)f(2+x)f(7x)f(7+x)=f(x)f(4x)=jf(x)f(14x)nf(4x)f(14x)亠f(2x)f(2+x)叫 f(7-x)f(7+x)nIf(x)f(4x)j(x)f(14x)nf(4x)f(14x)160112设x与x关于N点对称则4-x=x-4，xx+6211220，f(x)=f(x)即对于任意XR都有f(6+x)=f(x)20，f(x)是周期函数，周期为6.结论：若函数f(x)(xR)的图象为对称中心在X轴上的中心对称图形，则f(x)为周期函数，周期为两对称中心距离的2倍。